RC շղթայի վերլուծություն. հաջորդական շղթա, զուգահեռ շղթա, հավասարումներ և փոխանցման ֆունկցիա

Electrical4u

դաշտ: Հիմնական էլեկտրական

China

Ինչ է RC շղթան?

RC շղթան (որը նաև հայտնի է RC ֆիլտր կամ RC ցանց որպես) նշանակում է դիմադրության-կոնդենսատորային շղթա։ RC շղթան սահմանվում է որպես մի էլեկտրական շղթա, որը կազմված է էլեկտրական շղթայի համար գործառույթային բաղադրիչներից՝ դիմադրությունից (R) և կոնդենսատորից (C), որը հետևում է լարվածության կամ հոսանքի աղբյուրի կողմից։

Դիմադրության առկայության պատճառով իդեալական ձևով շղթայում, RC շղթան էներգիա կծախսի, նման ներկայացնելով մի RL շղթա կամ RLC շղթա։

Սա տարբեր է իդեալական ձևով LC շղթայից, որը էներգիա չի ծախսում դիմադրության բացակայության պատճառով։ Չնայած սա միայն իդեալական ձևով է, և պրակտիկայում նույնիսկ LC շղթան էներգիա կծախսի բաղադրիչների և միացող լարերի ոչ-զրոյական դիմադրության պատճառով։

Միանոց RC շղթա

RC համապատույցում կարող է գտնվել միայն դիմադրություն ունեցող ռեզիստոր R Օհմ և միայն էլեկտրական հոսանքի հատուկ հոսքով օժտված կոնդենսատոր C Ֆարադ որոնք միացված են հաջորդաբար:

Այստեղ $I$ ներկայացնում է համապատույցի հոսանքի RMS արժեքը:

$V_R$ ներկայացնում է ռեզիստոր R-ի վրա գործող լարումը:

$V_C$ ներկայացնում է կոնդենսատոր C-ի վրա գործող լարումը:

$V$ ներկայացնում է հոսանքի աղբյուրի RMS արժեքը:

Նկարը ցույց է տալիս սերիայական RC համապատույցի վեկտորային դիագրամը:

Քանի որ հաջորդական շղթայում հոսանքը $'I'$ նույնն է, այն վերցվում է որպես հղում:

$V_R = IR$ գծվում է հոսանքի ֆազով $'I'$ քանի որ նույն փակագծում լինելու դեպքում հոսանքը և լարումը ֆազով նույնն են:

$V_C=I X_C$ հոսանքի հետ կլուց է գծվում $'I'$ ըստ անկյան՝ $90^0$ , քանի որ 순수 կոնդենսատորում լարումը և հոսանքը միմյանց նկատմամբ են կոնդենսատոր լարումը և հոսանքը միմյանց նկատմամբ են $90^0$ միմյանց նկատմամբ լարումը հոսանքի հետ կլուց է $90^0$ կամ հոսանքը առաջնորդում է լարումը $90^0$ ։

Հիմա $V$ վեկտորային գումարն է $V_R$ և $V_C$ ։

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

R-C հաջորդական շղթայի իմպեդանսը է

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

Ընդհատված է լարումը և լարումը և իմպեդանսը եռանկյունները ցուցադրված են նկարում:

Ինչպես երևում է, վեկտորը $V$ շեղվում է $I$ անկյունով ø, որտեղ

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

Այսպիսով R-C հաջորդական շղթայում հոսանքը $'I'$ առաջընթացում է մատնանշված լարման $'V'$ անկյունով

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

R-C շարունակական շղթայի լարվածության և հոսանքի ալիքային ձևերը ցուցադրված են պատմագրում։

R-C շարունակական շղթայի էներգիան

Էներգիայի առանցքային արժեքը լարվածության և հոսանքի առանցքային արժեքների արտադրյալն է։էներգիա և լարվածություն և հոսանք։

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [որտեղ, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, քանի որ \,\, cos \,\, կորը \,\, սիմետրիկ է] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

Այսպիսով, առանցքային հզորությունը բաղկացած է երկու մասերից։

1. Ստացիոնար մասը = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. Փոփոխական կաղապարը = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ որը փոփոխվում է հաճախականության երկու անգամ։

Փոփոխական հզորության կաղապարի միջին արժեքը լրիվ ցիկլում զրո է։

Այսպիսով, RC շարադրական շղթայում մի ցիկլում սպառվող միջին հզորությունը է

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

Որտեղ $V$ և $I$ հանդիսանում են կիրառված լարման և հոսանքի RMS արժեքները շղթայում։

RC հաջորդական շղթայի ուժագործոն

Դիտարկեք պատկերը, որը ցույց է տալիս ուժը և իմպեդանսի եռանկյունները։

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (power \,\, factor) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (active \,\, power)\,\,} {S \,\, (apparent \,\, power)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

ParallelGroup RC շղթա

Սերիայի մեջ գտնվող R-C շղթայում կա միակ սահմանափակիչ դիմադրությունը դիմադրություն $R$ Օհմերով և միակ կոնդենսատոր դիմադրությունով կոնդենսատոր Ֆարադներով կապված զուգահեռ։

Զուգահեռ R-C շղթայում լարման ընկած ցանկացած տեղում լարման նվազումները նույնն են, ուրեմն կիրառված լարումը հավասար է սահմանափակիչի և կոնդենսատորի վրա լարումներին։ Զուգահեռ R-C շղթայում հոսանքը սահմանափակիչի և կոնդենսատորի միջոցով հոսանքների գումարն է։

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

Հոսանքը դիմացը հաշվարկելու համար օգտագործում են Օհմի օրենքը:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

Կոնդենսատորի համար հոսանք-լարումի հարաբերությունը է.

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

Կիրխոֆի հոսանքի օրենքի (KCL) կիրառումը զուգահեռ R-C շղթայի համար

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

Նշված հավասարումը R-C շղթայի առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումն է:

ParallelGroups RC Circuit-ի փոխանցման ֆունկցիան:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

RC Շղթայի Հավասարումները

Կոնդենսատոր C գործում է որպես $\frac {1} {sC}$ հաճախականության տիրույթում համարժեք է լինելով համարժեք լարման կայուն աղբյուրի հետ շարահյուսության մեջ, որտեղ լարման սկզբնական արժեքը է $\frac {vC(0^-)} {s}$ և որտեղ $vC (0^-)$ կոնդենսատորի սկզբնական լարումն է:

Իմպեդանսը: կոմպլեքս իմպեդանսը, $Z_C$ կոնդենսատորի C համար է

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ ներկայացնում է կեղծ մասը $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ ներկայացնում է սինուսոիդային անկյունային հաճախությունը (ռադիաններ վայրկյանում)

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

Հոսանքը. Սերիայի մեջ գտնվող R-C շղթայում հոսանքը բոլոր կետերում նույնն է:

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Վոլտաժը. Վոլտաժի բաժանման կանոնի կիրառմամբ կոնդենսատորի վրա ունեցած վոլտաժը հետևյալն է.

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

և դիմադիրի վրա ունեցած վոլտաժը հետևյալն է.

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

R-C շղթայի հոսանքը

Սերիայի մեջ գտնվող R-C շղթայում հոսանքը բոլոր կետերում նույնն է:

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

RC շղթայի փոխանցման ֆունկցիա

Մուտքային լարման և կոնդենսատորի վրա լարման միջև փոխանցման ֆունկցիան է

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

Նմանապես, մուտքային լարման և ռեզիստորի վրա լարման միջև փոխանցման ֆունկցիան է

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

RC շղթայի քայլային պատասխանը

Երբ շղթայում ինչ-որ փոփոխություն տեղի է ունենում, օրինակ սիչի փակումը, լարումը և հոսանքը նույնպես փոփոխվում են և կարգավորվում նոր պայմաններին։ Եթե փոփոխությունը ակնկալելի է քայլ անց կոչվում է քայլային պատասխան։

Միջոցառման ընդհանուր պատասխանը հավասար է կոշտ պատասխանին գումարած բնական պատասխանը։ Այդ պատասխանները կարող են համադրվել գումարման սկզբունքով։

Կոշտ պատասխանը այն է, երբ աղբյուրը միացվում է, բայց սկզբնական պայմանները (ներքին պահված էներգիա) ենթադրվում են զրո։

Բնական պատասխանը այն է, երբ աղբյուրը անջատվում է, բայց շղթան ներառում է սկզբնական պայմանները (կոնդենսատորների սկզբնական լարումը և ինդուկտորների հոսանքը)։ Բնական պատասխանը նաև կոչվում է զրո մուտքային պատասխան, քանի որ աղբյուրը անջատված է։

Հետևաբար, ընդհանուր պատասխանը = կոշտ պատասխանը + բնական պատասխանը

Ինչ է Սկզբնական Պայմանը?

Ինդուկտորի դեպքում այնտեղ հոսանքը չի կարող անմիջապես փոխվել։ Դա նշանակում է, որ ինդուկտորով անցնող հոսանքը պահպանում է իր արժեքը անմիջապես անցկացման հետո։ Այսինքն,ինդուկտորում հոսանքը պահպանում է իր արժեքը անմիջապես անցկացման հետո։ Այսինքն, $t=0^-$ կարող է մնալ նույնը անմիջապես անցկացման հետո $t=0^+$ ։ այսինքն,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

Կոնդենսատորի դեպքում կոնդենսատորի վրա գործող լարման փոփոխությունը չի կարող հաջողվել անմիջապես։ Սա նշանակում է, որ կոնդենսատորի վրա գործող լարումը ժամանակի պահի $t=0^-$ կմնա նույնը անմիջապես հետո ժամանակի պահի $t=0^+$ ։ այսինքն.,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

Դիմացային RC շղթայի ուժային պատասխան

Առաջադրենք, որ կոնդենսատորը սկզբում լիովին դատարկված է և սեղմիչը (K) շատ երկար ժամանակ բաց է պահվում և այն փակվում է ժամանակի պահի $t=0$ ։

Force Response Of Driven Series R C Circuit

Երբ $t=0^-$ կողմնացույց K բաց է

Սա սկզբնական պայման է, հետևաբար կարող ենք գրել,

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

Քանի որ կոնդենսատորի վրա լարումը անմիջապես չի կարող փոխվել։

Բոլոր $t\geq0$ կողմնացույց K փակ է։

Այժմ շղթայում ներմուծվում է լարումը: Հետևաբար կիրառելով KVL-ը շղթային, ստանում ենք,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

Հիմա i(t)-ն կոնդենսատորի միջով հոսանքն է և այն կարող է արտահայտվել կոնդենսատորի ծայրակետներում գոյություն ունեցող լարումը հետևյալ ձևով.

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

Այս արտահայտությունը ներկայացնելով հավասարման (2) մեջ, ստանում ենք,

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

Հավանդների կատարումը տալիս է

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

Այժմ երկու կողմերը ինտեգրենք

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

Որտեղ $K^'$ ազատ հաստատուն է

K' գտնելու համար: Սկզբնական պայմանների օգտագործմամբ այսինքն հավասարում (1)-ը հավասարում (3)-ի մեջ փոխարինելով, ստանում ենք,

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

K’-ի արժեքը հավասարման (3) մեջ փոխարինելով ստանում ենք,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_s - V_c (t)] - \ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([\ln[a] - \ln[b] = \ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Ուղիղ լոգարիթմը վերցնելով, ստանում ենք,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

Այս հավասարումը ցույց է տալիս շարունակական R-C շղթայի առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը:

Այս պատասխանը կոմբինացիա է կայուն պատասխան այսինքն $V_S$

և առաջին պատասխան այսինքն $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

Ազատ աղբյուր ունեցող շարունակական RC շղթայի բնական պատասխան

Ազատ աղբյուր պատասխանը կոնդենսատորի թույլատրելի է մի հակադիր շղթայով դիմաց դրա շարունակական շղթայով:

Բնական պատասխան ազատ հողով շարքի R C շղթայում

Բոլոր համարների համար, երբ $t>=0^+$ փուլը K փակված է

KVL-ը կիրառելով այդ շղթայում, ստանում ենք,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

Այս հոսանքի արժեքը տեղադրելով հավասարում (6)-ում, ստանում ենք,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

Միանգամյան փոփոխականները տարբերելով, ստանում ենք

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

Երկու կողմերը ինտեգրելով

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

Որտեղ $K^'$ անկախ հաստատուն է

Որպեսզի գտնել $K^'$ : օգտագործելով սկզբնական պայմանը, այսինքն հավասարում (1)-ը ներդիրել հավասարման (7) մեջ, ստանում ենք,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

Ներդիրելով $K^'$ -ի արժեքը հավասարման (7) մեջ ստանում ենք,

$\begin{align*} \ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + \ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_c (t)] - \ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Անտիլոգարիթմը վերցնելով, ստանում ենք,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

Հավասարումը ցույց է տալիս RC շղթայի բնական պատասխանը։

Այժմ, ընդհանուր պատասխանը = ուժեղ պատասխանը + բնական պատասխանը

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

Որտեղ, $V_S$ քայլային լարումն է։

$V_0$ կոնդենսատորի սկզբնական լարումն է։

RC շղթայի ժամանակային հաստատունը

RC շղթայի ժամանակային հաստատունը կարելի է սահմանել որպես այն ժամանակը, որի ընթացքում կոնդենսատորի վրա լարված լարումը հասնում է իր վերջնական ստացիոնար արժեքին:

Մեկ ժամանակային հաստատունը այն ժամանակն է, որը անհրաժեշտ է լարման բարձրացնելու համար 0.632 անգամ ստացիոնար արժեքը կամ հոսանքը նվազեցնելու համար 0.368 անգամ ստացիոնար արժեքը:

RC շղթայի ժամանակային հաստատունը դիմադրության և կոնդենսատորի տարածականության արտադրյալն է:

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Այն չափվում է վայրկյաններով:

RC շղթայի հաճախականության պատասխանը

Իմպեդանսի մեթոդով: Հաճախականության պատասխանի ընդհանուր հավասարումը է

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

Հիմա կիրառեք պոտենցիալ դիրիչի կանոնը վերը նշված շղթային

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

Որտեղ, $Z_C$ = կոնդենսատորի իմպեդանսը

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

Այս հավասարումը (10)-ում փոխարինելով ստանում ենք,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

Համապատասխանող պատասխանը կոմպլեքս ձևով է ներկայացնում R-C շղթայի հաճախականային պատասխանը:

RC շղթայի դիֆերենցիալ հավասարում

RC լիցքավորման շղթայի դիֆերենցիալ հավասարում

Կոնդենսատորի ծայրահողությունը տրվում է

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Հիմա կոնդենսատորով անցող հոսանքը տրվում է հետևյալ բանաձևով

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Դիֆերենցիալ հավասարում RC շղթայի դիսկրետացման համար

Կոնդենսատորի վրա գործող լարմանը տրվում է

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Այժմ կոնդենսատորով անցնող հոսանքը տրվում է

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC շղթայի լրացումն ու դատարկելը

RC շղթայի լրացում

Նշված պատկերը ցույց է տալիս պարզ R-C շղթան, որտեղ կոնդենսատորը (C) համար սերիայի հետ միացված է դիմադրության (R), որը մեխանիկական սահքի (K) միջոցով միացված է DC ծառայողության հետ: Սկզբում կոնդենսատորը չի լինում լիցված: Երբ սահք K փակվում է, կոնդենսատորը գրադաց լիցվում է դիմադրության միջոցով մինչև կոնդենսատորի վրա լինող լարումը դառնա հավասար ծառայողության լարմանը: Կոնդենսատորի ալյումինայի վրա լիցված էլեկտրական լարվածությունը տրվում է Q = CV բանաձևով:

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

Հետևյալ հավասարումից հետևում է, որ կոնդենսատորի լարումը աճում է էքսպոնենցիալ կերպով:

Որտեղ,

$V_C$ կոնդենսատորի վրա լինող լարումն է
$V$ ծառայողության լարումն է:

RC նշանակում է R-C լիցման շղթայի ժամանակային հաստատունը, այսինքն: $\tau = R C$

Արգումենտացնենք հավասարումներ (11) և (12)-ի տարբեր ժամանակային արժեքները, և ստանում ենք կոնդենսատորի լարվածության լարվածությունը, այսինքն.

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

և կոնդենսատորի լարվածության հոսանքը

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

Կոնդենսատորի ծայրակետներում լարվածության փոփոխությունը $V_C(t)$ և հոսանքի փոփոխությունը կոնդենսատորով $i(t)$ ժամանակի ֆունկցիայով պատկերված է գծագրում։

Այսպիսով, RC լարված շղթայում, եթե կոնդենսատորի ծայրակետներում լարվածությունը բարձրանում է ցուցչային օրենքով, կոնդենսատորով հոսանքը նվազում է նույն արագությամբ ցուցչային օրենքով։ Երբ կոնդենսատորի ծայրակետներում լարվածությունը հասնում է ստացիոնար արժեքի, հոսանքը նվազում է զրոյի մինչև։

RC շղթայի թարմացում

Եթե լիովին լարված կոնդենսատորը հեռացվի ակկումուլյատորի լարվածությունից, ապա լարվածության ընթացքում կոնդենսատորում պահված էներգիան կմնա անսահմանափակ ժամանակ նրա պլակներում, պահելով լարվածությունը հաստատուն արժեքով։

Այժմ, եթե ակկումուլյատորը փոխարինվի կրճատ շղթայով և հանգույցը փակվի, կոնդենսատորը կթարմացնի հոսանքը դիմադրության միջոցով, և այժմ մենք ունենք RC թարմացման շղթա։

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

Վերևի հավասարումից պարզ է, որ կոնդենսատորի լարվածությունը ցուցչային ֆունկցիայով նվազում է։ Դա նշանակում է, որ R-C ցանցի ծառայության ժամանակ կոնդենսատորը ծառայում է հաջորդաբար կապված հոսանքահաղորդիչի միջոցով։ Այժմ R-C լարված և R-C ծառայող ցանցերի ժամանակահատվածները նույնն են և նրանք են

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Հիմա ենթադրենք ժամանակի տարբեր արժեքները հավասարումներ (13) և (14)-ում, կստանանք կոնդենսատորի ծառայող լարվածությունը, այսինքն.

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

Կոնդենսատորի վրա լցված լարման փոփոխությունը ժամանակի ֆունկցիայով ցուցադրված է պատկերում: $V_C(t)$ ։

Այսպիսով, R-C դիսկարգող շղթայում, եթե կոնդենսատորի վրա լցված լարումը ցուրանալիս ցուցչային օրենքով կրճատվում է, հոսանքը կոնդենսատորով նույն արագությամբ աճում է: Երբ կոնդենսատորի վրա լցված լարումը հասնում է զրոյի, հոսանքը հասնում է ստացիոնար արժեքի:

Հայտարարություն՝ Պահպանել օրիգինալը, լավ հոդվածները արժանի են տարածում, եթե կա իրավունքի խախտում խնդրում ենք կապվել և ջնջել։

Պատվերը փոխանցել և հեղինակին fffffff

Թեմաներ:

Սխեմայի տեսություն

RLC շղթա

Մասնագետների մասին

Electrical4u

China