O que é um Sistema de Controle de Primeira Ordem?

O que é um Sistema de Controle de Primeira Ordem?

Definição de Sistema de Controle de Primeira Ordem

Um sistema de controle de primeira ordem usa um tipo simples de equação diferencial para relacionar entradas e saídas, focando apenas na primeira derivada do tempo.

A função de transferência (relação entrada-saída) para este sistema de controle é definida como:

• K é o Ganho DC (ganho DC do sistema, razão entre o sinal de entrada e o valor em estado estacionário da saída)

• T é a constante de tempo do sistema (a constante de tempo é uma medida de quão rapidamente um sistema de primeira ordem responde a uma entrada degrau unitário).

Função de Transferência de Sistema de Controle de Primeira Ordem

Uma função de transferência representa a relação entre o sinal de saída de um sistema de controle e o sinal de entrada, para todos os valores possíveis de entrada.

Pólos de uma Função de Transferência

Os pólos da função de transferência são os valores da variável da Transformada de Laplace, que fazem com que a função de transferência se torne infinita.O denominador de uma função de transferência é, na verdade, os pólos da função.

Zeros de uma Função de Transferência

Os zeros da função de transferência são os valores da variável da Transformada de Laplace, que fazem com que a função de transferência se torne zero.O numerador de uma função de transferência é, na verdade, os zeros da função.

Sistema de Controle de Primeira Ordem

Aqui, discutimos o sistema de controle de primeira ordem sem zeros. O sistema de controle de primeira ordem nos informa a velocidade da resposta, ou seja, a duração que leva para atingir o estado estacionário.Se a entrada for um degrau unitário, R(s) = 1/s, então a saída será uma resposta ao degrau C(s). A equação geral do sistema de controle de primeira ordem é, ou seja, a função de transferência.

Existem dois pólos, um é o pólo de entrada na origem s = 0 e o outro é o pólo do sistema em s = -a, este pólo está no eixo negativo do gráfico de pólos.Usando o comando pzmap do MATLAB, podemos identificar os pólos e zeros do sistema, cruciais para analisar seu comportamento.Agora, tomando a transformada inversa, a resposta total se torna, que é a soma da resposta forçada e da resposta natural.

Devido ao pólo de entrada na origem, produz a resposta forçada, como o nome descreve, impondo força ao sistema, produzindo uma resposta que é a resposta forçada, e o pólo do sistema em -a produz uma resposta natural, devido à resposta transitória do sistema.

Após alguns cálculos, a forma geral do sistema de primeira ordem é C(s) = 1-e-at, que é igual à resposta forçada, que é “1”, e à resposta natural, que é igual a “e-at”. A única coisa que precisa ser encontrada é o parâmetro “a”.

Muitas técnicas, como equações diferenciais ou Transformada Inversa de Laplace, todas resolvem a resposta total, mas são demoradas e trabalhosas.

O uso de pólos, zeros e alguns conceitos fundamentais nos dá informações qualitativas para resolver problemas e, graças a esses conceitos, podemos facilmente dizer a velocidade da resposta e o tempo do sistema para atingir o ponto de estado estacionário.

Vamos descrever as três especificações de desempenho de resposta transitória, a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação para um sistema de controle de primeira ordem.

Constante de Tempo de um Sistema de Controle de Primeira Ordem

A constante de tempo pode ser definida como o tempo que leva para a resposta ao degrau subir até 63% ou 0,63 de seu valor final. Referimo-nos a isso como t = 1/a. Se tomarmos o recíproco da constante de tempo, sua unidade é 1/segundos ou frequência.

Chamamos o parâmetro “a” de frequência exponencial. Porque a derivada de e-at é -a em t = 0. Portanto, a constante de tempo é considerada uma especificação de resposta transitória para um sistema de controle de primeira ordem.

Podemos controlar a velocidade da resposta configurando os pólos. Porque quanto mais distante o pólo do eixo imaginário, mais rápida é a resposta transitória. Então, podemos posicionar os pólos mais distantes do eixo imaginário para acelerar todo o processo.

Tempo de Subida de um Sistema de Controle de Primeira Ordem

O tempo de subida é definido como o tempo para a ondaforme ir de 0,1 a 0,9 ou de 10% a 90% de seu valor final. Para a equação do tempo de subida, colocamos 0,1 e 0,9 na equação geral do sistema de primeira ordem, respectivamente.

Para t = 0,1

Para t = 0,9

Tomando a diferença entre 0,9 e 0,1

Aqui está a equação do tempo de subida. Se soubermos o parâmetro “a”, podemos facilmente encontrar o tempo de subida de qualquer sistema dado, colocando “a” na equação.

Tempo de Acomodação de um Sistema de Controle de Primeira Ordem

O tempo de acomodação é definido como o tempo para a resposta atingir e permanecer dentro de 2% de seu valor final. Podemos limitar a porcentagem até 5% de seu valor final. Ambas as porcentagens são considerações.

A equação do tempo de acomodação é dada por Ts = 4/a.

Usando essas três especificações de resposta transitória, podemos facilmente calcular a resposta ao degrau de um sistema dado, e é por isso que essa técnica qualitativa é útil para equações de sistemas de ordem.

Conclusão sobre Sistemas de Controle de Primeira Ordem

Após aprender tudo relacionado ao sistema de controle de primeira ordem, chegamos às seguintes conclusões:

• Um pólo da função de entrada gera a forma da resposta forçada. Isso ocorre devido ao pólo na origem, que gera uma função degrau na saída.

• Um pólo da função de transferência gera uma resposta natural. É o pólo do sistema.

• Um pólo no eixo real gera uma frequência exponencial da forma e-at. Assim, quanto mais distante o pólo da origem, mais rápido a resposta transitória exponencial decrescerá para zero.

• Compreender pólos e zeros nos permite melhorar o desempenho do sistema e obter saídas mais rápidas e precisas.