Analisi del circuito RC: Serie, Parallelo, Equazioni e Funzione di Trasferimento

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Campo: Elettricità di base

China

Cos'è un circuito RC?

Un circuito RC (noto anche come filtro RC o rete RC) sta per circuito resistore-condensatore. Un circuito RC è definito come un circuito elettrico composto dagli componenti passivi del circuito di un resistore (R) e di un condensatore (C), alimentato da una sorgente di tensione o da una sorgente di corrente.

A causa della presenza di un resistore nella forma ideale del circuito, un circuito RC consumerà energia, simile a un circuito RL o a un circuito RLC.

Questo è diverso dalla forma ideale di un circuito LC, che non consumerà energia a causa dell'assenza di un resistore. Tuttavia, questo è solo nella forma ideale del circuito, e in pratica, anche un circuito LC consumerà qualche energia a causa della resistenza non nulla dei componenti e dei cavi di connessione.

Circuito RC in serie

In un circuito RC in serie, un resistore puro con resistenza R in ohm e un condensatore puro con capacità C in Farad sono collegati in serie.

Qui $I$ è il valore RMS della corrente nel circuito.

$V_R$ è la tensione sul resistore R.

$V_C$ è la tensione sul condensatore C.

$V$ è il valore RMS della tensione di alimentazione.

Il diagramma mostra un diagramma vettoriale del circuito RC in serie.

Poiché in un circuito in serie la corrente $'I'$ è la stessa, viene utilizzata come riferimento.

$V_R = IR$ viene disegnato in fase con la corrente $'I'$ perché in un resistore puro il voltaggio e la corrente sono in fase tra loro.

$V_C=I X_C$ viene disegnato con un ritardo rispetto alla corrente $'I'$ di $90^0$ perché in un condensatore puro, il voltaggio e la corrente sono sfasati di $90^0$ l'uno rispetto all'altro, cioè il voltaggio segue la corrente con un ritardo di $90^0$ o la corrente precede il voltaggio di $90^0$ .

Ora $V$ è la somma vettoriale di $V_R$ e $V_C$ .

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

L'impedenza di un circuito in serie R-C è

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, dove, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

Il voltaggio e il impedenza sono mostrati nella figura.

Come si vede, il vettore $V$ è in ritardo rispetto a $I$ di un angolo ø dove

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

Quindi, in un circuito R-C in serie, la corrente $'I'$ precede la tensione di alimentazione $'V'$ di un angolo

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

Le forme d'onda di tensione e corrente del circuito R-C sono mostrate in figura.

Potenza in un circuito R-C in serie

Il valore istantaneo della potenza è il prodotto dei valori istantanei della tensione e corrente.

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [dove, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, perché \,\, la \,\, curva \,\, del \,\, coseno \,\, è \,\, simmetrica] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

Pertanto, la potenza istantanea è composta da due parti.

1. Una parte costante = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. Una componente variabile = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ che varia con il doppio della frequenza di alimentazione.

Il valore medio della componente di potenza variabile su un ciclo completo è zero.

Pertanto, la potenza media consumata in un circuito RC in serie su un ciclo è

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

Dove $V$ e $I$ sono i valori efficaci della tensione applicata e della corrente nel circuito.

Fattore di potenza in un circuito RC in serie

Considera la figura che mostra i triangoli di potenza e impedenza.

Triangolo di potenza e Triangolo di impedenza

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (fattore \,\, di \,\, potenza) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (potenza \,\, attiva)\,\,} {S \,\, (potenza \,\, apparente)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

Circuito RC parallelo

In un circuito R-C parallelo, un resistore puro con resistenza $R$ in ohm e un condensatore puro con capacità $C$ in faradi sono connessi in parallelo.

Nel circuito R-C parallelo, le cadute di tensione sono le stesse, pertanto la tensione applicata è uguale alla tensione sul resistore e alla tensione sul condensatore. La corrente nel circuito R-C parallelo è la somma della corrente attraverso il resistore e la corrente attraverso il condensatore.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

Per il resistore, la corrente che lo attraversa è data dalla legge di Ohm:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

La relazione tra tensione e corrente per il condensatore è:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

Applicando la LCL (Legge della Corrente di Kirchhoff) al circuito R-C in parallelo

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

L'equazione sopra è l'equazione differenziale del primo ordine di un circuito R-C.

Funzione di trasferimento del circuito RC parallelo:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

Equazioni del circuito RC

Il condensatore C si comporta come un $\frac {1} {sC}$ nel dominio della frequenza con una sorgente di tensione di $\frac {vC(0^-)} {s}$ in serie con esso, dove $vC (0^-)$ è la tensione iniziale sul condensatore.

Impedenza: L'impedenza complessa, $Z_C$ di un condensatore C è

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ rappresenta la parte immaginaria $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ rappresenta la frequenza angolare sinusoidale (radianti al secondo)

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

Corrente: La corrente è la stessa in tutto il circuito R-C in serie.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Tensione: Applicando la regola del divisore di tensione, la tensione sul condensatore è:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

e la tensione sul resistore è:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

Corrente del circuito RC

La corrente è la stessa in tutto il circuito R-C in serie.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Funzione di trasferimento del circuito RC

La funzione di trasferimento dal voltaggio di ingresso al voltaggio sul condensatore è

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

Analogamente, la funzione di trasferimento dal voltaggio di ingresso al voltaggio sul resistore è

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

Risposta all'impulso del circuito RC

Quando qualcosa cambia in un circuito, come quando un interruttore si chiude, il voltaggio e la corrente cambiano e si adattano alle nuove condizioni. Se il cambiamento è un passaggio brusco, la risposta è chiamata risposta all'impulso.

La risposta totale di un circuito è uguale alla risposta forzata più la risposta naturale. Queste risposte possono essere combinate utilizzando il principio di sovrapposizione.

La risposta forzata è quella in cui la sorgente di alimentazione è accesa, ma con le condizioni iniziali (energia internamente immagazzinata) assunte pari a zero.

La risposta naturale è quella in cui la sorgente di alimentazione è spenta, ma il circuito include le condizioni iniziali (tensione iniziale sui condensatori e corrente negli induttori). La risposta naturale è anche chiamata risposta a ingresso nullo perché la sorgente di alimentazione è spenta.

Quindi, risposta totale = risposta forzata + risposta naturale

Cosa sono le Condizioni Iniziali?

Nel caso di un induttore, la corrente che lo attraversa non può essere cambiata istantaneamente. Ciò significa che la corrente attraverso l'induttore al momento $t=0^-$ rimarrà la stessa subito dopo la transizione al momento $t=0^+$ . cioè,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

Nel caso di un condensatore, la tensione sul condensatore non può essere cambiata istantaneamente. Ciò significa che la tensione sul condensatore all'istante $t=0^-$ rimarrà la stessa subito dopo la transizione all'istante $t=0^+$ . cioè,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

Risposta forzata di un circuito RC in serie alimentato

Supponiamo che il condensatore sia inizialmente completamente scarico e l'interruttore (K) sia mantenuto aperto per un tempo molto lungo e venga chiuso all'istante $t=0$ .

Al $t=0^-$ l'interruttore K è aperto

Questa è una condizione iniziale, quindi possiamo scrivere,

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

Poiché la tensione sul condensatore non può cambiare istantaneamente.

Per tutti i $t\geq0$ l'interruttore K è chiuso.

Ora viene introdotto nella circuito la sorgente di tensione. Quindi, applicando la legge delle tensioni ai nodi al circuito, otteniamo,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

Ora, i(t) è la corrente attraverso il condensatore e può essere espressa in termini di tensione sul condensatore come

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

Sostituendo questo nell'equazione (2), otteniamo,

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

Separando le variabili, otteniamo

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

Integrando entrambi i lati

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

Dove $K^'$ è la costante arbitraria

Per trovare $K'$ : Utilizzando la condizione iniziale, cioè sostituendo l'equazione (1) nell'equazione (3), otteniamo,

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

Sostituendo il valore di K’ nell'equazione (3) otteniamo,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_s - V_c (t)] - ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([ln[a] - ln[b] = ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Prendendo l'antilogaritmo, otteniamo,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

L'equazione sopra indica la soluzione di un'equazione differenziale del primo ordine di un circuito RC in serie.

La risposta sopra è una combinazione di risposta allo stato stazionario cioè $V_S$

e risposta transitoria cioè $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

Risposta naturale di un circuito RC in serie senza sorgente

La risposta senza sorgente è lo scarico di un condensatore attraverso un resistore in serie con esso.

Per tutti $t>=0^+$ l'interruttore K è chiuso

Applicando la legge dei voltaggi ai nodi al circuito sopra, otteniamo,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Ora \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

Sostituendo questo valore di corrente nell'equazione (6), otteniamo,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

Separando le variabili, otteniamo

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

Integrando entrambi i lati

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

Dove $K^'$ è una costante arbitraria

Per trovare $K^'$ : Utilizzando la condizione iniziale, cioè sostituendo l'equazione (1) nell'equazione (7), otteniamo,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

Sostituendo il valore di $K^'$ nell'equazione (7) otteniamo,

$\begin{align*} ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] - ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Prendendo l'antilogaritmo, otteniamo,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

L'equazione sopra indica la risposta naturale del circuito RC in serie.

Ora, la risposta totale = risposta forzata + risposta naturale

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

Dove, $V_S$ è la tensione a gradino.

$V_0$ è la tensione iniziale sul condensatore.

Costante di tempo del circuito RC

La costante di tempo di un circuito R-C può essere definita come il tempo durante il quale la tensione sul condensatore raggiungerebbe il suo valore finale a stato stazionario.

Una costante di tempo è il tempo necessario perché la tensione aumenti fino a 0,632 volte il valore a stato stazionario o il tempo necessario perché la corrente decada fino a 0,368 volte il valore a stato stazionario.

La costante di tempo del circuito R-C è il prodotto della resistenza e della capacità.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Il suo unità di misura è il secondo.

Risposta in frequenza del circuito RC

Utilizzando il metodo dell'impedenza: L'equazione generale per la risposta in frequenza del sistema è

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

Ora applica la regola del divisore di tensione al circuito sopra

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

Dove, $Z_C$ = Impedenza del condensatore

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

Sostituisci questo nell'equazione (10), otteniamo,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

La risposta sopra è la risposta in frequenza di un circuito R-C in forma complessa.

Equazione differenziale del circuito RC

Equazione differenziale del circuito di carica RC

La tensione sul condensatore è data da

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Ora, la corrente attraverso il condensatore è data da

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Equazione differenziale del circuito RC in scarica

La tensione sul condensatore è data da

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Ora la corrente attraverso il condensatore è data da

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Circuito RC in Carica e Scarica

Carica del Circuito RC

La figura mostra un semplice circuito R-C in cui un condensatore (C), in serie con un resistore (R), è collegato a una sorgente di tensione continua tramite un interruttore meccanico (K). Il condensatore è inizialmente scarico. Quando l'interruttore K viene chiuso, il condensatore si caricherà gradualmente attraverso il resistore fino a quando la tensione sul condensatore diventa uguale alla tensione della sorgente. La carica sulle armature del condensatore è data da Q = CV.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

Dall'equazione sopra, è chiaro che la tensione sul condensatore aumenta esponenzialmente.

Dove,

$V_C$ è la tensione sul condensatore
$V$ è la tensione della sorgente.

RC è la costante di tempo del circuito di carica R-C. cioè $\tau = R C$

Sostituendo diversi valori di tempo t nelle equazioni (11) e (12), otteniamo la tensione di carica del condensatore, cioè

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

e corrente di carica del condensatore

$\begin{align*} t = \tau \,\, allora \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0,368) A \,\, (dove, e = 2,718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, allora \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0,1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, allora \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0,0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, allora \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0,0024) A \end{align*}$

La variazione della tensione attraverso il condensatore $V_C(t)$ e la corrente attraverso il condensatore $i(t)$ in funzione del tempo sono mostrate nella figura.

Quindi, in un circuito RC di carica, se la tensione attraverso il condensatore aumenta esponenzialmente, la corrente attraverso il condensatore diminuisce esponenzialmente con lo stesso tasso. Quando la tensione attraverso il condensatore raggiunge il valore a regime, la corrente si riduce a zero.

Circuito RC di Scarica

Se un condensatore completamente caricato viene ora disconnesso dalla tensione di alimentazione della batteria, l'energia immagazzinata nel condensatore durante il processo di carica rimarrebbe indefinitamente sulle sue armature, mantenendo la tensione memorizzata tra i suoi terminali a un valore costante.

Ora, se la batteria fosse sostituita da un cortocircuito e quando l'interruttore viene chiuso, il condensatore si scaricherà attraverso il resistore, ottenendo così un circuito chiamato circuito RC di scarica.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

Dall'equazione sopra, è chiaro che la tensione del condensatore diminuisce esponenzialmente. Ciò significa che nel circuito R-C in scarica, il condensatore si scarica attraverso il resistore R in serie con esso. Ora, la costante di tempo del circuito R-C in carica e del circuito R-C in scarica sono le stesse e sono

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Sostituendo diversi valori di tempo t nelle equazioni (13) e (14), otteniamo la tensione di scarica del condensatore, cioè

$\begin{align*} t = \tau \,\, allora \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

La variazione della tensione sul condensatore $V_C(t)$ in funzione del tempo è mostrata nella figura.

Quindi, nel circuito RC in scarica, se la tensione sul condensatore diminuisce esponenzialmente, la corrente attraverso il condensatore aumenta esponenzialmente con lo stesso tasso. Quando la tensione sul condensatore raggiunge il valore zero, la corrente raggiunge un valore di stato stazionario.

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