چه چیزی سیستم کنترل اولین مرتبه است

چه چیزی سیستم کنترل مرتبه اول است؟

تعریف سیستم کنترل مرتبه اول

سیستم کنترل مرتبه اول از نوع ساده‌ای از معادله دیفرانسیل برای مرتبط کردن ورودی‌ها و خروجی‌ها استفاده می‌کند و فقط روی مشتق اول زمان تمرکز دارد.

تابع انتقال (رابطه ورودی-خروجی) برای این سیستم کنترل به صورت زیر تعریف شده است:

• K ضریب DC (نسبت بین سیگنال ورودی و مقدار پایدار خروجی) است

• T ثابت زمانی سیستم (ثابت زمانی اندازه‌گیری می‌کند که چقدر سیستم مرتبه اول به ورودی پله واحد واکنش نشان می‌دهد) است

تابع انتقال سیستم کنترل مرتبه اول

تابع انتقال رابطه بین سیگنال خروجی یک سیستم کنترل و سیگنال ورودی را برای تمام مقادیر ورودی ممکن نشان می‌دهد.

قطب‌های یک تابع انتقال

قطب‌های تابع انتقال مقادیر متغیر تبدیل لاپلاس هستند که باعث می‌شوند تابع انتقال بی‌نهایت شود. مخرج تابع انتقال در واقع قطب‌های آن است.

صفرهای یک تابع انتقال

صفرهای تابع انتقال مقادیر متغیر تبدیل لاپلاس هستند که باعث می‌شوند تابع انتقال صفر شود. صورت تابع انتقال در واقع صفرهای آن است.

سیستم کنترل مرتبه اول

در اینجا ما سیستم کنترل مرتبه اول بدون صفرها را بررسی می‌کنیم. سیستم کنترل مرتبه اول به ما می‌گوید که سرعت پاسخ چقدر است و چه مدت زمانی به حالت پایدار می‌رسد. اگر ورودی یک پله واحد باشد، R(s) = 1/s بنابراین خروجی پاسخ پله C(s) است. معادله عمومی سیستم کنترل مرتبه اول است، یعنی تابع انتقال است.

دو قطب وجود دارد، یکی قطب ورودی در مبدا s = 0 و دیگری قطب سیستم در s = -a است که این قطب در محور منفی قطب‌نمای قرار دارد. با استفاده از دستور pzmap MATLAB می‌توانیم قطب‌ها و صفرهای سیستم را شناسایی کنیم که برای تحلیل رفتار آن حیاتی است. حالا با گرفتن تبدیل معکوس، پاسخ کلی که مجموع پاسخ اجباری و طبیعی است به دست می‌آید.

به دلیل قطب ورودی در مبدا، پاسخ اجباری تولید می‌شود که خودش توضیح می‌دهد که به سیستم نیرو می‌دهد و پاسخی تولید می‌کند که پاسخ اجباری است و قطب سیستم در -a پاسخ طبیعی را تولید می‌کند که به دلیل پاسخ گذرا سیستم است.

بعد از برخی محاسبات، فرم عمومی سیستم مرتبه اول C(s) = 1-e-at است که برابر با پاسخ اجباری که "1" است و پاسخ طبیعی که برابر با "e-at" است. تنها چیزی که باید پیدا کرد پارامتر "a" است.

بسیاری از تکنیک‌ها مثل معادلات دیفرانسیل یا تبدیل لاپلاس معکوس، همه این‌ها پاسخ کلی را حل می‌کنند اما این‌ها وقت‌گیر و پرخاش می‌باشند.

استفاده از قطب‌ها، صفرها و بعضی مفاهیم اساسی به ما اطلاعات کیفی برای حل مسائل می‌دهد و با استفاده از این مفاهیم می‌توانیم به راحتی سرعت پاسخ و زمان رسیدن سیستم به نقطه حالت پایدار را بگوییم.

بیایید سه مشخصه عملکرد پاسخ گذرا، ثابت زمانی، زمان بالارو و زمان پایدارشدن را برای یک سیستم کنترل مرتبه اول توصیف کنیم.

ثابت زمانی یک سیستم کنترل مرتبه اول

ثابت زمانی می‌تواند به عنوان زمانی تعریف شود که پاسخ پله به 63% یا 0.63 از مقدار نهایی خود بالا می‌رود. ما این را t = 1/a می‌نامیم. اگر ما معکوس ثابت زمان را بگیریم، واحد آن 1/ثانیه یا فرکانس است.

پارامتر "a" را فرکانس نمایی می‌نامیم. زیرا مشتق e-at در t = 0 برابر با -a است. بنابراین ثابت زمان به عنوان یک مشخصه پاسخ گذرا برای یک سیستم کنترل مرتبه اول در نظر گرفته می‌شود.

می‌توانیم سرعت پاسخ را با تنظیم قطب‌ها کنترل کنیم. زیرا هر چه قطب از محور موهومی دورتر باشد، پاسخ گذرا سریع‌تر خواهد بود. بنابراین می‌توانیم قطب‌ها را دورتر از محور موهومی تنظیم کنیم تا کل فرآیند را سریع‌تر کنیم.

زمان بالارو یک سیستم کنترل مرتبه اول

زمان بالارو به عنوان زمانی تعریف می‌شود که موج‌شکل از 0.1 به 0.9 یا 10% به 90% مقدار نهایی خود می‌رسد. برای معادله زمان بالارو، ما 0.1 و 0.9 را به ترتیب در معادله عمومی سیستم مرتبه اول قرار می‌دهیم.

برای t = 0.1

برای t = 0.9

گرفتن تفاوت بین 0.9 و 0.1

اینجا معادله زمان بالارو است. اگر پارامتر "a" را بدانیم، می‌توانیم به راحتی زمان بالارو هر سیستم داده شده را با قرار دادن "a" در معادله پیدا کنیم.

زمان پایدارشدن یک سیستم کنترل مرتبه اول

زمان پایدارشدن به عنوان زمانی تعریف می‌شود که پاسخ به 2% مقدار نهایی خود می‌رسد و در آن محدوده می‌ماند. می‌توانیم درصد را تا 5% مقدار نهایی محدود کنیم. هر دو درصد در نظر گرفته می‌شوند.

معادله زمان پایدارشدن توسط Ts = 4/a داده می‌شود.

با استفاده از این سه مشخصه پاسخ گذرا، می‌توانیم به راحتی پاسخ پله یک سیستم داده شده را محاسبه کنیم که به همین دلیل این تکنیک کیفی برای معادلات سیستم‌های مرتبه اول مفید است.

نتیجه‌گیری از سیستم‌های کنترل مرتبه اول

بعد از یادگیری همه چیزهای مربوط به سیستم کنترل مرتبه اول، به نتایج زیر می‌رسیم:

• قطب تابع ورودی فرم پاسخ اجباری را تولید می‌کند. این به دلیل قطب در مبدا است که یک تابع پله در خروجی تولید می‌کند.

• قطب تابع انتقال یک پاسخ طبیعی تولید می‌کند. این قطب سیستم است.

• قطب روی محور حقیقی یک فرکانس نمایی به فرم e-at تولید می‌کند. بنابراین، هر چه قطب از مبدا دورتر باشد، پاسخ گذرا نمایی سریع‌تر به صفر میل می‌کند.

• فهمیدن قطب‌ها و صفرها به ما اجازه می‌دهد تا عملکرد سیستم را بهبود بخشیم و خروجی‌های سریع‌تر و دقیق‌تری به دست آوریم.