Que é un Sistema de Control de Primeira Orde?

Que é un Sistema de Control de Primeira Orde?

Definición de Sistema de Control de Primeira Orde

Un sistema de control de primeira orde usa un tipo simple de ecuación diferencial para relacionar as entradas e as saídas, centrando-se só na primeira derivada do tempo.

A función de transferencia (relación entrada-saída) para este sistema de control está definida como:

• K é o Ganho DC (ganho DC do sistema, relación entre a sinal de entrada e o valor estacionario da saída)

• T é a constante de tempo do sistema (a constante de tempo é unha medida de canto rápido responde un sistema de primeira orde a unha entrada de paso unitario).

Función de Transferencia de Sistema de Control de Primeira Orde

A función de transferencia representa a relación entre a sinal de saída dun sistema de control e a sinal de entrada, para todos os valores posibles de entrada.

Pólos dunha Función de Transferencia

Os pólos da función de transferencia son os valores da variable de Transformada de Laplace que fai que a función de transferencia sexa infinita.O denominador dunha función de transferencia son realmente os pólos da función.

Ceros dunha Función de Transferencia

Os ceros da función de transferencia son os valores da variable de Transformada de Laplace que fai que a función de transferencia sexa cero.O numerador dunha función de transferencia son realmente os ceros da función.

Sistema de Control de Primeira Orde

Aquí discutimos o sistema de control de primeira orde sen ceros. O sistema de control de primeira orde indícanos a velocidade da resposta, que duración leva chegar ao estado estacionario.Se a entrada é un paso unitario, R(s) = 1/s, entón a saída é unha resposta de paso C(s). A ecuación xeral dun sistema de control de primeira orde é , é dicir, a función de transferencia.

Hai dous pólos, un é o polo de entrada no orixe s = 0 e o outro é o polo do sistema en s = -a, este polo está no eixo negativo do diagrama de pólos.Usando o comando pzmap de MATLAB, podemos identificar os pólos e ceros do sistema, cruciais para analizar o seu comportamento.Agora, tomando a transformada inversa, a resposta total converte-se en que é a suma da resposta forzada e da resposta natural.

Debido ao polo de entrada no orixe, produce a resposta forzada, como o nome indica, dando forza ao sistema para que produza unha resposta que é a resposta forzada, e o polo do sistema en -a produce unha resposta natural que é debido á resposta transitória do sistema.

Despois de algúns cálculos, a forma xeral do sistema de primeira orde é C(s) = 1-e-at que é igual á resposta forzada que é “1” e a resposta natural que é igual a “e-at”. A única cousa que se necesita atopar é o parámetro “a”.

Muitas técnicas como a ecuación diferencial ou a transformada inversa de Laplace, todas estas resolven a resposta total, pero son laboriosas e consomem tempo.

O uso de pólos, ceros e algunhas conceptos fundamentais dános información cualitativa para resolver os problemas e grazas a estes conceptos, podemos facilmente indicar a velocidade de resposta e o tempo do sistema para chegar ao punto de estado estacionario.

Describamos as tres especificacións de rendemento da resposta transitória, a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de establecemento para un sistema de control de primeira orde.

Constante de Tempo dun Sistema de Control de Primeira Orde

A constante de tempo pode definirse como o tempo que leva a resposta de paso para subir ata o 63% ou 0,63 do seu valor final. Refíremolo como t = 1/a. Se tomamos o recíproco da constante de tempo, a súa unidade é 1/segundos ou frecuencia.

Chamámolle ao parámetro “a” a frecuencia exponencial. Porque a derivada de e-at é -a en t = 0. Polo tanto, a constante de tempo considerase como unha especificación de resposta transitória para un sistema de control de primeira orde.

Podemos controlar a velocidade de resposta fixando os pólos. Porque cuánto máis lonxe do eixo imaxinario estea o polo, máis rápida será a resposta transitória. Así, podemos situar os pólos máis lonxe do eixo imaxinario para acelerar todo o proceso.

Tempo de Subida dun Sistema de Control de Primeira Orde

O tempo de subida define como o tempo para que a onda pase do 0,1 ao 0,9 ou do 10% ao 90% do seu valor final. Para a ecuación do tempo de subida, ponse 0,1 e 0,9 na ecuación xeral do sistema de primeira orde respectivamente.

Para t = 0,1

Para t = 0,9

Tomando a diferenza entre 0,9 e 0,1

Aqui está a ecuación do tempo de subida. Se coñecemos o parámetro de a, podemos facilmente atopar o tempo de subida de calquera sistema dado poñendo “a” na ecuación.

Tempo de Establecemento dun Sistema de Control de Primeira Orde

O tempo de establecemento define como o tempo para que a resposta chegue e permaneza dentro do 2% do seu valor final. Podemos limitar o porcentaxe ata o 5% do seu valor final. Ambos os porcentaxes son unha consideración.

A ecuación do tempo de establecemento dáse por Ts = 4/a.

Usando estas tres especificacións de resposta transitória, podemos facilmente calcular a resposta de paso dun sistema dado, por iso esta técnica cualitativa é útil para as ecuacións dos sistemas de orde.

Conclusión dos Sistemas de Control de Primeira Orde

Despois de aprender todas as cousas relacionadas co sistema de control de primeira orde, chegamos ás seguintes conclusións:

• Un polo da función de entrada xera a forma da resposta forzada. É debido ao polo no orixe que xera unha función de paso na saída.

• Un polo da función de transferencia xera unha resposta natural. É o polo do sistema.

• Un polo no eixo real xera unha frecuencia exponencial da forma e-at. Así, cuánto máis lonxe do orixe estea o polo, máis rápido decayerá a resposta transitória exponencial a cero.

• Comprender os pólos e ceros permítanos mellorar o rendemento do sistema e lograr saídas máis rápidas e precisas.