Birinci Derece Kontrol Sistemi Nedir?

Birinci Derece Kontrol Sistemi Nedir?

Birinci Derece Kontrol Sistemi Tanımı

Birinci derece kontrol sistemi, giriş ve çıkışları ilişkilendirmek için basit bir tür diferansiyel denklem kullanır ve sadece zamanın birinci türevine odaklanır.

Bu kontrol sistemi için aktarım fonksiyonu (giriş-çıkış ilişkisi) şu şekilde tanımlanır:

• K, DC kazancıdır (sistem kazancının girdi sinyali ile çıkışın durağan değer arasındaki oranı)

• T, sistemin zaman sabitidir (zaman sabiti, birinci derece sistemin birim adım girdisine ne kadar hızlı tepki verdiğini ölçer).

Birinci Derece Kontrol Sistemi Aktarım Fonksiyonu

Aktarım fonksiyonu, bir kontrol sisteminin çıkış sinyali ile giriş sinyali arasındaki ilişkiyi, tüm olası giriş değerleri için temsil eder.

Aktarım Fonksiyonunun Kutupları

Aktarım fonksiyonunun kutupları, Laplace dönüşüm değişkeninin değerleridir ve bu değerler aktarım fonksiyonunu sonsuza çıkarır. Aktarım fonksiyonunun paydası aslında fonksiyonun kutuplarıdır.

Aktarım Fonksiyonunun Sıfırları

Aktarım fonksiyonunun sıfırları, Laplace dönüşüm değişkeninin değerleridir ve bu değerler aktarım fonksiyonunu sıfır yapar. Aktarım fonksiyonunun payı aslında fonksiyonun sıfırlarıdır.

Birinci Derece Kontrol Sistemi

Burada sıfır olmayan birinci derece kontrol sistemini ele alıyoruz. Birinci derece kontrol sistemi, sistemin durağan duruma ulaşma süresini bize gösterir. Eğer girdi birim adım ise, R(s) = 1/s olur ve çıkış bir adım yanıtı C(s) olur. 1. derece kontrol sisteminin genel denklemi , yani aktarım fonksiyonudur.

İki kutup vardır, biri orijinde s = 0 olan girdi kutubu ve diğeri s = -a olan sistem kutubu, bu kutup kutup grafiğinin negatif eksenindedir. MATLAB'ın pzmap komutunu kullanarak, sistemin kutuplarını ve sıfırlarını belirleyebiliriz, bu da davranışını analiz etmek için kritik öneme sahiptir. Şimdi ters dönüşüm alıyoruz, böylece toplam yanıt zorlanmış yanıtın ve doğal yanıtın toplamı haline gelir.

Orijindeki girdi kutubu, kendinden anlaşılan ismiyle zorlanmış yanıt üretir, yani sisteme zorlamayı sağlar ve bu nedenle bazı yanıt üretir ki bu zorlanmış yanıt ve -a'daki sistem kutbu, geçici yanıt nedeniyle doğal yanıt üretir.

Bazı hesaplamalar sonrasında, birinci derece sistemin genel formu C(s) = 1-e-at olarak bulunur, bu zorlanmış yanıt olan "1" ve doğal yanıt olan "e-at" eşittir. Bulmamız gereken tek parametre "a"dır.

Diferansiyel denklem veya ters Laplace dönüşümü gibi birçok teknik, tüm yanıtta çözüm sağlar ancak bunlar zaman alıcı ve çaba gerektiren yöntemlerdir.

Kutuplar, sıfırlar ve onların bazı temel kavramlarının kullanımı, sorunları çözmek için nitel bilgi sağlar ve bu kavramlar sayesinde yanıt hızını ve sistemin durağan duruma ulaşma süresini kolayca söyleyebiliriz.

Birinci derece kontrol sistemi için üç geçici yanıt performans belirticisini, zaman sabitini, yükseltme süresini ve oturma süresini açıklayalım.

Birinci Derece Kontrol Sisteminin Zaman Sabiti

Zaman sabiti, adım yanıtnın son değerinin %63 veya 0,63'üne kadar yükselmek için geçen süreyi tanımlayabiliriz. Buna t = 1/a deriz. Eğer zaman sabitinin karşılığını alırsak, birim 1/saniye veya frekans olur.

Parametreye "a" adını veririz, üstel frekans olarak. Çünkü e-at'nin türevi t = 0 olduğunda -a'dır. Bu nedenle, zaman sabiti birinci derece kontrol sistemi için geçici yanıt belirticisi olarak kabul edilir.

Yanıt hızını kutupları ayarlayarak kontrol edebiliriz. Çünkü kutup hayali eksenin daha uzağında olduğu ölçüde geçici yanıt daha hızlı olur. Bu nedenle, tüm süreci hızlandırmak için kutupları hayali eksenin daha uzağına yerleştirebiliriz.

Birinci Derece Kontrol Sisteminin Yükseltme Süresi

Yükseltme süresi, dalga formunun son değerinin %10 ile %90 arasında gitmesi için geçen süreyi tanımlar. Yükseltme süresi denklemi için, genel birinci derece sistem denkleminde sırasıyla 0,1 ve 0,9 değerlerini yerleştiririz.

t = 0,1 için

t = 0,9 için

0,9 ile 0,1 arasındaki farkı alıyoruz

İşte burada yükseltme süresi denklemi. Eğer "a" parametresini biliyorsak, herhangi bir sistemin yükseltme süresini denklemde "a" değerini yerleştirerek kolayca bulabiliriz.

Birinci Derece Kontrol Sisteminin Oturma Süresi

Oturma süresi, yanıtnın son değerinin %2'sine kadar ulaşıp kalması için geçen süreyi tanımlar. Oturma süresini %5'e kadar sınırlayabiliriz. Her iki yüzde de göz önünde bulundurulur.

Oturma süresi denklemi Ts = 4/a olarak verilir.

Bu üç geçici yanıt belirticisini kullanarak, herhangi bir sistemin adım yanıtını kolayca hesaplayabiliriz, bu nedenle bu nitel teknik, düzenli sistem denklemleri için faydalıdır.

Birinci Derece Kontrol Sistemlerinin Sonucu

Birinci derece kontrol sistemleriyle ilgili her şeyi öğrendikten sonra, aşağıdaki sonuçlara varıyoruz:

• Giriş fonksiyonunun bir kutbu, zorlanmış yanıtın şeklini oluşturur. Bu, orijindeki kutubun çıktıyı bir adım fonksiyonu olarak üreteceği nedeniyledir.

• Aktarım fonksiyonunun bir kutbu, doğal yanıt oluşturur. Bu, sistemin kutubudur.

• Gerçek eksen üzerindeki bir kutup, e-at şeklinde bir üstel frekans üretir. Bu nedenle, kutup orijine ne kadar uzaksa, üstel geçici yanıt o kadar hızlı sıfıra yaklaşır.

• Kutupları ve sıfırları anlamak, sistem performansını artırmamıza ve daha hızlı, daha doğru çıktılar elde etmemize yardımcı olur.