Vad är ett första ordningens reglersystem?

Vad är ett förstagedningssystem?

Definition av förstagedningssystem

Ett förstagedningssystem använder en enkel typ av differentialekvation för att relatera ingångar och utgångar, med fokus endast på den första derivatan i tiden.

Överföringsfunktionen (ingång-utgångsrelation) för detta styrsystem definieras som:

• K är DC-förstärkningen (DC-förstärkningen av systemets förhållande mellan ingångssignalen och det stationära värdet av utgången)

• T är systemets tidkonstant (tidkonstanten är ett mått på hur snabbt ett förstagedningssystem svarar på en enhetlig stegingång).

Överföringsfunktion för förstagedningssystem

En överföringsfunktion representerar förhållandet mellan utgångssignalen i ett styrsystem och ingångssignalen, för alla möjliga ingångsvärden.

Poler av en överföringsfunktion

Polerna av överföringsfunktionen är värdena av Laplace-transformvariabeln, vilka gör att överföringsfunktionen blir oändlig. Nominatoren av en överföringsfunktion är faktiskt polerna av funktionen.

Nollor av en överföringsfunktion

Nollorna av överföringsfunktionen är värdena av Laplace-transformvariabeln, vilka gör att överföringsfunktionen blir noll. Nominatoren av en överföringsfunktion är faktiskt nollorna av funktionen.

Förstagedningssystem

Här diskuterar vi förstagedningssystemet utan nollor. Förstagedningssystemet berättar för oss hastigheten på svaret, vilken tidsperiod det når det stationära tillståndet. Om ingången är en enhetssteg, R(s) = 1/s, så är utgången en stegrespons C(s). Den generella ekvationen för ett förstagedningssystem är , dvs överföringsfunktionen.

Det finns två poler, en är ingångspolen vid origo s = 0 och den andra är systempolen vid s = -a, denna pol ligger på den negativa axeln av poldiagrammet. Genom att använda MATLAB:s pzmap-kommando kan vi identifiera polerna och nollorna i systemet, vilket är avgörande för analys av dess beteende. Vi tar nu inversen av transformen så att det totala svaret blir vilket är summan av tvingat svar och naturligt svar.

På grund av ingångspolen vid origo, producerar detta tvingat svar som namnet beskriver, ger tvingning till systemet så att det producerar ett svar som är tvingat svar och systempolen vid -a producerar ett naturligt svar som beror på systemets transitoriska svar.

Efter några beräkningar, här är den generella formen av ett förstagedningssystem C(s) = 1-e-at, vilket motsvarar tvingat svar som är "1" och naturligt svar som är lika med "e-at". Det enda som behöver hittas är parametern "a".

Många tekniker som differentialekvationer eller invers Laplace-transform, löser det totala svaret men dessa är tidskrävande och krävande.

Användningen av poler, nollor och deras grundläggande koncept ger oss kvalitativ information för att lösa problem, och tack vare dessa koncept kan vi enkelt säga hastigheten på svaret och tiden för ett system att nå det stationära tillståndet.

Låt oss beskriva de tre prestandaspecifikationerna för transitoriellt svar, tidkonstant, uppgångstid och stillnings tid för ett förstagedningssystem.

Tidkonstant för ett förstagedningssystem

Tidkonstanten kan definieras som den tid det tar för stegsvaret att stiga upp till 63% eller 0,63 av dess slutliga värde. Vi refererar till detta som t = 1/a. Om vi tar reciproken av tidkonstanten, är dess enhet 1/sekunder eller frekvens.

Vi kallar parametern "a" exponentiell frekvens. Eftersom derivatan av e-at är -a vid t = 0, så anses tidkonstanten vara en transitoriell responsspecifikation för ett förstagedningssystem.

Vi kan kontrollera svaret genom att sätta polerna. Eftersom ju längre bort polen är från den imaginära axeln, desto snabbare är det transitoriella svaret. Så, vi kan sätta polerna längre bort från den imaginära axeln för att förhasta hela processen.

Uppgångstid för ett förstagedningssystem

Uppgångstiden definieras som tiden för vågformen att gå från 0,1 till 0,9 eller 10% till 90% av dess slutliga värde. För ekvationen av uppgångstid, sätter vi in 0,1 och 0,9 i den generella ekvationen för förstagedningssystemet respektive.

För t = 0,1

För t = 0,9

Tar skillnaden mellan 0,9 och 0,1

Här är ekvationen för uppgångstid. Om vi känner till parametern a, kan vi enkelt hitta uppgångstiden för ett givet system genom att sätta in "a" i ekvationen.

Stillnings tid för ett förstagedningssystem

Stillnings tiden definieras som tiden för svaret att nå och hålla sig inom 2% av dess slutliga värde. Vi kan begränsa procentandelen upp till 5% av dess slutliga värde. Båda procentandelarna tas i beaktning.

Ekvationen för stillnings tid ges av Ts = 4/a.

Genom att använda dessa tre transitoriella responsspecifikationer, kan vi enkelt beräkna stegsvaret för ett givet system, därför är denna kvalitativa teknik användbar för ordningssystemsekvationer.

Slutsats av förstagedningssystem

Efter att ha lärt oss allt som rör förstagedningssystem, kommer vi till följande slutsatser:

• En pol av ingångsfunktionen genererar formen av det tvingade svaret. Det beror på polen vid origo, vilken genererar en stegfunktion vid utgången.

• En pol av överföringsfunktionen genererar ett naturligt svar. Det är systemets pol.

• En pol på den reella axeln genererar en exponentiell frekvens av formen e-at. Ju längre bort polen är från origo, desto snabbare kommer det exponentiella transitoriella svaret att avtaga till noll.

• Förståelsen av poler och nollor tillåter oss att förbättra systemprestanda och uppnå snabbare, mer exakta utgångar.