RC-Schaltkreisanalyse: Serie, Parallelschaltung, Gleichungen & Übertragungsfunktion

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Feld: Grundlagen der Elektrotechnik

China

Was ist ein RC-Schaltkreis?

Ein RC-Schaltkreis (auch bekannt als RC-Filter oder RC-Netzwerk) steht für einen Widerstands-Kondensator-Schaltkreis. Ein RC-Schaltkreis wird definiert als ein elektrischer Schaltkreis, der aus den passiven Schaltkreiselementen eines Widerstands (R) und einem Kondensator (C) besteht, die von einer Spannungsquelle oder einer Stromquelle angetrieben werden.

Aufgrund des Vorhandenseins eines Widerstands in der idealen Form des Schaltkreises verbraucht ein RC-Schaltkreis Energie, ähnlich wie ein RL-Schaltkreis oder ein RLC-Schaltkreis.

Dies unterscheidet sich von der idealen Form eines LC-Schaltkreises, der aufgrund des Fehlens eines Widerstands keine Energie verbraucht. Obwohl dies nur in der idealen Form des Schaltkreises zutrifft, und in der Praxis sogar ein LC-Schaltkreis einige Energie verbrauchen wird, aufgrund des nicht nullen Widerstands der Bauteile und Verbindungskabel.

Serieller RC-Schaltkreis

In einer RC-Reihenschaltung ist ein reiner Widerstand mit einem Widerstand R in Ohm und ein reiner Kondensator mit einer Kapazität C in Farad in Reihe geschaltet.

Hier ist $I$ der Effektivwert des Stroms in der Schaltung.

$V_R$ die Spannung über dem Widerstand R.

$V_C$ die Spannung über dem Kondensator C.

$V$ der Effektivwert der Netzspannung.

Die Abbildung zeigt ein Vektorbild der Reihenschaltung RC.

Da in einer Reihenschaltung der Strom $'I'$ gleich ist, wird er als Referenz verwendet.

$V_R = IR$ wird in Phase mit dem Strom $'I'$ gezeichnet, da in einem reinen Widerstand die Spannung und der Strom in Phase zueinander stehen.

$V_C=I X_C$ wird mit einer Verzögerung von $'I'$ um $90^0$ gezeichnet, da in einem reinen Kondensator Spannung und Strom $90^0$ gegeneinander versetzt sind, d.h. die Spannung folgt dem Strom um $90^0$ oder der Strom führt die Spannung um $90^0$ .

Nun $V$ ist die Vektorsumme von $V_R$ und $V_C$ .

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

Die Impedanz eines R-C-Reihenschaltkreises beträgt

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, wobei, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

Die Spannung und der Impedanz-Dreieck sind in der Abbildung dargestellt.

Wie zu sehen ist, fällt der Vektor $V$ um einen Winkel ø hinterher, wobei

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

Daher führt in einer RC-Reihenschaltung der Strom $'I'$ die Spannungsquelle $'V'$ um einen Winkel

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

Die Spannungs- und Stromformen des R-C-Reihenschaltkreises sind in der Abbildung dargestellt.

Leistung in einem RC-Reihenschaltkreis

Der zeitabhängige Wert der Leistung ist das Produkt der zeitabhängigen Werte der Spannung und des Stroms

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [wo, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, weil \,\, cos \,\, Kurve \,\, symmetrisch \,\, ist] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

Die momentane Leistung besteht aus zwei Teilen.

1. Ein konstanter Teil = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. Ein variabler Teil = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ der sich mit doppelter Netzfrequenz ändert.

Der Durchschnittswert des variablen Leistungsteils über einen vollständigen Zyklus beträgt null.

Daher beträgt die durchschnittliche Leistung, die in einem RC-Reihenschaltkreis über einen Zyklus verbraucht wird

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

Wo $V$ und $I$ die RMS-Werte der angewandten Spannung und des Stroms im Schaltkreis sind.

Leistungsfaktor in einem RC-Serienkreis

Betrachten Sie die Abbildung, die die Leistung und Impedanz-Dreiecke zeigt.

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (power \,\, factor) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (active \,\, power)\,\,} {S \,\, (apparent \,\, power)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

Paralleler RC-Kreis

In einem parallelen R-C-Schaltkreis ist ein reiner Widerstand mit Widerstand $R$ in Ohm und ein reiner Kondensator mit Kapazität $C$ in Farad parallel geschaltet.

Die Spannungsabfälle in einem parallelen RC-Schaltkreis sind gleich, daher ist die angelegte Spannung gleich der Spannung über dem Widerstand und der Spannung über dem Kondensator. Der Strom in einem parallelen R-C-Schaltkreis ist die Summe des Stroms durch den Widerstand und den Kondensator.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

Für den Widerstand wird der Strom durch ihn gemäß dem Ohmschen Gesetz gegeben:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

Das Spannungs-Strom-Verhältnis für den Kondensator lautet:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

Durch Anwendung des Kirchhoffschen Stromgesetzes (KCL) auf das parallele R-C-Schaltkreis

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

Die obige Gleichung ist die Differentialgleichung erster Ordnung eines R-C-Kreises.

Übertragungsfunktion des parallelen RC-Kreises:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

RC-Kreis-Gleichungen

Der Kondensator C verhält sich im Frequenzbereich wie ein $\frac {1} {sC}$ mit einer Spannungsquelle von $\frac {vC(0^-)} {s}$ in Serie, wobei $vC (0^-)$ die anfängliche Spannung über dem Kondensator ist.

Impedanz: Die komplexe Impedanz, $Z_C$ eines Kondensators C ist

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ stellt den imaginären Teil dar $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ stellt die sinusförmige Winkelgeschwindigkeit (Radiant pro Sekunde) dar

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

Strom: Der Strom ist überall in der Reihenschaltung R-C gleich.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Spannung: Durch Anwendung der Spannungsteilerregel ist die Spannung über dem Kondensator:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

und die Spannung über dem Widerstand ist:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

RC-Schaltkreis-Strom

Der Strom ist überall in der Reihenschaltung R-C gleich.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Übertragungsfunktion des RC-Schaltkreises

Die Übertragungsfunktion vom Eingangsspannung zum Spannung über dem Kondensator ist

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

Ähnlich ist die Übertragungsfunktion vom Eingangsspannung zum Spannung über dem Widerstand

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

Sprungantwort des RC-Schaltkreises

Wenn sich etwas in einem Schaltkreis ändert, wie wenn ein Schalter geschlossen wird, ändern sich auch die Spannung und der Strom und passen sich den neuen Bedingungen an. Wenn die Änderung ein abrupter Sprung ist, wird die Reaktion als Sprungantwort bezeichnet.

Die gesamte Reaktion eines Schaltkreises ist gleich der erzwungenen Reaktion plus der natürlichen Reaktion. Diese Reaktionen können mithilfe des Superpositionsprinzips kombiniert werden.

Die erzwungene Reaktion tritt auf, wenn die Energiequelle eingeschaltet wird, aber unter der Annahme, dass die Anfangsbedingungen (intern gespeicherte Energie) null sind.

Die natürliche Reaktion tritt auf, wenn die Energiequelle ausgeschaltet wird, aber der Schaltkreis die Anfangsbedingungen (Anfangsspannung an Kondensatoren und Strom in Spulen) beinhaltet. Die natürliche Reaktion wird auch als Null-Eingangsreaktion bezeichnet, da die Energiequelle ausgeschaltet ist.

Daher gilt: Gesamtreaktion = erzwungene Reaktion + natürliche Reaktion

Was ist eine Anfangsbedingung?

Im Falle eines Spulens kann der durch ihn fließende Strom nicht instantan geändert werden. Das bedeutet, dass der Strom durch die Spule zum Zeitpunkt $t=0^-$ unmittelbar nach dem Übergang zum Zeitpunkt $t=0^+$ gleich bleibt. D.h.,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

Im Falle eines Kondensators kann die Spannung über dem Kondensator nicht instantan geändert werden. Das bedeutet, dass die Spannung über dem Kondensator zum Zeitpunkt $t=0^-$ gleich bleibt, direkt nach dem Übergang zum Zeitpunkt $t=0^+$ . D.h.,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

Zwangslösung eines angeregten RC-Reihenschaltkreises

Nehmen wir an, der Kondensator ist anfangs vollständig entladen und der Schalter (K) ist für eine sehr lange Zeit offen gehalten worden und wird bei $t=0$ geschlossen.

Bei $t=0^-$ ist der Schalter K offen

Dies ist eine Anfangsbedingung, daher können wir schreiben,

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

Denn die Spannung über dem Kondensator kann sich nicht instantan ändern.

Für alle $t\geq0$ ist der Schalter K geschlossen.

Nun wird die Spannungsquelle in den Schaltkreis eingeführt. Daher, wenn wir das KVL auf den Schaltkreis anwenden, erhalten wir,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

Nun ist i(t) der Strom durch den Kondensator und kann in Bezug auf die Spannung über dem Kondensator ausgedrückt werden als

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

Setzen wir dies in Gleichung (2) ein, erhalten wir,

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

Durch Trennung der Variablen erhalten wir

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

Beidseitige Integration

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

Wobei $K^'$ die willkürliche Konstante ist

Um $K'$ zu finden: Unter Verwendung der Anfangsbedingung, d.h. das Einsetzen von Gleichung (1) in Gleichung (3), erhalten wir,

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

Durch Einsetzen des Wertes von K’ in Gleichung (3) erhalten wir,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_s - V_c (t)] - \ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([\ln[a] - \ln[b] = \ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Durch Anwendung der Exponentialfunktion erhalten wir,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

Die obige Gleichung zeigt die Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung eines Serien-R-C-Kreises.

Die obige Antwort ist eine Kombination aus Stationärer Antwort d.h. $V_S$

und transienter Antwort d.h. $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

Natürliche Antwort des quellenfreien Serien-R-C-Kreises

Die quellenfreie Antwort ist der Entladevorgang eines Kondensators durch einen in Serie geschalteten Widerstand.

Naturale Reaktion eines quellenfreien RC-Reihenschaltkreises

Für alle $t>=0^+$ ist der Schalter K geschlossen

Durch Anwendung des Spannungsumlaufgesetzes (KVL) auf den obigen Schaltkreis erhalten wir,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Nun \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

Setzen wir diesen Stromwert in Gleichung (6) ein, erhalten wir,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

Durch Trennung der Variablen erhalten wir

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

Beidseitige Integration

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

Wo $K^'$ eine beliebige Konstante ist

Um $K^'$ zu finden: Unter Verwendung der Anfangsbedingung, d.h. das Einsetzen von Gleichung (1) in Gleichung (7), erhalten wir,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

Durch Einsetzen des Wertes von $K^'$ in Gleichung (7) erhalten wir,

$\begin{align*} ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] - ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Durch Anwendung der Umkehrfunktion erhalten wir,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

Die obige Gleichung zeigt die natürliche Reaktion des RC-Schaltkreises in Reihe.

Nun, die Gesamtreaktion = erzwungene Reaktion + natürliche Reaktion

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

Wobei, $V_S$ die Stufenpannung ist.

$V_0$ die Anfangsspannung auf dem Kondensator ist.

Zeitkonstante des RC-Schaltkreises

Die Zeitkonstante eines RC-Schaltkreises kann als die Zeit definiert werden, in der die Spannung über dem Kondensator ihren endgültigen Gleichgewichtswert erreicht.

Eine Zeitkonstante ist die Zeit, die benötigt wird, um die Spannung auf 0,632 mal den Gleichgewichtswert ansteigen zu lassen oder für den Strom, um auf 0,368 mal den Gleichgewichtswert abzufallen.

Die Zeitkonstante des RC-Schaltkreises ist das Produkt aus Widerstand und Kapazität.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Ihre Einheit ist Sekunde.

Frequenzgang des RC-Schaltkreises

Verwendung der Impedanzmethode: Allgemeine Gleichung für das Frequenzgangssystem ist

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

Wenden Sie nun die Spannungsteilerregel auf das obige Schaltkreis an

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

Wobei, $Z_C$ = Impedanz des Kondensators

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

Setzen Sie dies in Gleichung (10) ein, erhalten wir,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

Die obige Antwort ist die Frequenzantwort eines R-C-Schaltkreises in komplexer Form.

Differenzialgleichung des RC-Schaltkreises

Differenzialgleichung des RC-Ladeschaltkreises

Die Spannung über dem Kondensator wird durch

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Der Strom durch den Kondensator ist gegeben durch

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Differentialgleichung des RC-Entladekreises

Die Spannung über dem Kondensator wird durch

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Der Strom durch den Kondensator wird durch

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Laden und Entladen eines RC-Kreises

Laden eines RC-Kreises

Die Abbildung zeigt die einfache R-C-Schaltung, in der ein Kondensator (C) in Serie mit einem Widerstand (R) an eine Gleichspannungsquelle über einen mechanischen Schalter (K) angeschlossen ist. Der Kondensator ist zunächst ungeladen. Wenn der Schalter K geschlossen wird, lädt sich der Kondensator durch den Widerstand allmählich auf, bis die Spannung am Kondensator gleich der Spannung der Stromquelle wird. Die Ladung auf den Platten des Kondensators ergibt sich als Q = CV.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

Aus der obigen Gleichung geht hervor, dass die Spannung am Kondensator exponentiell zunimmt.

Wobei,

$V_C$ die Spannung am Kondensator ist
$V$ die Versorgungsspannung ist.

RC ist die Zeitkonstante der RC-Ladeschaltung. d.h. $\tau = R C$

Setzen wir verschiedene Werte für die Zeit t in Gleichung (11) und (12) ein, erhalten wir die Spannung des sich aufladenden Kondensators, also

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

und den Ladestrom des Kondensators

$\begin{align*} t = \tau \,\, dann \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0,368) A \,\, (wobei, e = 2,718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, dann \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0,1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, dann \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0,0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, dann \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0,0024) A \end{align*}$

Die Variation der Spannung über dem Kondensator $V_C(t)$ und der Strom durch den Kondensator $i(t)$ als Funktion der Zeit ist in der Abbildung dargestellt.

Daher steigt in einem RC-Ladungsstromkreis die Spannung über dem Kondensator exponentiell an, während der Strom durch den Kondensator mit gleicher Rate exponentiell abnimmt. Wenn die Spannung über dem Kondensator den stationären Wert erreicht, sinkt der Strom auf Null.

RC-Schaltkreis Entladen

Wenn ein vollständig geladener Kondensator vom Batteriespannungsversorgung getrennt wird, bleibt die während des Ladevorgangs gespeicherte Energie unendlich lange auf seinen Platten, wodurch die gespeicherte Spannung zwischen seinen Anschlüssen konstant bleibt.

Wenn die Batterie durch einen Kurzschluss ersetzt wird und der Schalter geschlossen wird, entlädt sich der Kondensator über den Widerstand. Nun haben wir einen Schaltkreis, der als RC-Entladungsschaltkreis bezeichnet wird.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

Aus der obigen Gleichung ist klar, dass die Spannung des Kondensators exponentiell abnimmt. Das bedeutet, dass beim Entladen der R-C-Schaltung der Kondensator durch den in Reihe geschalteten Widerstand R entladen wird. Die Zeitkonstante der R-C-Aufladeschaltung und der R-C-Entladeschaltung sind gleich und betragen

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Setzen wir in Gleichung (13) und (14) verschiedene Werte für die Zeit t ein, erhalten wir die Entladungsspannung des Kondensators, also

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

Die Änderung der Spannung über dem Kondensator $V_C(t)$ als Funktion der Zeit ist in der Abbildung dargestellt.

Variation von Spannung im Verhältnis zur Zeit

Somit fällt in einem R-C-Entladekreis, wenn die Spannung über dem Kondensator exponentiell abnimmt, der Strom durch den Kondensator mit der gleichen Rate exponentiell an. Wenn die Spannung über dem Kondensator den Wert Null erreicht, erreicht der Strom einen stationären Wert.

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