Qu'est-ce qu'un système de commande du premier ordre

Qu'est-ce qu'un système de commande du premier ordre ?

Définition d'un système de commande du premier ordre

Un système de commande du premier ordre utilise un type simple d'équation différentielle pour relier les entrées et les sorties, en se concentrant uniquement sur la première dérivée par rapport au temps.

La fonction de transfert (relation entrée-sortie) pour ce système de commande est définie comme suit :

• K est le gain continu (gain continu du système, rapport entre le signal d'entrée et la valeur stationnaire de sortie)

• T est la constante de temps du système (la constante de temps est une mesure de la rapidité avec laquelle un système du premier ordre répond à une entrée échelon unitaire).

Fonction de transfert d'un système de commande du premier ordre

Une fonction de transfert représente la relation entre le signal de sortie d'un système de commande et le signal d'entrée, pour toutes les valeurs d'entrée possibles.

Pôles d'une fonction de transfert

Les pôles de la fonction de transfert sont les valeurs de la variable de la transformée de Laplace qui font que la fonction de transfert devient infinie. Le dénominateur d'une fonction de transfert est en fait les pôles de la fonction.

Zéros d'une fonction de transfert

Les zéros de la fonction de transfert sont les valeurs de la variable de la transformée de Laplace qui font que la fonction de transfert devient nulle. Le numérateur d'une fonction de transfert est en fait les zéros de la fonction.

Système de commande du premier ordre

Nous discutons ici du système de commande du premier ordre sans zéros. Le système de commande du premier ordre nous indique la vitesse de la réponse, c'est-à-dire la durée nécessaire pour atteindre l'état stationnaire. Si l'entrée est un échelon unitaire, R(s) = 1/s, alors la sortie est une réponse échelon C(s). L'équation générale d'un système de commande du premier ordre est , c'est-à-dire la fonction de transfert.

Il y a deux pôles, l'un est le pôle d'entrée à l'origine s = 0 et l'autre est le pôle du système à s = -a, ce pôle est sur l'axe négatif du diagramme des pôles. En utilisant la commande pzmap de MATLAB, nous pouvons identifier les pôles et les zéros du système, essentiels pour analyser son comportement. Nous prenons maintenant la transformée inverse afin que la réponse totale devienne , qui est la somme de la réponse forcée et de la réponse naturelle.

En raison du pôle d'entrée à l'origine, il produit une réponse forcée, comme décrit par son nom, qui impose une force au système pour produire une certaine réponse, qui est la réponse forcée, et le pôle du système à -a produit une réponse naturelle, qui est due à la réponse transitoire du système.

Après quelques calculs, la forme générale du système du premier ordre est C(s) = 1-e-at, qui est égale à la réponse forcée, qui est "1", et la réponse naturelle, qui est égale à "e-at". La seule chose qui reste à trouver est le paramètre "a".

De nombreuses techniques, telles que l'équation différentielle ou la transformée de Laplace inverse, résolvent la réponse totale, mais ces méthodes sont chronophages et laborieuses.

L'utilisation des pôles, des zéros et de certains concepts fondamentaux nous donne des informations qualitatives pour résoudre les problèmes, et grâce à ces concepts, nous pouvons facilement dire la vitesse de la réponse et le temps nécessaire pour que le système atteigne le point d'état stationnaire.

Décrivons les trois spécifications de performance de la réponse transitoire, la constante de temps, le temps de montée et le temps de stabilisation, pour un système de commande du premier ordre.

Constante de temps d'un système de commande du premier ordre

La constante de temps peut être définie comme le temps nécessaire pour que la réponse échelon monte jusqu'à 63 % ou 0,63 de sa valeur finale. On la désigne par t = 1/a. Si on prend l'inverse de la constante de temps, son unité est 1/seconde ou fréquence.

On appelle le paramètre "a" la fréquence exponentielle. Parce que la dérivée de e-at est -a à t = 0. Ainsi, la constante de temps est considérée comme une spécification de la réponse transitoire pour un système de commande du premier ordre.

Nous pouvons contrôler la vitesse de la réponse en positionnant les pôles. Plus le pôle est éloigné de l'axe imaginaire, plus la réponse transitoire est rapide. Donc, nous pouvons positionner les pôles plus loin de l'axe imaginaire pour accélérer tout le processus.

Temps de montée d'un système de commande du premier ordre

Le temps de montée est défini comme le temps nécessaire pour que la forme d'onde passe de 0,1 à 0,9 ou de 10 % à 90 % de sa valeur finale. Pour l'équation du temps de montée, nous mettons 0,1 et 0,9 dans l'équation générale du système du premier ordre respectivement.

Pour t = 0,1

Pour t = 0,9

En prenant la différence entre 0,9 et 0,1

Voici l'équation du temps de montée. Si nous connaissons le paramètre "a", nous pouvons facilement trouver le temps de montée de n'importe quel système donné en insérant "a" dans l'équation.

Temps de stabilisation d'un système de commande du premier ordre

Le temps de stabilisation est défini comme le temps nécessaire pour que la réponse atteigne et reste à l'intérieur de 2 % de sa valeur finale. Nous pouvons limiter le pourcentage jusqu'à 5 % de sa valeur finale. Les deux pourcentages sont pris en compte.

L'équation du temps de stabilisation est donnée par Ts = 4/a.

En utilisant ces trois spécifications de la réponse transitoire, nous pouvons facilement calculer la réponse échelon d'un système donné, c'est pourquoi cette technique qualitative est utile pour les équations des systèmes d'ordre.

Conclusion des systèmes de commande du premier ordre

Après avoir appris toutes les choses liées aux systèmes de commande du premier ordre, nous arrivons aux conclusions suivantes :

• Un pôle de la fonction d'entrée génère la forme de la réponse forcée. C'est en raison du pôle à l'origine qui génère une fonction échelon à la sortie.

• Un pôle de la fonction de transfert génère une réponse naturelle. C'est le pôle du système.

• Un pôle sur l'axe réel génère une fréquence exponentielle de la forme e-at. Ainsi, plus le pôle est éloigné de l'origine, plus la réponse transitoire exponentielle décroîtra rapidement vers zéro.

• Comprendre les pôles et les zéros nous permet d'améliorer les performances du système et d'obtenir des sorties plus rapides et plus précises.