Що таке система першого порядку керування?

Що таке система керування першого порядку?

Визначення системи керування першого порядку

Система керування першого порядку використовує простий тип диференціального рівняння для зв'язку входів і виходів, зосереджуючись лише на першій похідній за часом.

Передаточна функція (взаємозв'язок входу-вихід) для цієї системи керування визначається як:

• K - це DC Gain (DC gain системи, співвідношення між сигналом входу та стаціонарним значенням виходу)

• T - це часовий констант системи (часова константа є показником того, наскільки швидко система першого порядку реагує на одиничний ступінчастий вход).

Передаточна функція системи керування першого порядку

Передаточна функція представляє взаємозв'язок між вихідним сигналом системи керування та входним сигналом для всіх можливих значень входу.

Полюси передаточної функції

Полюси передаточної функції - це значення змінних перетворення Лапласа, які призводять до того, що передаточна функція стає нескінченною. Знаменник передаточної функції є полюсами функції.

Нулі передаточної функції

Нулі передаточної функції - це значення змінних перетворення Лапласа, які призводять до того, що передаточна функція стає нульовою. Чисельник передаточної функції є нулями функції.

Система керування першого порядку

Тут ми обговорюємо систему керування першого порядку без нулів. Система керування першого порядку повідомляє нам про швидкість реакції, яка триває до досягнення стаціонарного стану. Якщо входом є одиничний ступінчастий сигнал, R(s) = 1/s, то виходом є ступінчаста реакція C(s). Загальне рівняння системи керування першого порядку, тобто передаточна функція.

Існує два полюси, один - це полюс входу у початку s = 0, а інший - це полюс системи при s = -a, цей полюс знаходиться на від'ємній осі графіка полюсів. Використовуючи команду MATLAB's pzmap, ми можемо визначити полюси та нулі системи, що є важливим для аналізу її поведінки. Тепер, взявши зворотнє перетворення, загальна реакція стає сумою примусової реакції та природної реакції.

Завдяки полюсу входу у початку, виникає примусова реакція, як це описується, що надає примус системі, що призводить до появи реакції, яка є примусовою, а полюс системи при -a викликає природну реакцію, яка є результатом транзиторної реакції системи.

Після деяких розрахунків, загальна форма системи першого порядку C(s) = 1-e-at, що дорівнює примусовій реакції, яка дорівнює "1", і природній реакції, яка дорівнює "e-at". Єдине, що потрібно знайти, - це параметр "a".

Багато технік, таких як диференціальні рівняння або зворотне перетворення Лапласа, розв'язують загальну реакцію, але це займає багато часу і праці.

Використання полюсів, нулів та деяких основних концепцій дає нам якісну інформацію для вирішення проблем, завдяки чому ми можемо легко сказати про швидкість реакції та час досягнення системою стаціонарного стану.

Давайте описати три характеристики транзиторної реакції: часову константу, час підйому та час установки для системи керування першого порядку.

Часова константа системи керування першого порядку

Часова константа визначається як час, який потрібен для ступінчастої реакції, щоб піднятися до 63% або 0,63 від її кінцевого значення. Ми називаємо це t = 1/a. Якщо ми беремо обернене значення часової константи, її одиниця становить 1/секунди або частота.

Ми називаємо параметр "a" експоненціальною частотою. Оскільки похідна e-at дорівнює -a при t = 0, то часову константу вважають характеристикою транзиторної реакції для системи керування першого порядку.

Ми можемо контролювати швидкість реакції, встановлюючи полюси. Оскільки чим далі полюс від уявної осі, тим швидше транзиторна реакція. Тому, ми можемо встановити полюси подалі від уявної осі, щоб прискорити весь процес.

Час підйому системи керування першого порядку

Час підйому визначається як час, необхідний для того, щоб форма сигнала пройшла від 0,1 до 0,9 або від 10% до 90% свого кінцевого значення. Для рівняння часу підйому, ми підставляємо 0,1 і 0,9 у загальне рівняння системи першого порядку відповідно.

Для t = 0,1

Для t = 0,9

Взявши різницю між 0,9 і 0,1

Ось рівняння часу підйому. Якщо ми знаємо параметр a, ми можемо легко знайти час підйому будь-якої даної системи, підставивши "a" у рівняння.

Час установки системи керування першого порядку

Час установки визначається як час, необхідний для того, щоб реакція досягла та утрималася в межах 2% від її кінцевого значення. Ми можемо обмежити відсоток до 5% від її кінцевого значення. Обидва відсотки враховуються.

Рівняння часу установки задається як Ts = 4/a.

Використовуючи ці три характеристики транзиторної реакції, ми можемо легко обчислити ступінчасту реакцію даної системи, тому ця якісна техніка корисна для рівнянь систем першого порядку.

Висновки щодо систем керування першого порядку

Після вивчення всіх питань, пов'язаних з системами керування першого порядку, ми приходимо до наступних висновків:

• Полюс функції входу генерує форму примусової реакції. Це через полюс у початку, який генерує ступінчасту функцію на виході.

• Полюс передаточної функції генерує природну реакцію. Це полюс системи.

• Полюс на дійсній осі генерує експоненціальну частоту форми e-at. Таким чином, чим далі полюс від початку, тим швидше експоненціальна транзиторна реакція затухає до нуля.

• Розуміння полюсів і нулів дозволяє нам підвищити продуктивність системи та досягти швидших, більш точних виходів.