ما هو نظام التحكم من الدرجة الأولى؟

ما هو نظام التحكم من الدرجة الأولى؟

تعريف نظام التحكم من الدرجة الأولى

يستخدم نظام التحكم من الدرجة الأولى نوعًا بسيطًا من المعادلات التفاضلية لربط المدخلات والمخرجات، مع التركيز فقط على المشتقة الأولى للزمن.

دالة التحويل (علاقة المدخلات والمخرجات) لهذا النظام هي:

• K هو مكسب التيار المستمر (نسبة بين إشارة المدخل والقيمة المستقرة للمخرج)

• T هي الثابت الزمني للنظام (الثابت الزمني هو قياس لكيفية استجابة نظام من الدرجة الأولى لإشارة الخطوة الوحدوية).

دالة التحويل لنظام التحكم من الدرجة الأولى

تمثل دالة التحويل العلاقة بين إشارة المخرج وإشارة المدخل لنظام التحكم ولجميع القيم الممكنة للمدخلات.

أقطاب دالة التحويل

الأقطاب في دالة التحويل هي قيم متغير تحويل لابلاس التي تجعل دالة التحويل تصبح لا نهائية. المقام في دالة التحويل هو الأقطاب الفعلية للدالة.

أصفار دالة التحويل

الأصفار في دالة التحويل هي قيم متغير تحويل لابلاس التي تجعل دالة التحويل تصبح صفرًا. البسط في دالة التحويل هو الأصفار الفعلية للدالة.

نظام التحكم من الدرجة الأولى

نناقش هنا نظام التحكم من الدرجة الأولى بدون أصفار. يخبرنا نظام التحكم من الدرجة الأولى بمعدل الاستجابة وما هي المدة التي يستغرقها الوصول إلى الحالة المستقرة. إذا كانت الإشارة المدخل وحدوية، R(s) = 1/s فإن الإشارة المخرج تكون استجابة خطوة C(s). المعادلة العامة لنظام التحكم من الدرجة الأولى هي ، أي هي دالة التحويل.

هناك قطبان، أحدهما قطب المدخل عند نقطة الأصل s = 0 والآخر هو قطب النظام عند s = -a، وهذا القطب موجود على المحور السالب في رسم القطبين. باستخدام أمر pzmap في MATLAB، يمكننا تحديد الأقطاب والأصفار للنظام، وهو أمر حاسم لتحليل سلوكه. نأخذ الآن التحويل العكسي بحيث تصبح الاستجابة الكلية هي مجموع الاستجابة القسرية والاستجابة الطبيعية.

بسبب قطب المدخل عند نقطة الأصل، ينتج الاستجابة القسرية كما يشير اسمها بأنها تفرض على النظام لينتج استجابة قسرية، بينما قطب النظام عند -a ينتج استجابة طبيعية بسبب الاستجابة العابرة للنظام.

بعد بعض الحسابات، الشكل العام لنظام من الدرجة الأولى هو C(s) = 1-e-at والذي يساوي الاستجابة القسرية وهي "1" والاستجابة الطبيعية وهي "e-at". الشيء الوحيد الذي يحتاج إلى العثور عليه هو المعلمة "a".

هناك العديد من التقنيات مثل المعادلات التفاضلية أو التحويل العكسي لابلاس، وكلها تحل الاستجابة الكلية ولكنها تستغرق وقتًا وجهدًا كبيرًا.

استخدام الأقطاب والأصفار وبعض المفاهيم الأساسية يعطينا المعلومات النوعية لحل المشكلات وبفضل هذه المفاهيم يمكننا بسهولة تحديد معدل الاستجابة ومدة النظام للوصول إلى نقطة الحالة المستقرة.

دعونا نصف ثلاثة مواصفات لأداء الاستجابة العابرة، الثابت الزمني، وقت الصعود، وقت الاستقرار لنظام التحكم من الدرجة الأولى.

الثابت الزمني لنظام التحكم من الدرجة الأولى

يمكن تعريف الثابت الزمني بأنه الوقت الذي يستغرقه استجابة الخطوة للارتفاع إلى 63% أو 0.63 من قيمتها النهائية. نشير إلى هذا كـ t = 1/a. إذا أخذنا مقلوب الثابت الزمني، فإن وحدته هي 1/ثانية أو تردد.

نسمي المعلمة "a" التردد الأسي. لأن مشتق e-at هو -a عند t = 0. لذلك يعتبر الثابت الزمني مواصفة للاستجابة العابرة لنظام التحكم من الدرجة الأولى.

يمكننا السيطرة على معدل الاستجابة عن طريق ضبط الأقطاب. حيث أن كلما كان القطب بعيدًا عن المحور التخيلي، كان الاستجابة العابرة أسرع. لذا يمكننا وضع الأقطاب بعيدًا عن المحور التخيلي لتسريع العملية بأكملها.

وقت الصعود لنظام التحكم من الدرجة الأولى

يُعرف وقت الصعود بأنه الوقت الذي تستغرقه الموجة للانتقال من 0.1 إلى 0.9 أو 10% إلى 90% من قيمتها النهائية. بالنسبة لمعادلة وقت الصعود، نضع 0.1 و 0.9 في المعادلة العامة لنظام الدرجة الأولى على التوالي.

لـ t = 0.1

لـ t = 0.9

أخذ الفرق بين 0.9 و 0.1

هنا معادلة وقت الصعود. إذا علمنا المعلمة "a"، يمكننا بسهولة العثور على وقت الصعود لأي نظام معين عن طريق وضع "a" في المعادلة.

وقت الاستقرار لنظام التحكم من الدرجة الأولى

يُعرف وقت الاستقرار بأنه الوقت الذي تستغرقه الاستجابة للوصول والبقاء ضمن 2% من قيمتها النهائية. يمكننا تقييد النسبة حتى 5% من قيمتها النهائية. كلا النسبتين معتبرتان.

معادلة وقت الاستقرار هي Ts = 4/a.

باستخدام هذه المواصفات الثلاثة لأداء الاستجابة العابرة، يمكننا بسهولة حساب استجابة الخطوة لنظام معين، وهذا هو السبب في أن هذه التقنية النوعية مفيدة لمعادلات أنظمة الدرجة الأولى.

خاتمة أنظمة التحكم من الدرجة الأولى

بعد تعلم كل ما يتعلق بنظام التحكم من الدرجة الأولى، نصل إلى الاستنتاجات التالية:

• قطب الدالة المدخل يولد شكل الاستجابة القسرية. وذلك بسبب القطب عند نقطة الأصل الذي يولد دالة الخطوة في المخرج.

• قطب دالة التحويل يولد استجابة طبيعية. إنه قطب النظام.

• قطب على المحور الحقيقي يولد ترددًا أسياً من الشكل e-at. وبالتالي، كلما كان القطب بعيدًا عن نقطة الأصل، كان الاستجابة العابرة الأسية تضمحل أسرع إلى الصفر.

• فهم الأقطاب والأصفار يسمح لنا بتحسين أداء النظام وتحقيق مخرجات أسرع وأكثر دقة.