¿Qué es un Sistema de Control de Primer Orden?

¿Qué es un Sistema de Control de Primer Orden?

Definición de Sistema de Control de Primer Orden

Un sistema de control de primer orden utiliza un tipo simple de ecuación diferencial para relacionar las entradas y salidas, enfocándose únicamente en la primera derivada con respecto al tiempo.

La función de transferencia (relación entrada-salida) para este sistema de control se define como:

• K es la Ganancia DC (ganancia de la relación entre la señal de entrada y el valor estable de la salida)

• T es la constante de tiempo del sistema (la constante de tiempo es una medida de cuán rápidamente responde un sistema de primer orden a una entrada escalón unitario).

Función de Transferencia de un Sistema de Control de Primer Orden

Una función de transferencia representa la relación entre la señal de salida de un sistema de control y la señal de entrada, para todos los valores posibles de entrada.

Polos de una Función de Transferencia

Los polos de la función de transferencia son los valores de la variable de la Transformada de Laplace que hacen que la función de transferencia se vuelva infinita. El denominador de una función de transferencia es, de hecho, los polos de la función.

Ceros de una Función de Transferencia

Los ceros de la función de transferencia son los valores de la variable de la Transformada de Laplace que hacen que la función de transferencia se anule. El numerador de una función de transferencia es, de hecho, los ceros de la función.

Sistema de Control de Primer Orden

Aquí discutimos el sistema de control de primer orden sin ceros. El sistema de control de primer orden nos dice la velocidad de la respuesta, es decir, qué duración toma para alcanzar el estado estable. Si la entrada es un escalón unitario, R(s) = 1/s, entonces la salida es una respuesta escalón C(s). La ecuación general del sistema de control de primer orden es , es decir, es la función de transferencia.

Hay dos polos, uno es el polo de entrada en el origen s = 0 y el otro es el polo del sistema en s = -a, este polo está en el eje negativo del diagrama de polos. Usando el comando pzmap de MATLAB, podemos identificar los polos y ceros del sistema, cruciales para analizar su comportamiento. Ahora, tomando la transformada inversa, la respuesta total se convierte en , que es la suma de la respuesta forzada y la respuesta natural.

Debido al polo de entrada en el origen, produce la respuesta forzada, como su nombre lo indica, que da fuerza al sistema, produciendo una respuesta que es forzada. El polo del sistema en -a produce una respuesta natural debido a la respuesta transitoria del sistema.

Después de algunos cálculos, la forma general del sistema de primer orden es C(s) = 1-e-at, que es igual a la respuesta forzada, que es "1", y la respuesta natural, que es igual a "e-at". Lo único que se necesita encontrar es el parámetro "a".

Muchas técnicas, como la ecuación diferencial o la transformada inversa de Laplace, todas estas resuelven la respuesta total, pero son consumidoras de tiempo y laboriosas.

El uso de polos, ceros y algunos conceptos fundamentales nos proporciona información cualitativa para resolver problemas y, gracias a estos conceptos, podemos decir fácilmente la velocidad de la respuesta y el tiempo que tarda el sistema en alcanzar el punto de estado estable.

Describamos las tres especificaciones de rendimiento de la respuesta transitoria, la constante de tiempo, el tiempo de subida y el tiempo de asentamiento, para un sistema de control de primer orden.

Constante de Tiempo de un Sistema de Control de Primer Orden

La constante de tiempo se puede definir como el tiempo que tarda la respuesta escalón en subir hasta el 63% o 0,63 de su valor final. Nos referimos a esto como t = 1/a. Si tomamos el recíproco de la constante de tiempo, su unidad es 1/segundos o frecuencia.

Llamamos al parámetro "a" la frecuencia exponencial. Porque la derivada de e-at es -a en t = 0. Por lo tanto, la constante de tiempo se considera una especificación de la respuesta transitoria para un sistema de control de primer orden.

Podemos controlar la velocidad de la respuesta estableciendo los polos. Cuanto más lejos esté el polo del eje imaginario, más rápida será la respuesta transitoria. Entonces, podemos establecer los polos más lejos del eje imaginario para acelerar todo el proceso.

Tiempo de Subida de un Sistema de Control de Primer Orden

El tiempo de subida se define como el tiempo para que la forma de onda vaya del 0,1 al 0,9 o del 10% al 90% de su valor final. Para la ecuación del tiempo de subida, ponemos 0,1 y 0,9 en la ecuación general del sistema de primer orden, respectivamente.

Para t = 0,1

Para t = 0,9

Tomando la diferencia entre 0,9 y 0,1

Aquí está la ecuación del tiempo de subida. Si conocemos el parámetro "a", podemos encontrar fácilmente el tiempo de subida de cualquier sistema dado poniendo "a" en la ecuación.

Tiempo de Asentamiento de un Sistema de Control de Primer Orden

El tiempo de asentamiento se define como el tiempo para que la respuesta alcance y permanezca dentro del 2% de su valor final. Podemos limitar el porcentaje hasta el 5% de su valor final. Ambos porcentajes son considerados.

La ecuación del tiempo de asentamiento se da por Ts = 4/a.

Usando estas tres especificaciones de la respuesta transitoria, podemos calcular fácilmente la respuesta escalón de un sistema dado, por eso esta técnica cualitativa es útil para las ecuaciones de sistemas de orden.

Conclusión de los Sistemas de Control de Primer Orden

Después de aprender todo lo relacionado con el sistema de control de primer orden, llegamos a las siguientes conclusiones:

• Un polo de la función de entrada genera la forma de la respuesta forzada. Esto se debe al polo en el origen, que genera una función escalón en la salida.

• Un polo de la función de transferencia genera una respuesta natural. Es el polo del sistema.

• Un polo en el eje real genera una frecuencia exponencial de la forma e-at. Por lo tanto, cuanto más lejos esté el polo del origen, más rápido decaerá la respuesta transitoria exponencial a cero.

• Comprender los polos y ceros nos permite mejorar el rendimiento del sistema y lograr salidas más rápidas y precisas.