Hva er et førstegradssystem for regulering?

Hva er et førsteordens styresystem?

Definisjon av førsteordens styresystem

Et førsteordens styresystem bruker en enkel type differensialligning for å relatere innganger og utganger, med fokus kun på den første deriverte over tid.

Overføringsfunksjonen (inngang-utgangsforholdet) for dette styresystemet defineres som:

• K er DC-gain (DC-forstyrrelse i systemet, forholdet mellom inngangssignalet og det stabile verdi av utgangen)

• T er tidskonstanten i systemet (tidskonstanten er et mål på hvor raskt et førsteordens system reagerer på en enhetssteginngang).

Overføringsfunksjon for førsteordens styresystem

En overføringsfunksjon representerer forholdet mellom utgangssignalet til et styresystem og inngangssignalet, for alle mulige inngangsverdier.

Poler i en overføringsfunksjon

Polene i overføringsfunksjonen er verdien av Laplace-transformasjonsvariabel(en), som fører til at overføringsfunksjonen blir uendelig.Nevneren i en overføringsfunksjon er faktisk polene i funksjonen.

Nullpunkter i en overføringsfunksjon

Nullpunktene i overføringsfunksjonen er verdiene av Laplace-transformasjonsvariabel(en), som fører til at overføringsfunksjonen blir null.Telleren i en overføringsfunksjon er faktisk nullpunktene i funksjonen.

Førsteordens styresystem

Her diskuterer vi et førsteordens styresystem uten nullpunkter. Førsteordens styresystem forteller oss hastigheten på responsen, altså hvor lang tid det tar å nå stabiltilstand.Hvis inngangen er en enhetssteg, R(s) = 1/s, så er utgangen en stegrespons C(s). Den generelle ligningen for et førsteordens styresystem er , dvs. det er overføringsfunksjonen.

Det er to poler, én er inngangspolen ved origo s = 0, og den andre er systempolen ved s = -a, denne polen ligger på den negative aksen i poleplottet.Ved hjelp av MATLABs pzmap-kommando, kan vi identifisere polene og nullpunktene i systemet, noe som er viktig for å analysere systemets oppførsel.Vi tar nå den inverse transformasjonen, slik at den totale responsen blir , som er summen av tvungen respons og naturlig respons.

På grunn av inngangspolen ved origo, produseres den tvungne responsen, som navnet beskriver, gir en kraft til systemet, så det produserer en respons som er den tvungne responsen, og systempolen ved -a produserer en naturlig respons, som skyldes den transiente responsen i systemet.

Etter noen beregninger, er den generelle formen for et førsteordens system C(s) = 1-e-at, som er lik den tvungne responsen, som er "1", og den naturlige responsen, som er lik "e-at". Det eneste som trengs for å finne, er parameteren "a".

Mange teknikker som differensialligninger eller invers Laplace-transformasjon, løser den totale responsen, men disse er tidkrevende og arbeidskrevende.

Bruken av poler, nullpunkter, og noen grunnleggende konsepter gir oss kvalitativ informasjon for å løse problemer, og ved hjelp av disse konseptene, kan vi lett si hastigheten på responsen og tiden det tar for systemet å nå stabiltilstand.

La oss beskrive de tre transiente responsytelsesspesifikasjonene, tidskonstanten, oppstigningstiden, og innstillingstiden for et førsteordens styresystem.

Tidskonstant for et førsteordens styresystem

Tidskonstanten kan defineres som tiden det tar for stegresponsen å stige opp til 63% eller 0,63 av sin endelige verdi. Vi refererer til dette som t = 1/a. Hvis vi tar gjensidig av tidskonstanten, er dens enhet 1/sekunder eller frekvens.

Vi kaller parameteren "a" for eksponentiell frekvens. Fordi den deriverte av e-at er -a ved t = 0. Så tidskonstanten regnes som en transient responsytelsesspesifikasjon for et førsteordens styresystem.

Vi kan kontrollere hastigheten på responsen ved å sette polene. For jo lenger unna imaginæraksen polen er, jo raskere er den transiente responsen. Så, vi kan sette polene lenger unna imaginæraksen for å forhaste hele prosessen.

Oppstigningstid for et førsteordens styresystem

Oppstigningstiden defineres som tiden det tar for bølgeformen å gå fra 0,1 til 0,9 eller 10% til 90% av sin endelige verdi. For ligningen for oppstigningstid, setter vi 0,1 og 0,9 i den generelle førsteordenssystemligningen henholdsvis.

For t = 0,1

For t = 0,9

Tar forskjellen mellom 0,9 og 0,1

Her er ligningen for oppstigningstid. Hvis vi kjenner parameteren a, kan vi lett finne oppstigningstiden for et gitt system ved å sette "a" i ligningen.

Innstillingstid for et førsteordens styresystem

Innstillingstiden defineres som tiden det tar for responsen å nå og forbli innen 2% av sin endelige verdi. Vi kan begrense prosenten opp til 5% av sin endelige verdi. Begge prosenter er en overveielse.

Ligningen for innstillingstid er gitt av Ts = 4/a.

Ved å bruke disse tre transiente responsytelsesspesifikasjonene, kan vi lett beregne stegresponsen for et gitt system, derfor er denne kvalitative teknikken nyttig for ordenssystemsligninger.

Konklusjon av førsteordens styresystemer

Etter å ha lært alt som har med 1. ordens styresystem å gjøre, kommer vi frem til følgende konklusjoner:

• En pole i inngangsfunksjonen genererer formen for den tvungne responsen. Dette er på grunn av polen ved origo, som genererer en stegfunksjon ved utgangen.

• En pole i overføringsfunksjonen genererer en naturlig respons. Det er systemets pole.

• En pole på den reelle aksen genererer en eksponentiell frekvens av formen e-at. Jo lenger unna origo polen er, jo raskere vil den eksponentielle transiente responsen avta til null.

• Å forstå poler og nullpunkter lar oss forbedre systemets ytelse og oppnå raskere, mer nøyaktige utganger.