一次制御システムとは何か

一次制御システムとは何ですか？

一次制御システムの定義

一次制御システムは、入力と出力を関連付ける簡単なタイプの微分方程式を使用し、時間の1階微分に焦点を当てています。

この制御システムの伝達関数（入力-出力関係）は次のように定義されます：

• Kは直流ゲイン（システムの入力信号と出力の定常値の比）です。

• Tはシステムの時定数（時定数は、一次システムが単位ステップ入力に対する応答速度を測る指標です）です。

一次制御システムの伝達関数

伝達関数は、制御システムの出力信号と入力信号の間の関係を表し、すべての可能な入力値に対して有効です。

伝達関数の極

伝達関数の極は、ラプラス変換変数の値であり、これが伝達関数を無限大にするものです。伝達関数の分母は実際には関数の極です。

伝達関数の零点

伝達関数の零点は、ラプラス変換変数の値であり、これが伝達関数をゼロにするものです。伝達関数の分子は実際には関数の零点です。

一次制御システム

ここでは、零点のない一次制御システムについて説明します。一次制御システムは、システムが定常状態に到達するまでの応答速度を示します。入力が単位ステップの場合、R(s) = 1/s なので、出力はステップ応答 C(s) になります。一次制御システムの一般的な方程式は、つまり伝達関数です。

2つの極があります。1つは原点 s = 0 にある入力極で、もう1つは s = -a にあるシステム極です。この極は、極図の負の軸上にあります。MATLABのpzmapコマンドを使用して、システムの極と零点を特定し、その動作を分析することができます。ここで逆変換を行い、全応答は強制応答と自然応答の合計となります。

原点にある入力極により、強制応答が生成されます。これは、システムに強制を与えることで生成される応答です。一方、-a にあるシステム極は、一時応答によって生成される自然応答を生成します。

いくつかの計算を経て、一次システムの一般的な形式は C(s) = 1-e-at となります。これは強制応答である「1」と自然応答である「e-at」に等しいです。必要なのはパラメータ「a」だけです。

微分方程式や逆ラプラス変換などの多くの技術があり、これらは全応答を解くことができますが、これらは時間がかかり労力が必要です。

極、零点、およびそれらの基本的な概念を使用することで、問題を解決するための質的情報を得ることができます。これらの概念により、応答速度とシステムが定常状態に到達する時間を簡単に推定することができます。

以下に、一次制御システムの3つの一時応答性能仕様、すなわち時定数、上昇時間、及び収束時間を説明します。

一次制御システムの時定数

時定数は、ステップ応答が最終値の63%または0.63に達するまでの時間を定義できます。これを t = 1/a と呼びます。時定数の逆数を取ると、単位は秒の逆数または周波数になります。

パラメータ「a」を指数周波数と呼びます。なぜなら、e-at の導関数は t = 0 で -a となるからです。したがって、時定数は一次制御システムの一時応答仕様として考慮されます。

極を設定することで応答速度を制御できます。極が虚軸から遠いほど、一時応答は速くなります。したがって、極を虚軸から遠ざけることで、全体のプロセスを高速化することができます。

一次制御システムの上昇時間

上昇時間は、波形が最終値の10%から90%まで上がるまでの時間を定義します。上昇時間の方程式では、それぞれ0.1と0.9を一般的一次システム方程式に代入します。

t = 0.1の場合

t = 0.9の場合

0.9と0.1の差を取る

これが上昇時間の方程式です。パラメータ「a」を知っている場合、方程式に「a」を代入することで、任意のシステムの上昇時間を簡単に求めることができます。

一次制御システムの収束時間

収束時間は、応答が最終値の2%以内に達し、そこで安定するまでの時間を定義します。最終値の5%以内に制限することも可能です。両方のパーセンテージは考慮されます。

収束時間の方程式は Ts = 4/a で与えられます。

これらの3つの一時応答仕様を使用することで、任意のシステムのステップ応答を容易に計算できます。そのため、この定性的な手法は、一次システムの方程式にとって有用です。

一次制御システムの結論

一次制御システムに関連するすべてのことを学んだ後、以下の結論に達します：

• 入力関数の極は強制応答の形式を生成します。これは、原点にある極が出力にステップ関数を生成するためです。

• 伝達関数の極は自然応答を生成します。これはシステムの極です。

• 実軸上の極は e-at 形式の指数周波数を生成します。したがって、極が原点から遠いほど、指数の一時応答は速くゼロに減衰します。

• 極と零点を理解することで、システムの性能を向上させ、より速く正確な出力を達成することができます。