چه چیزی سیستم کنترل اولیه است

چیست کنترل‌گر مرتبه اول؟

تعریف سیستم کنترل مرتبه اول

سیستم کنترل مرتبه اول از نوع ساده‌ای از معادلات دیفرانسیل برای مرتبط کردن ورودی‌ها و خروجی‌ها استفاده می‌کند و تنها روی مشتق اول زمان تمرکز می‌کند.

تابع انتقال (رابطه ورودی-خروجی) برای این سیستم کنترل به صورت زیر تعریف می‌شود:

• K ضریب DC (نسبت بین سیگنال ورودی و مقدار پایدار خروجی سیستم) است.

• T ثابت زمانی سیستم است (ثابت زمانی اندازه‌گیری می‌کند که چقدر سریعاً یک سیستم مرتبه اول به ورودی گام واحد پاسخ می‌دهد).

تابع انتقال سیستم کنترل مرتبه اول

تابع انتقال رابطه بین سیگنال خروجی یک سیستم کنترل و سیگنال ورودی را برای تمام مقادیر ممکن ورودی نشان می‌دهد.

قطب‌های یک تابع انتقال

قطب‌های تابع انتقال مقدار متغیر تبدیل لاپلاس هستند که باعث می‌شوند تابع انتقال به بی‌نهایت برسد. صورت تابع انتقال در واقع قطب‌های تابع است.

صفرهای یک تابع انتقال

صفرهای تابع انتقال مقدار متغیر تبدیل لاپلاس هستند که باعث می‌شوند تابع انتقال به صفر برسد. مخرج تابع انتقال در واقع صفرهای تابع است.

سیستم کنترل مرتبه اول

در اینجا ما سیستم کنترل مرتبه اول بدون صفر را مورد بحث قرار می‌دهیم. سیستم کنترل مرتبه اول به ما می‌گوید که سرعت پاسخ چقدر است و چه مدت زمانی به حالت پایدار می‌رسد. اگر ورودی گام واحد باشد، R(s) = 1/s بنابراین خروجی پاسخ گام C(s) خواهد بود. معادله عمومی سیستم کنترل مرتبه اول است، یعنی تابع انتقال.

دو قطب وجود دارد، یکی قطب ورودی در مبدأ s = 0 و دیگری قطب سیستم در s = -a است که این قطب در محور منفی قطب‌نما قرار دارد. با استفاده از دستور pzmap در MATLAB، می‌توانیم قطب‌ها و صفرهای سیستم را شناسایی کنیم که برای تحلیل رفتار آن حیاتی است. حالا با گرفتن تبدیل معکوس، پاسخ کلی به صورت مجموع پاسخ اجباری و پاسخ طبیعی می‌شود.

به دلیل قطب ورودی در مبدأ، پاسخ اجباری تولید می‌شود که به خودی خود نامش توضیح می‌دهد که فشار به سیستم می‌دهد و پاسخی تولید می‌کند که پاسخ اجباری است و قطب سیستم در -a پاسخ طبیعی را تولید می‌کند که به دلیل پاسخ گذرا سیستم است.

بعد از برخی محاسبات، فرم عمومی سیستم مرتبه اول C(s) = 1-e-at است که برابر با پاسخ اجباری "1" و پاسخ طبیعی "e-at" است. تنها چیزی که نیاز به یافتن آن است پارامتر "a" است.

تکنیک‌های مختلفی مانند معادله دیفرانسیل یا تبدیل لاپلاس معکوس، همه این‌ها پاسخ کلی را حل می‌کنند اما این‌ها زمان‌بر و سخت‌کوش هستند.

استفاده از قطب‌ها، صفرها و بعضی مفاهیم اساسی به ما اطلاعات کیفی برای حل مسائل می‌دهد و با استفاده از این مفاهیم می‌توانیم به راحتی سرعت پاسخ و زمان سیستم برای رسیدن به نقطه حالت پایدار را بگوییم.

بیایید سه مشخصه عملکرد پاسخ گذرا، ثابت زمانی، زمان صعود و زمان پایدار شدن برای یک سیستم کنترل مرتبه اول را توصیف کنیم.

ثابت زمانی یک سیستم کنترل مرتبه اول

ثابت زمانی می‌تواند به عنوان زمانی تعریف شود که پاسخ گام به 63٪ یا 0.63 مقدار نهایی خود بالا می‌آید. ما این را t = 1/a می‌نامیم. اگر ما عکس ثابت زمان را بگیریم، واحد آن 1/ثانیه یا فرکانس است.

پارامتر "a" را فرکانس نمایی می‌نامیم. چون مشتق e-at در t = 0 برابر -a است. بنابراین ثابت زمان به عنوان یک مشخصه پاسخ گذرا برای یک سیستم کنترل مرتبه اول در نظر گرفته می‌شود.

ما می‌توانیم سرعت پاسخ را با تنظیم قطب‌ها کنترل کنیم. چون هر چه قطب دورتر از محور موهومی باشد، پاسخ گذرا سریع‌تر خواهد بود. بنابراین می‌توانیم قطب‌ها را دورتر از محور موهومی تنظیم کنیم تا کل فرآیند را سریع‌تر کنیم.

زمان صعود یک سیستم کنترل مرتبه اول

زمان صعود به عنوان زمانی تعریف می‌شود که موج‌شکل از 0.1 به 0.9 یا 10٪ به 90٪ مقدار نهایی خود می‌رسد. برای معادله زمان صعود، ما 0.1 و 0.9 را به ترتیب در معادله عمومی سیستم مرتبه اول قرار می‌دهیم.

برای t = 0.1

برای t = 0.9

با گرفتن تفاوت بین 0.9 و 0.1

اینجا معادله زمان صعود. اگر پارامتر "a" را بدانیم، می‌توانیم به راحتی زمان صعود هر سیستم داده شده را با قرار دادن "a" در معادله پیدا کنیم.

زمان پایدار شدن یک سیستم کنترل مرتبه اول

زمان پایدار شدن به عنوان زمانی تعریف می‌شود که پاسخ به 2٪ مقدار نهایی خود می‌رسد و در آن محدوده می‌ماند. می‌توانیم درصد را تا 5٪ مقدار نهایی محدود کنیم. هر دو درصد در نظر گرفته می‌شوند.

معادله زمان پایدار شدن به صورت Ts = 4/a است.

با استفاده از این سه مشخصه پاسخ گذرا، می‌توانیم به راحتی پاسخ گام یک سیستم داده شده را محاسبه کنیم که این تکنیک کیفی برای معادلات سیستم‌های مرتبه اول مفید است.

نتیجه‌گیری از سیستم‌های کنترل مرتبه اول

پس از یادگیری همه چیزهای مربوط به سیستم کنترل مرتبه اول، به نتایج زیر می‌رسیم:

• قطب تابع ورودی شکل پاسخ اجباری را تولید می‌کند. این به دلیل قطب در مبدأ است که یک تابع گام در خروجی تولید می‌کند.

• قطب تابع انتقال پاسخ طبیعی را تولید می‌کند. این قطب سیستم است.

• قطب روی محور حقیقی یک فرکانس نمایی به شکل e-at تولید می‌کند. بنابراین، هر چه قطب دورتر از مبدأ باشد، پاسخ گذرا نمایی سریع‌تر به صفر میل خواهد کرد.

• فهم قطب‌ها و صفرها به ما اجازه می‌دهد که عملکرد سیستم را بهبود بخشیم و خروجی‌های سریع‌تر و دقیق‌تری به دست آوریم.