Was ist ein System erster Ordnung?
Was ist ein System erster Ordnung?
Definition eines Systems erster Ordnung
Ein System erster Ordnung verwendet eine einfache Art von Differentialgleichung, um Eingänge und Ausgänge zu verknüpfen, wobei der Fokus auf der ersten zeitlichen Ableitung liegt.
Die Übertragungsfunktion (Eingangs-Ausgangs-Beziehung) für dieses Steuersystem wird definiert als:
K ist die Gleichspannungsverstärkung (Verhältnis zwischen dem Eingangssignal und dem stationären Wert des Ausgangssignals)
T ist die Zeitkonstante des Systems (die Zeitkonstante ist ein Maß dafür, wie schnell ein System erster Ordnung auf eine Einheitssprungfunktion reagiert).
Übertragungsfunktion eines Systems erster Ordnung
Eine Übertragungsfunktion stellt das Verhältnis zwischen dem Ausgangssignal eines Steuersystems und dem Eingangssignal für alle möglichen Eingangswerte dar.
Polstellen einer Übertragungsfunktion
Die Polstellen der Übertragungsfunktion sind die Werte der Laplace-Transformationsvariablen, die die Übertragungsfunktion unendlich werden lassen. Der Nenner der Übertragungsfunktion enthält tatsächlich die Polstellen der Funktion.
Nullstellen einer Übertragungsfunktion
Die Nullstellen der Übertragungsfunktion sind die Werte der Laplace-Transformationsvariablen, die die Übertragungsfunktion null werden lassen. Der Zähler der Übertragungsfunktion enthält tatsächlich die Nullstellen der Funktion.
System erster Ordnung
Hier besprechen wir ein System erster Ordnung ohne Nullstellen. Das System erster Ordnung gibt uns die Geschwindigkeit der Reaktion an, also die Dauer, bis es den stationären Zustand erreicht. Wenn das Eingangssignal eine Einheitssprungfunktion ist, R(s) = 1/s, so ist die Ausgabe eine Sprungantwort C(s). Die allgemeine Gleichung eines Systems erster Ordnung lautet, d.h. die Übertragungsfunktion.
Es gibt zwei Polstellen, eine ist die Eingangspolstelle am Ursprung s = 0 und die andere ist die Systempolstelle bei s = -a, diese Polstelle befindet sich auf der negativen Achse des Polplots. Mit MATLAB's pzmap-Befehl können wir die Pol- und Nullstellen des Systems identifizieren, was entscheidend für die Analyse seines Verhaltens ist. Wir nehmen nun die inverse Transformation, sodass die Gesamtantwort wird, die aus der Summe der erzwungenen und natürlichen Antwort besteht.
Durch die Eingangspolstelle am Ursprung entsteht die erzwungene Antwort, wie der Name schon sagt, sie zwingt das System, eine Antwort zu produzieren, die die erzwungene Antwort ist. Die Systempolstelle bei -a produziert eine natürliche Antwort, die auf die transiente Antwort des Systems zurückzuführen ist.
Nach einigen Berechnungen lautet die allgemeine Form eines Systems erster Ordnung C(s) = 1-e-at, was der erzwungenen Antwort „1“ und der natürlichen Antwort „e-at“ entspricht. Das einzige, was noch gefunden werden muss, ist der Parameter „a“.
Viele Techniken wie Differentialgleichungen oder inverse Laplace-Transformation lösen die Gesamtantwort, sind aber zeitaufwendig und arbeitsintensiv.
Die Verwendung von Pol- und Nullstellen sowie einige grundlegende Konzepte geben uns qualitative Informationen zur Lösung von Problemen. Durch diese Konzepte können wir leicht die Geschwindigkeit der Reaktion und die Zeit, die das System benötigt, um den stationären Zustand zu erreichen, bestimmen.
Lassen Sie uns die drei Leistungsparameter der transienten Antwort, die Zeitkonstante, die Anstiegszeit und die Einstellzeit für ein System erster Ordnung beschreiben.
Zeitkonstante eines Systems erster Ordnung
Die Zeitkonstante kann als die Zeit definiert werden, die die Sprungantwort benötigt, um 63% oder 0,63 ihres Endwerts zu erreichen. Wir bezeichnen dies als t = 1/a. Wenn wir den Kehrwert der Zeitkonstante nehmen, ist ihre Einheit 1/Sekunden oder Frequenz.
Wir nennen den Parameter „a“ die exponentielle Frequenz. Da die Ableitung von e-at bei t = 0 -a ist, wird die Zeitkonstante als transiente Antwortspezifikation für ein System erster Ordnung betrachtet.
Wir können die Geschwindigkeit der Reaktion durch das Setzen der Polstellen steuern. Je weiter die Polstelle von der imaginären Achse entfernt ist, desto schneller ist die transiente Antwort. Daher können wir die Polstellen weiter von der imaginären Achse entfernt setzen, um den gesamten Prozess zu beschleunigen.
Anstiegszeit eines Systems erster Ordnung
Die Anstiegszeit ist definiert als die Zeit, in der die Wellenform von 0,1 auf 0,9 oder von 10% auf 90% ihres Endwerts ansteigt. Für die Gleichung der Anstiegszeit setzen wir 0,1 und 0,9 in die allgemeine Gleichung eines Systems erster Ordnung ein.
Für t = 0,1
Für t = 0,9
Indem wir den Unterschied zwischen 0,9 und 0,1 nehmen
Hier die Gleichung der Anstiegszeit. Wenn wir den Parameter „a“ kennen, können wir die Anstiegszeit eines beliebigen Systems leicht finden, indem wir „a“ in die Gleichung einsetzen.
Einstellzeit eines Systems erster Ordnung
Die Einstellzeit ist definiert als die Zeit, in der die Antwort ihren Endwert erreicht und innerhalb von 2% bleibt. Wir können den Prozentsatz auf 5% des Endwerts begrenzen. Beide Prozentsätze werden berücksichtigt.
Die Gleichung der Einstellzeit lautet Ts = 4/a.
Mit diesen drei Leistungsparametern der transienten Antwort können wir die Sprungantwort eines gegebenen Systems leicht berechnen. Deshalb ist diese qualitative Methode für Systeme erster Ordnung nützlich.
Fazit für Systeme erster Ordnung
Nachdem wir alles über Systeme erster Ordnung gelernt haben, kommen wir zu den folgenden Schlussfolgerungen:
Eine Polstelle der Eingangsfunktion erzeugt die Form der erzwungenen Antwort. Dies ist aufgrund der Polstelle am Ursprung, die eine Sprungfunktion am Ausgang erzeugt.
Eine Polstelle der Übertragungsfunktion erzeugt eine natürliche Antwort. Es ist die Polstelle des Systems.
Eine Polstelle auf der reellen Achse erzeugt eine exponentielle Frequenz der Form e-at. Je weiter die Polstelle vom Ursprung entfernt ist, desto schneller fällt die exponentielle transiente Antwort auf Null ab.
Das Verständnis von Pol- und Nullstellen ermöglicht es uns, die Systemleistung zu verbessern und schnellere, genauere Ausgänge zu erzielen.
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