1차 제어 시스템이란 무엇인가?

첫 번째 차수 제어 시스템이란?

첫 번째 차수 제어 시스템 정의

첫 번째 차수 제어 시스템은 입력과 출력을 관련시키는 간단한 유형의 미분 방정식을 사용하며, 시간에 대한 첫 번째 도함수만 중점적으로 다룹니다.

이 제어 시스템의 전달 함수(입력-출력 관계)는 다음과 같이 정의됩니다:

• K는 DC 이득(시스템 비율의 DC 이득, 입력 신호와 출력의 정상 상태 값 사이의 비율)

• T는 시스템의 시간 상수입니다(시간 상수는 첫 번째 차수 시스템이 단위 계단 입력에 얼마나 빨리 반응하는지를 측정합니다).

첫 번째 차수 제어 시스템 전달 함수

전달 함수는 제어 시스템의 출력 신호와 입력 신호 간의 관계를 모든 가능한 입력 값에 대해 나타냅니다.

전달 함수의 극점

전달 함수의 극점은 라플라스 변환 변수의 값으로, 전달 함수가 무한대가 되게 만듭니다. 전달 함수의 분모는 실제로 함수의 극점입니다.

전달 함수의 영점

전달 함수의 영점은 라플라스 변환 변수의 값으로, 전달 함수가 0이 되게 만듭니다. 전달 함수의 분자는 실제로 함수의 영점입니다.

첫 번째 차수 제어 시스템

여기서는 영점을 갖지 않는 첫 번째 차수 제어 시스템에 대해 논의합니다. 첫 번째 차수 제어 시스템은 응답 속도와 안정 상태에 도달하는 시간을 알려줍니다. 입력이 단위 계단일 경우, R(s) = 1/s로 출력은 계단 응답 C(s)입니다. 1차 제어 시스템의 일반적인 방정식은 , 즉 전달 함수입니다.

두 개의 극점이 있습니다. 하나는 원점 s = 0에서의 입력 극점이고, 다른 하나는 s = -a에서의 시스템 극점입니다. 이 극점은 극점 플롯의 음의 축에 위치합니다. MATLAB의 pzmap 명령을 사용하여 시스템의 극점과 영점을 식별할 수 있으며, 이는 시스템의 동작을 분석하는 데 중요합니다. 이제 역변환을 사용하여 전체 응답이 강제 응답과 자연 응답의 합이 됩니다.

원점에서의 입력 극점은 강제 응답을 생성합니다. 이름 그대로 시스템에 강제를 가하여 일부 응답을 생성하고, -a에서의 시스템 극점은 시스템의 일시적 응답으로 인해 자연 응답을 생성합니다.

몇 가지 계산 후, 첫 번째 차수 시스템의 일반 형태는 C(s) = 1-e-at이며, 이는 강제 응답인 "1"과 자연 응답인 "e-at"과 같습니다. 찾을 필요가 있는 것은 매개변수 "a"뿐입니다.

미분 방정식이나 역 라플라스 변환과 같은 많은 기술들이 전체 응답을 해결하지만, 이러한 방법들은 시간이 많이 소요되고 노동 집약적입니다.

극점, 영점 및 몇 가지 기본 개념의 사용은 문제를 해결하기 위한 질적 정보를 제공하며, 이러한 개념들 덕분에 우리는 쉽게 응답 속도와 시스템이 안정 상태에 도달하는 시간을 말할 수 있습니다.

첫 번째 차수 제어 시스템의 세 가지 일시적 응답 성능 사양인 시간 상수, 상승 시간 및 정착 시간을 설명하겠습니다.

첫 번째 차수 제어 시스템의 시간 상수

시간 상수는 단위 계단 응답이 최종 값의 63% 또는 0.63까지 상승하는 데 걸리는 시간으로 정의할 수 있습니다. 이를 t = 1/a라고 합니다. 시간 상수의 역수를 취하면 단위는 초의 역수 또는 주파수가 됩니다.

매개변수 "a"를 지수 주파수라고 부릅니다. e-at의 도함수가 t = 0에서 -a이므로, 시간 상수는 첫 번째 차수 제어 시스템의 일시적 응답 사양으로 간주됩니다.

극점을 설정하여 응답 속도를 제어할 수 있습니다. 극점이 허수 축에서 멀수록 일시적 응답이 더 빠르기 때문입니다. 따라서, 극점을 허수 축에서 더 멀리 배치하여 전체 과정을 가속화할 수 있습니다.

첫 번째 차수 제어 시스템의 상승 시간

상승 시간은 파형이 최종 값의 0.1에서 0.9 또는 10%에서 90%까지 가는 데 걸리는 시간으로 정의됩니다. 상승 시간의 방정식을 위해 일반적인 첫 번째 차수 시스템 방정식에 각각 0.1과 0.9를 대입합니다.

t = 0.1

t = 0.9

0.9와 0.1 사이의 차이를 취합니다.

여기 상승 시간의 방정식입니다. 매개변수 "a"를 알고 있다면, "a"를 방정식에 대입하여 어떤 시스템의 상승 시간을 쉽게 찾을 수 있습니다.

첫 번째 차수 제어 시스템의 정착 시간

정착 시간은 응답이 최종 값의 2% 내로 도달하고 유지되는 시간으로 정의됩니다. 최종 값의 5%까지 제한할 수도 있습니다. 두 백분율 모두 고려됩니다.

정착 시간의 방정식은 Ts = 4/a로 주어집니다.

이 세 가지 일시적 응답 사양을 사용하여 주어진 시스템의 단위 계단 응답을 쉽게 계산할 수 있으므로, 이 질적 기법은 순서 시스템 방정식에 유용합니다.

첫 번째 차수 제어 시스템 결론

1차 제어 시스템과 관련된 모든 것을 학습한 후, 다음과 같은 결론을 얻습니다:

• 입력 함수의 극점은 강제 응답의 형태를 생성합니다. 원점에서의 극점이 출력에서 계단 함수를 생성하기 때문입니다.

• 전달 함수의 극점은 자연 응답을 생성합니다. 이는 시스템의 극점입니다.

• 실수 축에 있는 극점은 e-at 형태의 지수 주파수를 생성합니다. 따라서, 극점이 원점에서 멀수록 지수 일시적 응답이 더 빠르게 0으로 감소합니다.

• 극점과 영점을 이해하면 시스템 성능을 향상시키고 더 빠르고 정확한 출력을 달성할 수 있습니다.