Что такое система первого порядка управления?

Что такое система управления первого порядка?

Определение системы управления первого порядка

Система управления первого порядка использует простой тип дифференциального уравнения для связи входных и выходных сигналов, фокусируясь только на первой производной по времени.

Передаточная функция (вход-выход) для этой системы управления определяется как:

• K — это коэффициент усиления постоянного тока (отношение между входным сигналом и установившимся значением выходного сигнала)

• T — это постоянная времени системы (постоянная времени является мерой того, насколько быстро система первого порядка реагирует на единичный ступенчатый вход).

Передаточная функция системы управления первого порядка

Передаточная функция представляет собой соотношение между выходным сигналом системы управления и входным сигналом для всех возможных значений входного сигнала.

Полюсы передаточной функции

Полюсы передаточной функции — это значения переменной преобразования Лапласа, которые приводят к тому, что передаточная функция становится бесконечной. Деноминатор передаточной функции фактически является полюсами функции.

Нули передаточной функции

Нули передаточной функции — это значения переменной преобразования Лапласа, которые приводят к тому, что передаточная функция становится равной нулю. Числитель передаточной функции фактически является нулями функции.

Система управления первого порядка

Здесь мы обсуждаем систему управления первого порядка без нулей. Система управления первого порядка показывает скорость реакции, то есть время, за которое она достигает установившегося состояния. Если входной сигнал является единичным ступенчатым, R(s) = 1/s, то выходной сигнал является ступенчатым откликом C(s). Общее уравнение системы управления первого порядка , то есть это передаточная функция.

Есть два полюса, один из которых — входной полюс в начале координат s = 0, а другой — полюс системы при s = -a, этот полюс находится на отрицательной оси диаграммы полюсов. Используя команду MATLAB's pzmap, мы можем определить полюсы и нули системы, что важно для анализа ее поведения. Теперь, взяв обратное преобразование, общая реакция становится , что является суммой вынужденной реакции и естественной реакции.

Из-за входного полюса в начале координат, возникает вынужденная реакция, которая, как следует из названия, вызывает некоторую реакцию, которую можно назвать вынужденной реакцией, а полюс системы при -a вызывает естественную реакцию, которая является результатом переходного процесса системы.

После некоторых расчетов, общий вид системы первого порядка C(s) = 1-e-at, что равно вынужденной реакции, которая равна "1", и естественной реакции, которая равна "e-at". Единственное, что нужно найти, это параметр "a".

Многие методы, такие как дифференциальное уравнение или обратное преобразование Лапласа, решают общую реакцию, но эти методы требуют много времени и усилий.

Использование полюсов, нулей и некоторых фундаментальных концепций дает нам качественную информацию для решения задач, и благодаря этим концепциям, мы можем легко сказать о скорости реакции и времени, необходимом системе, чтобы достичь точки установившегося состояния.

Давайте опишем три характеристики переходного процесса: постоянную времени, время нарастания и время установления для системы управления первого порядка.

Постоянная времени системы управления первого порядка

Постоянная времени может быть определена как время, за которое ступенчатый отклик возрастает до 63% или 0,63 от своего конечного значения. Мы называем это t = 1/a. Если взять обратную величину постоянной времени, ее единица измерения будет 1/секунда или частота.

Мы называем параметр "a" экспоненциальной частотой. Потому что производная от e-at равна -a при t = 0. Таким образом, постоянная времени рассматривается как характеристика переходного процесса для системы управления первого порядка.

Мы можем контролировать скорость реакции, устанавливая полюсы. Поскольку чем дальше полюс от мнимой оси, тем быстрее переходный процесс. Поэтому, чтобы ускорить весь процесс, мы можем установить полюсы дальше от мнимой оси.

Время нарастания системы управления первого порядка

Время нарастания определяется как время, за которое форма сигнала проходит от 0,1 до 0,9 или от 10% до 90% своего конечного значения. Для уравнения времени нарастания мы подставляем 0,1 и 0,9 в общее уравнение системы первого порядка соответственно.

Для t = 0,1

Для t = 0,9

Принимая разницу между 0,9 и 0,1

Здесь уравнение времени нарастания. Если мы знаем параметр a, мы можем легко найти время нарастания любой данной системы, подставив "a" в уравнение.

Время установления системы управления первого порядка

Время установления определяется как время, за которое реакция достигает и остается в пределах 2% своего конечного значения. Мы можем ограничить процент до 5% от конечного значения. Оба процента учитываются.

Уравнение времени установления задается как Ts = 4/a.

Используя эти три характеристики переходного процесса, мы можем легко вычислить ступенчатый отклик данной системы, поэтому эта качественная техника полезна для уравнений систем первого порядка.

Заключение о системах управления первого порядка

После изучения всего, что связано с системами управления первого порядка, мы приходим к следующим выводам:

• Полюс входной функции генерирует форму вынужденной реакции. Это происходит из-за полюса в начале координат, который генерирует ступенчатую функцию на выходе.

• Полюс передаточной функции генерирует естественную реакцию. Это полюс системы.

• Полюс на действительной оси генерирует экспоненциальную частоту вида e-at. Таким образом, чем дальше полюс от начала координат, тем быстрее экспоненциальный переходный процесс затухает до нуля.

• Понимание полюсов и нулей позволяет нам улучшить производительность системы и достичь более быстрых и точных выходных данных.