RC áramkör elemzés: Soros, párhuzamos, egyenletek és átviteli függvény

Electrical4u

Mező: Alapvető Elektrotechnika

China

Mi az RC áramkör?

Az RC áramkör (más néven RC szűrő vagy RC hálózat) egy ellenállás-kondenzátor áramkört jelent. Az RC áramkört definiálják, mint egy olyan elektromos áramkört, amelyet a passzív áramkör elemekből, konkrétan egy ellenállásból (R) és kondenzátorból (C) állítanak össze, amelyet egy feszültségforrás vagy áramerőforrás vezényli.

Az ellenállás jelenléte miatt az RC áramkör energiafelhasználást mutat, hasonlóan, mint egy RL áramkör vagy RLC áramkör.

Ez ellentétben áll az idealizált LC áramkörrel, amely nem fogyaszt energiát, mivel nincs benne ellenállás. Bár ez csak az idealizált formában igaz, gyakorlatilag még az LC áramkör is fogyaszt némi energiát a komponensek és a csatlakoztatási vezetékek nem zérus ellenállása miatt.

Soros RC áramkör

Egy RC soros áramkörben egy tiszta ellenállás található, amelynek ellenállása R ohm-ban, valamint egy tiszta kondenzátor C faradban, amelyek sorosan vannak kötve.

Itt $I$ az áramkörben lévő áramerősség RMS értéke.

$V_R$ az ellenállás R által esett feszültség.

$V_C$ a kondenzátor C által esett feszültség.

$V$ a tápellátási feszültség RMS értéke.

A rajz a soros RC áramkör vektordiagramját mutatja.

Mivel egy soros áramkörben az áramerősség $'I'$ ugyanaz, ezért a referencia pontként szolgál.

$V_R = IR$ fázisban van az áramerősséggel $'I'$ mert egy tiszta ellenállásban az ellenállás esetén a feszültség és az áramerősség fázisban vannak egymással.

$V_C=I X_C$ késleltetve rajzolódik az árammal $'I'$ egy $90^0$ szöggel mert egy tiszta kondenzátorban a feszültség és az áram $90^0$ fokkal van eltolt egymástól, azaz a feszültség késlelteti az áramot $90^0$ vagy az áram előzi meg a feszültséget $90^0$ .

Most $V$ vektoriális összege $V_R$ és $V_C$ .

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

Az R-C soros áramkör ellenállása:

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

A feszültség és az ellenállás háromszöge a képen látható.

Feszültség Háromszög és Ellenállás Háromszög

Ahogy látható, a $V$ vektor egy ø szöggel marad el a(z) $I$ mögött, ahol

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

Így egy R-C soros áramkörben az áram $'I'$ előzi meg a tápellátó feszültséget $'V'$ egy szöggel

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

Az R-C soros áramkör feszültség- és áramerősség hullámformái a következő ábrán láthatók.

Teljesítmény egy RC soros áramkörben

A teljesítmény pillanatnyi értéke a feszültség és az áramerősség pillanatnyi értékeinek szorzata.teljesítmény a feszültség és áramerősség.

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [ahol, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, mert \,\, a \,\, cos \,\, görbe \,\, szimmetrikus] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

Így az instantáneus teljesítmény két részből áll.

1. Egy állandó rész = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. Egy változó összetevő = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ amely kétszeres gyakorisággal változik, mint a tápellátás.

A változó teljesítményösszetevő átlagos értéke egy teljes cikluson keresztül nulla.

Így az RC soros áramkörben egy ciklus alatt fogyasztott átlagos teljesítmény

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

Ahol $V$ és $I$ az alkalmazott feszültség és áram RMS értékei a körben.

Erőtényeg egy RC soros körben

Nézzen meg a képet, amely a teljesítmény és impedancia háromszögeket mutatja.

Teljesítményháromszög és Impedanciaháromszög

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (erőtényeg) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (aktív teljesítmény)\,\,} {S \,\, (látszólagos teljesítmény)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

Párhuzamos RC kör

Párhuzamos R-C áramkörben egy tiszta ellenállás, amelynek ellenállása $R$ ohm-ban van megadva, és egy tiszta kapacitív elem, amelynek kapacitánsa $C$ faradban van megadva, párhuzamosan kapcsolódik.

A párhuzamos RC áramkörben az esetleges feszültségugrások megegyeznek, tehát az alkalmazott feszültség egyenlő a rezisztorn és a kondenzátoron keresztül haladó feszültséggel. A párhuzamos R-C áramkörben az áramerősség a rezisztorn és a kondenzátoron keresztül haladó áramerősségek összege.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

A rezisztorn keresztül áramló áram az Ohm törvénye szerint adható meg:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

A kondenzátoron keresztül áramló áram és a rajta lévő feszültség közötti kapcsolat:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

A Kirchhoff áramtörvényének (KCL) alkalmazása a párhuzamos R-C áramkörre:

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

A fenti egyenlet az R-C áramkör elsőrendű differenciálegyenlete.

A párhuzamos RC áramkör átviteli függvénye:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

RC áramkörök egyenletei

A C kondenzátor a frekvencia tartományban úgy viselkedik, mint $\frac {1} {sC}$ egyenértékű impedancia, amely sorosan van kötve egy $\frac {vC(0^-)} {s}$ feszültségforrással, ahol $vC (0^-)$ a kondenzáton lévő kezdeti feszültség.

Impedancia: A kondenzátor C komplex impedanciája $Z_C$ a következő:

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ jelöli az imaginárius részt $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ jelöli a szinuszos szögfrekvenciát (radián per másodperc)

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

Áram: A soros R-C áramkörben az áram mindenhol ugyanolyan.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Feszültség: A feszültségosztó szabály alapján a kondenzátoron keresztül haladó feszültség:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

és a ellenállón keresztül haladó feszültség:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

RC áramkör árama

A soros R-C áramkörben az áram mindenhol ugyanolyan.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

RC-kör átmeneti függvénye

A átmeneti függvény a bejövő feszültségtől a kondenzátoron lévő feszültségig a következő:

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

Hasonlóképpen, a bejövő feszültségtől az ellenállón lévő feszültségig vezető átmeneti függvény:

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

RC-kör lépcsős válasza

Amikor egy áramkörben valami változik, például egy kapcsoló záródik, a feszültség és az áramerősség is változik, és alkalmazkodik az új körülményekhez. Ha a változás egy rövid lépés, akkor a választ lépcsős válasznak nevezik.

A körtevonal teljes válasza egyenlő a kényszerített válasz és a természetes válasz összegével. Ezeket a válaszokat a superpozíció elve alapján lehet kombinálni.

A kényszerített válasz az, amikor a tápellátás be van kapcsolva, de a kezdeti feltételek (belsőleg tárolt energia) nullának vannak feltételezve.

A természetes válasz az, amikor a tápellátás ki van kapcsolva, de a körtevonal tartalmazza a kezdeti feltételeket (a kondenzátorok kezdeti feszültségét és az induktivitások kezdeti áramát). A természetes választ gyakran zérus bemeneti válasznak is nevezik, mivel a tápellátás ki van kapcsolva.

Tehát, a teljes válasz = kényszerített válasz + természetes válasz

Mi az a kezdeti feltétel?

Egy induktor esetén az általa átmenő áram nem változhat meg azonnal. Ez azt jelenti, hogy az induktor által átmenő áram a $t=0^-$ pillanatban ugyanolyan marad, mint a $t=0^+$ pillanat után. Azaz,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

Kondenzátor esetén a kondenzátoron keresztül mért feszültség nem változhat meg azonnal. Ez azt jelenti, hogy a kondenzátoron keresztül mért feszültség az $t=0^-$ pillanatban ugyanúgy marad a transzíció után, mint a $t=0^+$ pillanatban. Azaz,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

Kényszerített válasz meghajtott soros RC áramkörben

Tegyük fel, hogy a kondenzátor kezdetben teljesen lesejtve van, és a kapcsoló (K) hosszú ideig nyitva áll, majd bezáródik a $t=0$ pillanatban.

Force Response Of Driven Series R C Circuit

A $t=0^-$ kapcsoló K nyitva van

Ez egy kezdeti feltétel, így leírhatjuk:

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

Mivel a kondenzátoron átmenő feszültség nem változhat meg azonnal.

Minden esetben, ha $t\geq0$ a kapcsoló K zárva van.

Most bevezetjük a feszültségi forrást a körbe. Így, ha a KVL-t alkalmazzuk a körre, azt kapjuk:

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

Most az áram, amely a kondenzátoron áthalad, és kifejezhető a kondenzátoron lévő feszültség segítségével

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

Ezt behelyettesítve az (2) egyenletbe, kapjuk:

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

A változók elválasztása után kapjuk

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

Mindkét oldal integrálása

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

Ahol $K^'$ az állandó

A $K'$ megtalálásához használjuk az kezdeti feltételt, azaz helyettesítsük be az (1) egyenletet az (3) egyenletbe, és kapjuk:

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

Helyettesítsük be a K’ értékét az (3) egyenletbe, és kapjuk:

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_s - V_c (t)] - ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([ln[a] - ln[b] = ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Az antilogaritmus alkalmazásával kapjuk:

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

A fenti egyenlet a soros R-C áramkör elsőrendű differenciálegyenletének megoldását mutatja.

A fenti válasz a állandó állapotú válasz, azaz $V_S$

és a tranzitoris válasz, azaz $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

A forrásmentes soros RC áramkör természetes válasza

A forrásmentes válasz a kondenzátor lemerülése a sorban lévő ellenálláson keresztül.

Természeti válasz forrásmentes soros R-C áramkörben

Minden $t>=0^+$ pillantásnál K kapcsoló zárva van

A fenti áramkörre alkalmazva a KVL-t, a következőt kapjuk,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Most \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

Ezt az áramerősség értékét behelyettesítve az (6) egyenletbe, a következőt kapjuk,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

A változók elválasztása után kapjuk

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

Mindkét oldal integrálása

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

Ahol $K^'$ tetszőleges állandó

A $K^'$ meghatározásához: A kezdeti feltétel használatával, azaz az (1) egyenlet behelyettesítésével az (7) egyenletbe, kapjuk:

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

A $K^'$ értékének behelyettesítése az (7) egyenletbe, kapjuk:

$\begin{align*} ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] - ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

A logaritmus inverzének alkalmazásával kapjuk:

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

A fenti egyenlet a soros RC áramkör természetes válaszát mutatja.

Most, a teljes válasz = kényszerített válasz + természetes válasz

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

Ahol, $V_S$ a lépcsősfüggvényes feszültség.

$V_0$ a kondenzátor kezdeti feszültsége.

Időállandó RC körben

Az R-C kör időállandója úgy definiálható, hogy az a idő, amely alatt a kondenzátoron lévő feszültség elérné végleges egyensúlyi értékét.

Egy időállandó az a idő, amire szükség van a feszültségnek, hogy 0,632-szeresére növekedjen a végleges egyensúlyi értéke, vagy az áramnak, hogy 0,368-szorosára csökkenjen a végleges egyensúlyi értéke.

Az R-C kör időállandója a ellenállás és a kapacitás szorzata.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Az egysége másodperc.

RC kör frekvencia-válasza

Impedancia módszerrel: A frekvencia-válasz rendszerének általános egyenlete

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

Mostassák most a potenciálhatároló szabályt a fenti áramkörre

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

Ahol, $Z_C$ = A kapacitív impedancia

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

Helyettesítsük ezt az (10) egyenletbe, és kapjuk:

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

A fenti válasz egy R-C áramkör frekvencia-válasza komplex formában.

RC Áramkör Differenciálegyenlete

RC Töltőáramkör Differenciálegyenlete

A kondenzátoron lévő feszültség a következőképpen adható meg

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

A kondenzátoron átmenő áram a következőképpen adható meg

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC töltőkör differenciálegyenlete

A kondenzátoron átmenő feszültség a következőképpen adható meg:

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

A kondenzátoron átmenő áram a következőképpen adható meg:

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC kör töltése és lemerítése

RC kör töltése

A ábra egy egyszerű R-C kört mutat, amelyben a kondenzátor (C) sorban áll egy ellenállóval (R), amelyeket mechanikus kapcsoló (K) segítségével csatlakoztatnak a DC feszültségforráshoz. A kondenzátor kezdetben nem töltött. Amikor bekapcsoljuk a K kapcsolót, a kondenzátor lassan feltölti az ellenállón keresztül, amíg a kondenzáton átmenő feszültség megegyezik a forrásfeszültséggel. A kondenzátor lemezein lévő töltés Q = CV képlet szerint adódik.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

A fenti egyenletből látható, hogy a kondenzátoron átmenő feszültség exponenciálisan nő.

Ahol,

$V_C$ a kondenzátoron átmenő feszültség
$V$ a forrásfeszültség.

RC a RC töltőkör időállandója. Azaz $\tau = R C$

Helyettesítsünk különböző időértékeket t-re az (11) és (12) egyenletekben, ekkor kapjuk a kondenzátor töltési feszültségét, azaz

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

és a kondenzátor töltési áramát

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

A kondenzátoron keresztüli feszültség változása $V_C(t)$ és a kondenzátoron átmenő áram $i(t)$ időfüggvényeként látható az ábrán.

Így egy R-C töltési körben, ha a kondenzátoron keresztüli feszültség exponenciálisan növekszik, a kondenzátoron átmenő áram ugyanazzal a sebességgel exponenciálisan csökken. Amikor a kondenzátoron keresztüli feszültség elérte a állapotfolyamatos értékét, az áram nullázódik.

RC kör lehetségesítése

Ha a teljesen feltöltött kondenzátort leválasztják a tápegység feszültségétől, a feltöltési folyamat során a kondenzátor szárakon tárolt energia megmaradna végtelen ideig, a kondenzátor végpontjai közötti feszültség konstans értékű lenne.

Ha a tápegységet rövidzárlóval helyettesítik, és a kapcsolót zárják, a kondenzátor a ellenálláson keresztül leszeng. Ez a kör RC lehetségesítő körnek nevezhető.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

A fenti egyenlet alapján világos, hogy a kondenzátor feszültsége exponenciálisan csökken. Ez azt jelenti, hogy a R-C kört lecsökkentve a kondenzátor a sorban álló ellenállás R-n keresztül tölthető ki. A R-C töltési és lecsökkentő áramkörök időállandója ugyanaz, és a következő:

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Ha behelyettesítünk különböző időértékeket az (13) és (14) egyenletekbe, akkor a kondenzátor lecsökkentő feszültségét kapjuk, azaz:

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

A kondenzátoron keresztül mért feszültség változása időben $V_C(t)$ az ábrán látható módon változik.

Ezért az R-C lecsengő áramkörben, hasonlóan, ha a kondenzátoron keresztül mért feszültség exponenciálisan csökken, a kondenzátoron átmenő áram ugyancsak exponenciálisan növekszik ugyanazzal a sebességgel. Amikor a kondenzátoron keresztül mért feszültség nulla értéket vesz fel, az áram eléri a stabil állapotot.

Megjegyzés: Tiszteletben tartsuk az eredetit, a jó cikkek megosztásra méltóak, ha sértést okoz, kérlek, vedd le.

Adományozz és bátorítsd a szerzőt!

Témák:

Körteoria

RLC áramkör

Szakértők névjegye

Electrical4u

China