Co je systém prvního řádu?

Co je první řádový řídicí systém?

Definice prvního řádového řídicího systému

První řádový řídicí systém používá jednoduchý typ diferenciální rovnice k vyjádření vztahu mezi vstupy a výstupy, zaměřující se pouze na první derivaci času.

Přenosová funkce (vztah mezi vstupem a výstupem) pro tento řídicí systém je definována jako:

• K je statický zisk (poměr mezi vstupním signálem a ustálenou hodnotou výstupu)

• T je časová konstanta systému (časová konstanta je měřítko rychlosti odezvy prvního řádového systému na jednotkový skokový vstup).

Přenosová funkce prvního řádového řídicího systému

Přenosová funkce reprezentuje vztah mezi výstupním signálem řídicího systému a vstupním signálem pro všechny možné hodnoty vstupu.

Póly přenosové funkce

Póly přenosové funkce jsou hodnoty Laplaceovy transformace, které způsobí, že přenosová funkce bude nekonečná. Jmenovatel přenosové funkce jsou vlastně póly funkce.

Nuly přenosové funkce

Nuly přenosové funkce jsou hodnoty Laplaceovy transformace, které způsobí, že přenosová funkce bude nulová. Čitatel přenosové funkce jsou vlastně nuly funkce.

První řádový řídicí systém

Zde diskutujeme o prvním řádovém řídicím systému bez nul. První řádový řídicí systém nám říká, jak rychle systém dosáhne ustáleného stavu. Pokud je vstup jednotkový skok, R(s) = 1/s, pak výstupem je skoková odezva C(s). Obecná rovnice pro první řádový řídicí systém je , tj. je to přenosová funkce.

Existují dva póly, jeden je vstupní pól v počátku s = 0 a druhý je systémový pól v s = -a, tento pól je na záporné ose pole. Pomocí MATLABového příkazu pzmap můžeme identifikovat póly a nuly systému, což je klíčové pro analýzu jeho chování. Nyní vezmeme inverzní transformaci, takže celková odezva se stane, což je součet nucené odezvy a přirozené odezvy.

Díky vstupnímu pólu v počátku se vytvoří nucená odezva, jak naznačuje její název, tedy vynucená odezva systému. Systémový pól v -a vytváří přirozenou odezvu, která je způsobena přechodnou odezvou systému.

Po několika výpočtech obecná forma prvního řádového systému je C(s) = 1-e-at, což je rovno nucené odezvě, která je "1", a přirozené odezvě, která je rovna "e-at". Jednou věcí, kterou potřebujeme najít, je parametr "a".

Mnoho technik, jako jsou diferenciální rovnice nebo inverzní Laplaceova transformace, tyto všechny řeší celkovou odezvu, ale tyto metody jsou časově náročné a pracné.

Použití polí, nul a některých základních konceptů nám poskytuje kvalitativní informace pro řešení problémů a díky těmto konceptům můžeme snadno určit rychlost odezvy a dobu, za kterou systém dosáhne ustáleného stavu.

Popišme tři specifikace přechodné odezvy, časovou konstantu, dobu vzestupu a dobu uklidnění pro první řádový řídicí systém.

Časová konstanta prvního řádového řídicího systému

Časová konstanta se definuje jako doba, za kterou skoková odezva naroste na 63 % nebo 0,63 své konečné hodnoty. Odkazujeme na to jako t = 1/a. Pokud vezmeme reciproční hodnotu časové konstanty, její jednotka je 1/sekundy nebo frekvence.

Parametr "a" nazýváme exponenciální frekvencí. Protože derivace e-at je -a v t = 0. Časová konstanta se považuje za specifikaci přechodné odezvy pro první řádový řídicí systém.

Rychlost odezvy můžeme ovládat nastavením polí. Čím dál je pól od imaginární osy, tím rychlejší je přechodná odezva. Můžeme proto nastavit póly dál od imaginární osy, abychom urychlili celý proces.

Doba vzestupu prvního řádového řídicího systému

Doba vzestupu se definuje jako doba, za kterou signál naroste z 0,1 na 0,9 nebo z 10 % na 90 % své konečné hodnoty. Pro rovnici doby vzestupu dosadíme 0,1 a 0,9 do obecné rovnice prvního řádového systému.

Pro t = 0,1

Pro t = 0,9

Vezmeme rozdíl mezi 0,9 a 0,1

Zde je rovnice doby vzestupu. Pokud známe parametr "a", můžeme snadno najít dobu vzestupu libovolného daného systému dosazením "a" do rovnice.

Doba uklidnění prvního řádového řídicího systému

Doba uklidnění se definuje jako doba, za kterou odezva dosáhne a zůstane uvnitř 2 % své konečné hodnoty. Můžeme omezit procento až na 5 % konečné hodnoty. Oba procenta jsou zohledněny.

Rovnice doby uklidnění je dána vztahem Ts = 4/a.

Pomocí těchto tří specifikací přechodné odezvy můžeme snadno vypočítat skokovou odezvu daného systému, proto je tato kvalitativní technika užitečná pro rovnice řádových systémů.

Závěr prvních řádových řídicích systémů

Po získání všech znalostí týkajících se prvního řádového řídicího systému dospějeme k následujícím závěrům:

• Pól vstupní funkce generuje formu nucené odezvy. Je to kvůli pólu v počátku, který generuje skokovou funkci na výstupu.

• Pól přenosové funkce generuje přirozenou odezvu. Je to pól systému.

• Pól na reálné ose generuje exponenciální frekvenci ve formě e-at. Čím dál je pól od počátku, tím rychleji exponenciální přechodná odezva ubývá k nule.

• Porozumění polům a nulám nám umožňuje zlepšit výkon systému a dosáhnout rychlejších a přesnějších výstupů.