Birinci Mertebe Kontrol Sistemi nədir?

Birinci Mertebe Kontrol Sistemi Nedir?

Birinci Mertebe Kontrol Sistemi Tanımı

Birinci mertebe kontrol sistemi, giriş ve çıkışları ilişkilendirmek için basit bir tür diferansiyel denklem kullanır ve sadece zamanın birinci türevine odaklanır.

Bu kontrol sistemi için aktarım fonksiyonu (giriş-çıkış ilişkisi) şu şekilde tanımlanır:

• K, DC kazancıdır (sistem kazancının giriş sinyali ile çıkışın durağan değer arasındaki oranı)

• T, sistemin zaman sabiti olup (birinci mertebe sistemin birim adım girişi üzerine ne kadar hızlı tepki verdiğini ölçen bir parametre)

Birinci Mertebe Kontrol Sistemi Aktarım Fonksiyonu

Aktarım fonksiyonu, bir kontrol sisteminin çıkış sinyali ile giriş sinyali arasındaki ilişkiyi, tüm olası giriş değerleri için temsil eder.

Aktarım Fonksiyonunun Kutupları

Aktarım fonksiyonunun kutupları, Laplace Dönüşümü değişkeninin, aktarım fonksiyonunu sonsuza çıkaran değerleridir. Aktarım fonksiyonunun paydası aslında fonksiyonun kutuplarıdır.

Aktarım Fonksiyonunun Sıfırları

Aktarım fonksiyonunun sıfırları, Laplace Dönüşümü değişkeninin, aktarım fonksiyonunu sıfır yapan değerleridir. Aktarım fonksiyonunun payı aslında fonksiyonun sıfırlarıdır.

Birinci Mertebe Kontrol Sistemi

Burada sıfır olmayan birinci mertebe kontrol sistemini tartışıyoruz. Birinci mertebe kontrol sistemi, ne kadar sürede durağan duruma ulaşacağını belirtir. Eğer giriş birim adım ise, R(s) = 1/s olur ve çıkış bir adım yanıtı C(s) olur. Birinci mertebe kontrol sisteminin genel denklemi, yani aktarım fonksiyonudur.

İki kutup var, biri orijinde s = 0 olan giriş kutbu ve diğeri s = -a olan sistem kutbu. Bu kutup, kutup çizgesinin negatif eksenindedir. MATLAB'ın pzmap komutunu kullanarak, sistemin kutuplarını ve sıfırlarını belirleyebiliriz, bu da davranışını analiz etmek için kritik öneme sahiptir. Şimdi ters dönüşüm alarak toplam yanıt, zorlanmış yanıtın ve doğal yanıtın toplamı haline gelir.

Orijindeki giriş kutbu, zorlanmış yanıt oluşturur, çünkü kendisinin adı da belirttiği gibi, sisteme zorlamayı sağlar ve bu nedenle bazı yanıt ortaya çıkar. Sistem kutbu -a, geçici yanıt nedeniyle doğal yanıt oluşturur.

Bazı hesaplamalar sonucunda, birinci mertebe sistemin genel formu C(s) = 1-e-at olur. Bu, "1" olan zorlanmış yanıt ve "e-at" olan doğal yanıtla eşittir. Bulmamız gereken tek şey "a" parametresidir.

Diferansiyel denklem veya ters Laplace Dönüşümü gibi birçok teknik, toplam yanıt problemini çözer, ancak bu teknikler zaman alıcı ve yoğun çalışmayı gerektirir.

Kutupların, sıfırların ve bazı temel kavramların kullanımı, sorunları çözmek için nitel bilgi sağlar. Bu kavramlar sayesinde, tepki hızını ve sistemin durağan durum noktasına ulaşma süresini kolayca belirleyebiliriz.

Şimdi, birinci mertebe kontrol sistemi için üç geçici yanıt performans belirtisini, zaman sabitini, yükseltme süresini ve yerleşme süresini açıklayalım.

Birinci Mertebe Kontrol Sisteminin Zaman Sabiti

Zaman sabiti, adım yanıtnın son değerinin %63 veya 0,63'üne kadar yükselmek için geçen süreyi ifade eder. Buna t = 1/a deriz. Eğer zaman sabitinin karşılığını alırsak, birimimiz 1/saniye veya frekans olur.

"a" parametresine üstel frekans diyebiliriz. Çünkü e-at'in türevi, t = 0'da -a'dır. Bu nedenle, zaman sabiti, birinci mertebe kontrol sistemi için geçici yanıt belirtisi olarak kabul edilir.

Yanıt hızını, kutupları ayarlayarak kontrol edebiliriz. Çünkü kutuplar hayali eksenin daha uzağına olduğunda, geçici yanıt daha hızlı olur. Bu nedenle, tüm süreci hızlandırmak için kutupları hayali eksenin daha uzağına yerleştirebiliriz.

Birinci Mertebe Kontrol Sisteminin Yükseltme Süresi

Yükseltme süresi, dalga formunun son değerinin %10'dan %90'a veya 0,1'den 0,9'a kadar yükselemesi için geçen süreyi ifade eder. Yükseltme süresi denklemi için, genel birinci mertebe sistem denkleminde sırasıyla 0,1 ve 0,9 değerlerini yerleştiririz.

t = 0,1 için

t = 0,9 için

0,9 ve 0,1 arasındaki farkı alarak

Burada yükseltme süresi denklemi. Eğer "a" parametresini biliyorsak, herhangi bir sistemin yükseltme süresini denklemde "a" değerini yerleştirerek kolayca bulabiliriz.

Birinci Mertebe Kontrol Sisteminin Yerleşme Süresi

Yerleşme süresi, yanıtnın son değerinin %2'sine kadar ulaşıp kalması için geçen süreyi ifade eder. Bu yüzdeyi son değerinin %5'ine kadar sınırlayabiliriz. Her iki yüzde de göz önünde bulundurulur.

Yerleşme süresi denklemi Ts = 4/a ile verilir.

Bu üç geçici yanıt belirtisini kullanarak, verilen bir sistemin adım yanıtını kolayca hesaplayabiliriz. Bu nedenle, bu nitel teknik, mertebe sistem denklemleri için faydalıdır.

Birinci Mertebe Kontrol Sistemlerinin Sonuçları

Birinci mertebe kontrol sistemleriyle ilgili her şeyi öğrendikten sonra, aşağıdaki sonuçlara varıyoruz:

• Giriş fonksiyonunun kutbu, zorlanmış yanıtın şeklini üretir. Bu, orijindeki kutubun çıktıyı bir adım fonksiyonu olarak üretmesinden kaynaklanır.

• Aktarım fonksiyonunun kutbu, doğal yanıt üretir. Bu, sistemin kutubudur.

• Gerçek eksen üzerindeki bir kutup, e-at formundaki üstel frekansı üretir. Bu nedenle, kutup orijine ne kadar uzaksa, üstel geçici yanıt o kadar hızlı sıfıra yaklaşır.

• Kutupların ve sıfırların anlaşılmış olması, sistem performansını artırmamızı ve daha hızlı, daha doğru çıktılar elde etmemizi sağlar.