पहली क्रम नियंत्रण प्रणाली क्या है
पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली क्या है?
पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली की परिभाषा
पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली समय के पहले अवकलज पर केंद्रित करते हुए इनपुट और आउटपुट को संबंधित करने के लिए एक सरल प्रकार की डिफरेंशियल समीकरण का उपयोग करती है।
इस नियंत्रण प्रणाली के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन (इनपुट-आउटपुट संबंध) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
K डीसी गेन (सिस्टम का डीसी गेन, इनपुट सिग्नल और आउटपुट के स्थिर-अवस्था मूल्य के बीच का अनुपात) है
T सिस्टम का समय नियतांक है (समय नियतांक एक इकाई स्टेप इनपुट पर पहले क्रम की प्रणाली की प्रतिक्रिया की गति का माप है)।
पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली का स्थानांतरण फ़ंक्शन
स्थानांतरण फ़ंक्शन नियंत्रण प्रणाली के आउटपुट सिग्नल और इनपुट सिग्नल के बीच के संबंध को दर्शाता है, सभी संभावित इनपुट मानों के लिए।
स्थानांतरण फ़ंक्शन के ध्रुव
स्थानांतरण फ़ंक्शन के ध्रुव लाप्लास ट्रांसफ़ोर्म चर के मान हैं, जो स्थानांतरण फ़ंक्शन को अनंत कर देते हैं।स्थानांतरण फ़ंक्शन का हर वास्तव में फ़ंक्शन के ध्रुव हैं।
स्थानांतरण फ़ंक्शन के शून्य
स्थानांतरण फ़ंक्शन के शून्य लाप्लास ट्रांसफ़ोर्म चर के मान हैं, जो स्थानांतरण फ़ंक्शन को शून्य कर देते हैं।स्थानांतरण फ़ंक्शन का अंश वास्तव में फ़ंक्शन के शून्य हैं।
पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली
यहाँ हम शून्यों के बिना पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली पर चर्चा करते हैं। पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली हमें बताती है कि प्रतिक्रिया की गति क्या है, जिसके द्वारा यह स्थिर-अवस्था तक पहुंचती है।यदि इनपुट एक इकाई स्टेप है, R(s) = 1/s तो आउटपुट एक स्टेप प्रतिक्रिया C(s) है। पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली का सामान्य समीकरण , अर्थात् स्थानांतरण फ़ंक्शन है।
दो ध्रुव हैं, एक इनपुट ध्रुव s = 0 पर और दूसरा सिस्टम ध्रुव s = -a पर, यह ध्रुव ध्रुव ग्राफ के नकारात्मक अक्ष पर है।MATLAB के pzmap कमांड का उपयोग करके, हम सिस्टम के ध्रुव और शून्यों की पहचान कर सकते हैं, जो इसकी व्यवहार की विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण हैं।अब हम व्युत्क्रम ट्रांसफ़ोर्म लेते हैं ताकि कुल प्रतिक्रिया बन जाए, जो बल द्वारा प्रतिक्रिया और प्राकृतिक प्रतिक्रिया का योग है।
मूल पर इनपुट ध्रुव के कारण, बल द्वारा प्रतिक्रिया उत्पन्न होती है, जैसा कि इसका नाम स्वयं दर्शाता है, जो प्रणाली को बल देता है ताकि यह कुछ प्रतिक्रिया उत्पन्न कर सके, जो बल द्वारा प्रतिक्रिया है और -a पर सिस्टम ध्रुव एक प्राकृतिक प्रतिक्रिया उत्पन्न करता है, जो सिस्टम की प्रत्यावर्ती प्रतिक्रिया के कारण है।
कुछ गणना के बाद, यहाँ पहले क्रम की प्रणाली का सामान्य रूप C(s) = 1-e-at है, जो बल द्वारा प्रतिक्रिया "1" और प्राकृतिक प्रतिक्रिया "e-at" के बराबर है। जो खोजने की आवश्यकता है, वह पैरामीटर "a" है।
डिफरेंशियल समीकरण या व्युत्क्रम लाप्लास ट्रांसफ़ोर्म जैसी कई तकनीकें, ये सभी कुल प्रतिक्रिया को हल करती हैं, लेकिन ये समय लेने वाली और परिश्रम की वाली हैं।
ध्रुव, शून्य और इनके कुछ मौलिक अवधारणाओं का उपयोग हमें समस्याओं को हल करने के लिए गुणात्मक जानकारी प्रदान करता है और इन अवधारणाओं के कारण, हम आसानी से प्रतिक्रिया की गति और सिस्टम के स्थिर-अवस्था बिंदु तक पहुंचने का समय बता सकते हैं।
हम पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली के लिए तीन प्रत्यावर्ती प्रतिक्रिया प्रदर्शन विशेषताओं, समय नियतांक, उठान समय और सेटलिंग समय का वर्णन करें।
पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली का समय नियतांक
समय नियतांक को ऐसा समय परिभाषित किया जा सकता है जिसमें स्टेप प्रतिक्रिया अपने अंतिम मान का 63% या 0.63 तक बढ़ जाती है। हम इसे t = 1/a के रूप में संदर्भित करते हैं। यदि हम समय नियतांक का व्युत्क्रम लेते हैं, तो इसकी इकाई 1/सेकंड या आवृत्ति होती है।
हम पैरामीटर "a" को घातीय आवृत्ति कहते हैं। क्योंकि e-at का अवकलज t = 0 पर -a है। इसलिए समय नियतांक को पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली के लिए एक प्रत्यावर्ती प्रतिक्रिया विशेषता माना जाता है।
हम ध्रुवों को सेट करके प्रतिक्रिया की गति को नियंत्रित कर सकते हैं। क्योंकि ध्रुव कितना दूर अधिकांश अक्ष से, उतनी तेजी से प्रत्यावर्ती प्रतिक्रिया होती है। इसलिए, हम अधिकांश अक्ष से दूर ध्रुवों को सेट कर सकते हैं ताकि पूरे प्रक्रिया को तेज किया जा सके।
पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली का उठान समय
उठान समय को ऐसा समय परिभाषित किया जाता है जिसमें तरंग अपने अंतिम मान का 0.1 से 0.9 या 10% से 90% तक जाती है। उठान समय के समीकरण के लिए, हम पहले क्रम की प्रणाली के सामान्य समीकरण में क्रमशः 0.1 और 0.9 डालते हैं।
t = 0.1 के लिए
t = 0.9 के लिए
0.9 और 0.1 के बीच का अंतर लेने पर
यहाँ उठान समय का समीकरण है। यदि हम पैरामीटर "a" को जानते हैं, तो हम इसे समीकरण में डालकर किसी दिए गए सिस्टम का उठान समय आसानी से खोज सकते हैं।
पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली का सेटलिंग समय
सेटलिंग समय को ऐसा समय परिभाषित किया जाता है जिसमें प्रतिक्रिया अपने अंतिम मान का 2% तक पहुंचती है और उससे अंदर रहती है। हम इसे 5% तक सीमित कर सकते हैं। दोनों प्रतिशत विचार किए जाते हैं।
सेटलिंग समय का समीकरण Ts = 4/a द्वारा दिया जाता है।
इन तीन प्रत्यावर्ती प्रतिक्रिया विशेषताओं का उपयोग करके, हम आसानी से किसी दिए गए सिस्टम की स्टेप प्रतिक्रिया की गणना कर सकते हैं, इसीलिए यह गुणात्मक तकनीक क्रम सिस्टम समीकरणों के लिए उपयोगी है।
पहले क्रम की नियंत्रण प्रणालियों का निष्कर्ष
पहले क्रम की नियंत्रण प्रणाली से संबंधित सभी चीजों को सीखने के बाद, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचते हैं:
इनपुट फ़ंक्शन का ध्रुव बल द्वारा प्रतिक्रिया का रूप उत्पन्न करता है। यह इसलिए है क्योंकि मूल पर ध्रुव आउटपुट पर एक स्टेप फ़ंक्शन उत्पन्न करता है।
स्थानांतरण फ़ंक्शन का ध्रुव एक प्राकृतिक प्रतिक्रिया उत्पन्न करता है। यह सिस्टम का ध्रुव है।
वास्तविक अक्ष पर एक ध्रुव e-at के रूप का घातीय आवृत्ति उत्पन्न करता है। इस प्रकार, ध्रुव मूल से जितना दूर होगा, उतनी तेजी से घातीय प्रत्यावर्ती प्रतिक्रिया शून्य की ओर घटेगी।
