Què és un Sistema de Control d'Ordre Primer?
Què és un sistema de control d'ordre primer?
Definició de sistema de control d'ordre primer
Un sistema de control d'ordre primer utilitza un tipus simple d'equació diferencial per relacionar les entrades i sortides, centrant-se només en la primera derivada del temps.
La funció de transferència (relació entrada-sortida) d'aquest sistema de control es defineix com:
K és el guany DC (guany DC del sistema, ràtio entre la senyal d'entrada i el valor estacionari de la sortida)
T és la constant de temps del sistema (la constant de temps és una mesura de la velocitat amb què un sistema d'ordre primer respon a una entrada de pas unitari).
Funció de transferència d'un sistema de control d'ordre primer
Una funció de transferència representa la relació entre la senyal de sortida d'un sistema de control i la senyal d'entrada, per a tots els possibles valors d'entrada.
Polos d'una funció de transferència
Els polos de la funció de transferència són els valors de la variable de la transformada de Laplace, que fan que la funció de transferència esdevingui infinita.El denominador d'una funció de transferència són, de fet, els polos de la funció.
Zers d'una funció de transferència
Els zers de la funció de transferència són els valors de la variable de la transformada de Laplace, que fan que la funció de transferència esdevingui zero.El numerador d'una funció de transferència són, de fet, els zers de la funció.
Sistema de control d'ordre primer
Aquí discutim el sistema de control d'ordre primer sense zers. El sistema de control d'ordre primer ens indica la velocitat de la resposta, és a dir, el temps que triga a arribar a l'estat estacionari.Si l'entrada és un pas unitari, R(s) = 1/s, llavors la sortida és una resposta de pas C(s). L'equació general d'un sistema de control d'ordre primer és , és a dir, la funció de transferència.
Hi ha dos polos, un és el polo d'entrada a l'origen s = 0 i l'altre és el polo del sistema a s = -a, aquest polo està a l'eix negatiu de la representació de polos.Utilitzant l'ordre pzmap de MATLAB, podem identificar els polos i zers del sistema, crucial per analitzar el seu comportament.Ara prenem la transformada inversa, de manera que la resposta total es converteixi en , que és la suma de la resposta forçada i la resposta natural.
Degut al polo d'entrada a l'origen, produeix la resposta forçada, com el nom indica, que proporciona força al sistema, de manera que produeix una resposta que és la resposta forçada, i el polo del sistema a -a produeix una resposta natural, deguda a la resposta transitoria del sistema.
Després de alguns càlculs, aquí tenim la forma general d'un sistema d'ordre primer C(s) = 1-e-at, que és igual a la resposta forçada, que és "1", i la resposta natural, que és igual a "e-at". L'única cosa que cal trobar és el paràmetre "a".
Moltes tècniques com l'equació diferencial o la transformada de Laplace inversa, totes aquestes resolen la resposta total, però són laborioses i consumen temps.
L'ús de polos, zers i alguns conceptes fonamentals ens proporcionen informació qualitativa per resoldre els problemes, i gràcies a aquests conceptes, podem dir fàcilment la velocitat de la resposta i el temps que triga el sistema a arribar al punt d'estat estacionari.
Descriurem les tres especificacions de rendiment de la resposta transitoria, la constant de temps, el temps de pujada i el temps de regulació per a un sistema de control d'ordre primer.
Constant de temps d'un sistema de control d'ordre primer
La constant de temps es pot definir com el temps que triga la resposta de pas a arribar al 63% o 0,63 del seu valor final. La referim com t = 1/a. Si prenem el recíproc de la constant de temps, la seva unitat és 1/segons o freqüència.
Anomenem el paràmetre "a" la freqüència exponencial. Perquè la derivada de e-at és -a a t = 0. Així, la constant de temps es considera una especificació de la resposta transitoria per a un sistema de control d'ordre primer.
Podem controlar la velocitat de la resposta posant els polos. Perquè més lluny estigui el polo de l'eix imaginari, més ràpida serà la resposta transitoria. Així, podem posar els polos més lluny de l'eix imaginari per accelerar tot el procés.
Temps de pujada d'un sistema de control d'ordre primer
El temps de pujada es defineix com el temps per a la forma d'ona per anar del 0,1 al 0,9 o del 10% al 90% del seu valor final. Per a l'equació del temps de pujada, posem 0,1 i 0,9 a l'equació general del sistema d'ordre primer respectivament.
Per t = 0,1
Per t = 0,9
Prendre la diferència entre 0,9 i 0,1
Aquí tenim l'equació del temps de pujada. Si coneixem el paràmetre "a", podem trobar fàcilment el temps de pujada de qualsevol sistema donat posant "a" a l'equació.
Temps de regulació d'un sistema de control d'ordre primer
El temps de regulació es defineix com el temps per a la resposta per arribar i mantenir-se dins del 2% del seu valor final. Podem limitar el percentatge fins al 5% del seu valor final. Ambdós percentatges són una consideració.
L'equació del temps de regulació es dóna per Ts = 4/a.
Utilitzant aquestes tres especificacions de la resposta transitoria, podem calcular fàcilment la resposta de pas d'un sistema donat, per això aquesta tècnica qualitativa és útil per a les equacions dels sistemes d'ordre primer.
Conclusió dels sistemes de control d'ordre primer
Després d'aprendre tot allò relacionat amb el sistema de control d'ordre primer, arribem a les següents conclusions:
Un polo de la funció d'entrada genera la forma de la resposta forçada. És degut al polo a l'origen, que genera una funció de pas a la sortida.
Un polo de la funció de transferència genera una resposta natural. És el polo del sistema.
Un polo a l'eix real genera una freqüència exponencial de la forma e-at. Així, més lluny estigui el polo de l'origen, més ràpidament la resposta transitoria exponencial decadrà a zero.
Comprendre els polos i els zers ens permet millorar el rendiment del sistema i aconseguir sortides més ràpides i precises.
