Wat is een Eerste Orde Regelingsysteem?

Wat is een Eerste Orde Regelingsysteem?

Definitie van een Eerste Orde Regelingsysteem

Een eerste orde regelingsysteem maakt gebruik van een eenvoudig type differentiaalvergelijking om invoer en uitvoer te relateren, met focus op de eerste afgeleide in de tijd.

De overdrachtsfunctie (invoer-uitvoerrelatie) voor dit regelingsysteem is gedefinieerd als:

• K is de DC-versterking (DC-versterking van het systeemratio tussen het ingangssignaal en de stationaire waarde van de uitvoer)

• T is de tijdsconstante van het systeem (de tijdsconstante is een maat voor hoe snel een eerste-orde systeem reageert op een eenheidstap-invoer).

Overdrachtsfunctie van een Eerste Orde Regelingsysteem

Een overdrachtsfunctie vertegenwoordigt de relatie tussen het uitgangssignaal van een regelingsysteem en het ingangssignaal, voor alle mogelijke ingangs waarden.

Polen van een Overdrachtsfunctie

De polen van de overdrachtsfunctie zijn de waarden van de Laplace-transformatievariabele(n), die de overdrachtsfunctie oneindig maken. De noemer van de overdrachtsfunctie bestaat eigenlijk uit de polen van de functie.

Nulpunten van een Overdrachtsfunctie

De nulpunten van de overdrachtsfunctie zijn de waarden van de Laplace-transformatievariabele(n), die de overdrachtsfunctie nul maken. De teller van de overdrachtsfunctie bestaat eigenlijk uit de nulpunten van de functie.

Eerste Orde Regelingsysteem

Hier bespreken we het eerste-orde regelingsysteem zonder nulpunten. Het eerste-orde regelingsysteem vertelt ons de snelheid van de reactie, dat wil zeggen de duur waarmee het de stationaire toestand bereikt. Als de invoer een eenheidsstap is, R(s) = 1/s, dan is de uitvoer een stapreactie C(s). De algemene vergelijking van het 1e orde regelingsysteem is , d.w.z. de overdrachtsfunctie.

Er zijn twee polen, één is de ingangspool op de oorsprong s = 0 en de andere is de systeempool op s = -a, deze pool ligt op de negatieve as van de pooldiagram. Met behulp van MATLAB's pzmap-commando kunnen we de polen en nulpunten van het systeem identificeren, cruciaal voor het analyseren van het gedrag. We nemen nu de inverse transformatie, zodat de totale respons wordt, wat de som is van de gedwongen respons en de natuurlijke respons.

Door de ingangspool op de oorsprong, produceert de gedwongen respons, zoals de naam al aangeeft, een bepaalde respons die de gedwongen respons is, en de systeempool op -a produceert een natuurlijke respons die veroorzaakt wordt door de tijdelijke respons van het systeem.

Na enkele berekeningen, is de algemene vorm van het eerste-orde systeem C(s) = 1-e-at, dat gelijk is aan de gedwongen respons, die "1" is, en de natuurlijke respons, die gelijk is aan "e-at". Het enige wat nodig is om te vinden, is de parameter "a".

Veel technieken zoals differentiaalvergelijking of inverse Laplace-transformatie, lossen de totale respons op, maar dit is tijdrovend en arbeidsintensief.

Het gebruik van polen, nulpunten en enkele fundamentele concepten geeft ons kwalitatieve informatie om problemen op te lossen, en door deze concepten kunnen we gemakkelijk de snelheid van de respons en de tijd van het systeem om de stationaire toestand te bereiken bepalen.

Laten we de drie tijdelijke responsprestatiespecificaties beschrijven, de tijdsconstante, de opstijgtijd en de insteltijd voor een eerste-orde regelingsysteem.

Tijdsconstante van een Eerste Orde Regelingsysteem

De tijdsconstante kan worden gedefinieerd als de tijd die nodig is voor de stapschakeling om op te lopen tot 63% of 0,63 van de eindwaarde. Wij verwijzen hiernaar als t = 1/a. Als we de wederkerige van de tijdsconstante nemen, is de eenheid 1/seconde of frequentie.

We noemen de parameter "a" de exponentiële frequentie. Omdat de afgeleide van e-at is -a bij t = 0. Dus de tijdsconstante wordt beschouwd als een tijdelijke responsspecificatie voor een eerste-orde regelingsysteem.

We kunnen de snelheid van de respons beheren door de polen in te stellen. Omdat hoe verder de pool van de denkbeeldige as, hoe sneller de tijdelijke respons is. Dus, we kunnen de polen verder van de denkbeeldige as plaatsen om het hele proces te versnellen.

Opstijgtijd van een Eerste Orde Regelingsysteem

De opstijgtijd wordt gedefinieerd als de tijd voor de golfvorm om te gaan van 0,1 naar 0,9 of 10% naar 90% van de eindwaarde. Voor de vergelijking van de opstijgtijd, stoppen we 0,1 en 0,9 respectievelijk in de algemene vergelijking van het eerste-orde systeem.

Voor t = 0,1

Voor t = 0,9

Door het verschil tussen 0,9 en 0,1 te nemen

Hier is de vergelijking van de opstijgtijd. Als we de parameter "a" kennen, kunnen we de opstijgtijd van elk gegeven systeem gemakkelijk vinden door "a" in de vergelijking in te voeren.

Insteltijd van een Eerste Orde Regelingsysteem

De insteltijd wordt gedefinieerd als de tijd voor de respons om te bereiken en binnen 2% van de eindwaarde te blijven. We kunnen de percentagegrens beperken tot 5% van de eindwaarde. Beide percentages worden in overweging genomen.

De vergelijking voor de insteltijd is gegeven door Ts = 4/a.

Met behulp van deze drie tijdelijke responsspecificaties, kunnen we de stapschakeling van een gegeven systeem gemakkelijk berekenen, daarom is deze kwalitatieve techniek nuttig voor vergelijkingen van ordesystemen.

Conclusie van Eerste Orde Regelingsystemen

Na het leren van alles wat betrekking heeft op 1e orde regelingsystemen, komen we tot de volgende conclusies:

• Een pool van de ingangsfunctie genereert de vorm van de gedwongen respons. Dit komt doordat de pool op de oorsprong een stapfunctie op de uitvoer genereert.

• Een pool van de overdrachtsfunctie genereert een natuurlijke respons. Het is de pool van het systeem.

• Een pool op de reële as genereert een exponentiële frequentie van de vorm e-at. Hoe verder de pool van de oorsprong, hoe sneller de exponentiële tijdelijke respons zal afnemen naar nul.

• Begrip van polen en nulpunten stelt ons in staat de systeemprestaties te verbeteren en snellere, nauwkeurigere uitvoer te bereiken.