วงจร RC วิเคราะห์: อนุกรม, ขนาน, สมการและฟังก์ชันการถ่ายโอน

Electrical4u

ฟิลด์: ไฟฟ้าพื้นฐาน

China

วงจร RC คืออะไร

วงจร RC (หรือเรียกว่าวงจรฟิลเตอร์ RC หรือเครือข่าย RC) หมายถึงวงจรต้านทาน-คอนเดนเซอร์ วงจร RC นิยามว่าเป็น วงจรไฟฟ้า ที่ประกอบด้วย องค์ประกอบวงจรแบบพาสซีฟ ของ ต้านทาน (R) และ คอนเดนเซอร์ (C) ที่ถูกขับเคลื่อนโดย แหล่งกำเนิดแรงดัน หรือ แหล่งกำเนิดกระแส.

เนื่องจากมีต้านทานในรูปแบบอุดมคติของวงจร วงจร RC จะใช้พลังงาน เช่นเดียวกับ วงจร RL หรือ วงจร RLC.

ซึ่งแตกต่างจากวงจร LC ในรูปแบบอุดมคติ ที่จะไม่ใช้พลังงานเนื่องจากไม่มีต้านทาน แม้ว่านี่จะเป็นเพียงในรูปแบบอุดมคติของวงจร และในการปฏิบัติจริง วงจร LC ก็จะใช้พลังงานบางส่วนเนื่องจากความต้านทานที่ไม่เท่ากับศูนย์ขององค์ประกอบและสายเชื่อมต่อ

วงจร RC แบบอนุกรม

ในวงจร RC อนุกรม มีตัวต้านทานบริสุทธิ์ที่มีความต้านทาน R ในหน่วยโอห์มและตัวเก็บประจุบริสุทธิ์ที่มีความจุ C ในฟาราดเชื่อมต่อกันเป็นอนุกรม

ที่นี่ $I$ คือค่า RMSของกระแสในวงจร

$V_R$ คือแรงดันไฟฟ้าที่ผ่านตัวต้านทาน R

$V_C$ คือแรงดันไฟฟ้าที่ผ่านตัวเก็บประจุ C

$V$ คือค่า RMS ของแรงดันไฟฟ้าที่ป้อนเข้ามา

รูปภาพแสดงไดอะแกรมเวกเตอร์ของวงจร RC อนุกรม

เนื่องจากในวงจรอนุกรมกระแสไฟฟ้า $'I'$ มีค่าเท่ากันจึงถูกใช้เป็นอ้างอิง

$V_R = IR$ ถูกวาดให้อยู่ในเฟสเดียวกับกระแส $'I'$ เนื่องจากในตัวต้านทานบริสุทธิ์ แรงดันไฟฟ้าและกระแสจะอยู่ในเฟสเดียวกัน

$V_C=I X_C$ ถูกวาดให้ช้ากว่ากระแสไฟฟ้า $'I'$ โดย $90^0$ เนื่องจากในตัวเก็บประจุบริสุทธิ์ ตัวเก็บประจุ แรงดันและกระแสมีความแตกต่างกัน $90^0$ หรือว่าแรงดันช้ากว่ากระแสราว $90^0$ หรือกระแสมาก่อนแรงดันราว $90^0$ .

ตอนนี้ $V$ เป็นผลรวมเวกเตอร์ของ $V_R$ และ $V_C$ .

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

ความต้านทานไฟฟ้าของวงจรอนุกรม R-C คือ

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

แรงดันไฟฟ้าและ อิมพีแดนซ์สามเหลี่ยมแสดงในรูปภาพ

ตามที่เห็น เวกเตอร์ $V$ ล่าช้ากว่า $I$ โดยมุม ø ที่

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

ดังนั้นในวงจรอนุกรม R-C กระแส $'I'$ นำหน้าแรงดันไฟฟ้า $'V'$ โดยมุม

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

รูปคลื่นแรงดันและกระแสของวงจรอนุกรม R-C แสดงในภาพ

พลังงานในวงจรอนุกรม R-C

ค่าทันทีของพลังงานคือผลคูณของค่าทันทีของแรงดันและกระแส.

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [where, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, because \,\, cos \,\, curve \,\, is \,\, symmetric] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

ดังนั้นพลังงานทันทีประกอบด้วยสองส่วน

1. ส่วนที่คงที่ = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. ส่วนที่เปลี่ยนแปลง = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ ซึ่งเปลี่ยนแปลงที่ความถี่สองเท่าของแหล่งจ่ายไฟ

ค่าเฉลี่ยของส่วนพลังงานที่เปลี่ยนแปลงตลอดวงจรหนึ่งรอบเป็นศูนย์

ดังนั้นพลังงานเฉลี่ยที่ใช้ในวงจรอนุกรม RC ตลอดวงจรหนึ่งรอบคือ

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

ที่ $V$ และ $I$ เป็นค่า RMS ของแรงดันและกระแสที่ใช้ในวงจร

ตัวประกอบกำลังในวงจร RC อนุกรม

พิจารณาภาพแสดงสามเหลี่ยมกำลังและอิมพีแดนซ์

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (power \,\, factor) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (active \,\, power)\,\,} {S \,\, (apparent \,\, power)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

วงจร RC ขนาน

ในวงจร R-C ขนานที่มีตัวต้านทานบริสุทธิ์ที่มีความต้านทาน $R$ ในหน่วยโอห์มและตัวเก็บประจุบริสุทธิ์ที่มีความจุไฟฟ้า $C$ ในหน่วยฟารัดเชื่อมต่อกันแบบขนาน

แรงดันตกคร่อมในวงจร RC ขนานเท่ากัน ดังนั้นแรงดันที่ใช้งานจะเท่ากับแรงดันที่ตกคร่อมตัวต้านทานและแรงดันที่ตกคร่อมตัวเก็บประจุ กระแสไฟฟ้าในวงจร R-C ขนานคือผลรวมของกระแสผ่านตัวต้านทานและตัวเก็บประจุ

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

สำหรับตัวต้านทาน กระแสที่ผ่านมันจะได้จากการใช้กฎของโอห์ม:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันไฟฟ้ากับกระแสไฟฟ้าในตัวเก็บประจุคือ:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

การใช้กฎของเคิร์ชฮอฟ (KCL)กับวงจร R-C ขนาน

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

สมการข้างต้นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งของวงจร R-C

ฟังก์ชันการถ่ายโอนของวงจร RC แบบขนาน:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

สมการของวงจร RC

คอนเดนเซอร์ C แสดงพฤติกรรมเหมือน $\frac {1} {sC}$ ในโดเมนความถี่พร้อมแหล่งกำเนิดแรงดัน $\frac {vC(0^-)} {s}$ ที่อยู่ในอนุกรมกับมัน โดยที่ $vC (0^-)$ เป็นแรงดันเริ่มต้นที่คอนเดนเซอร์

อิมพีแดนซ์: อิมพีแดนซ์เชิงซ้อน $Z_C$ ของตัวเก็บประจุ C คือ

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ แทนส่วนจินตภาพ $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ แทนความถี่เชิงมุม (เรเดียนต่อวินาที)

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

กระแสไฟฟ้า: กระแสไฟฟ้าในวงจร R-C แบบอนุกรมมีค่าเท่ากันทุกจุด

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

แรงดันไฟฟ้า: โดยใช้กฎการแบ่งแรงดัน แรงดันที่เกิดขึ้นบนตัวเก็บประจุมีค่าเป็น:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

และแรงดันที่เกิดขึ้นบนตัวต้านทานคือ:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

กระแสไฟฟ้าในวงจร RC

กระแสไฟฟ้าในวงจร R-C แบบอนุกรมมีค่าเท่ากันทุกจุด

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

ฟังก์ชันการถ่ายโอนของวงจร RC

ฟังก์ชันการถ่ายโอนจากแรงดันไฟฟ้าขาเข้าไปยังแรงดันไฟฟ้าที่ขวางตัวเก็บประจุคือ

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันการถ่ายโอนจากแรงดันไฟฟ้าขาเข้าไปยังแรงดันไฟฟ้าที่ขวางตัวต้านทานคือ

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

การตอบสนองแบบขั้นบันไดของวงจร RC

เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงในวงจร เช่น เมื่อสวิตช์ปิด แรงดันและกระแสไฟฟ้าจะเปลี่ยนแปลงและปรับตัวให้เข้ากับสภาพใหม่ หากการเปลี่ยนแปลงเป็นขั้นบันได การตอบสนองนี้เรียกว่าการตอบสนองแบบขั้นบันได

การตอบสนองรวมของวงจรเท่ากับการตอบสนองที่ถูกบังคับบวกกับการตอบสนองตามธรรมชาติ การตอบสนองเหล่านี้สามารถรวมกันได้โดยใช้หลักการซ้อนทับ

การตอบสนองที่ถูกบังคับคือกรณีที่แหล่งจ่ายพลังงานเปิดอยู่แต่สภาพเริ่มต้น (พลังงานที่เก็บไว้ภายใน) ถูกสมมติให้เป็นศูนย์

การตอบสนองตามธรรมชาติคือกรณีที่แหล่งจ่ายพลังงานปิดอยู่แต่วงจรยังคงรวมสภาพเริ่มต้น (แรงดันเริ่มต้นบนตัวเก็บประจุและกระแสในขดลวดเหนี่ยวนำ) การตอบสนองตามธรรมชาติยังเรียกว่าการตอบสนองแบบไม่มีอินพุตเนื่องจากแหล่งจ่ายพลังงานปิดอยู่

ดังนั้น การตอบสนองรวม = การตอบสนองที่ถูกบังคับ + การตอบสนองตามธรรมชาติ

สภาวะเริ่มต้นคืออะไร?

ในกรณีของขดลวดเหนี่ยวนำ กระแสผ่านขดลวดเหนี่ยวนำไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ทันที นั่นหมายความว่า กระแสผ่านขดลวดเหนี่ยวนำที่ช่วงเวลา $t=0^-$ จะยังคงเดิมทันทีหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ช่วงเวลา $t=0^+$ นั่นคือ,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

ในกรณีของตัวเก็บประจุ แรงดันไฟฟ้าที่ผ่านตัวเก็บประจุไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ทันที หมายความว่า แรงดันไฟฟ้าที่ผ่านตัวเก็บประจุที่ช่วงเวลา $t=0^-$ จะยังคงเหมือนเดิมหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ช่วงเวลา $t=0^+$ นั่นคือ

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

การตอบสนองบังคับของวงจร RC อนุกรมที่ถูกขับเคลื่อน

ให้เราสมมติว่าตัวเก็บประจุเริ่มต้นโดยไม่มีประจุและสวิตช์ (K) ถูกเปิดอยู่นานมากและปิดลงที่ $t=0$ .

Force Response Of Driven Series R C Circuit

ที่ $t=0^-$ สวิตช์ K เปิดอยู่

นี่คือเงื่อนไขเริ่มต้น ดังนั้นเราสามารถเขียนได้ว่า

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

เนื่องจากแรงดันข้ามคอนเดนเซอร์ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ทันที

สำหรับทุกๆ $t\geq0$ สวิตช์ K ปิดอยู่

ขณะนี้แหล่งกำเนิดแรงดันถูกนำเข้าสู่วงจร ดังนั้นการใช้กฎของเคิร์ชฮอฟฟ์สำหรับแรงดันในวงจร เราจะได้

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

ตอนนี้ i(t) คือกระแสผ่านตัวเก็บประจุ และสามารถแสดงในรูปของแรงดันที่ข้ามตัวเก็บประจุได้ว่า

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

แทนค่านี้ลงในสมการ (2) เราจะได้

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

แยกตัวแปร เราจะได้

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

ทำการอินทิเกรตทั้งสองข้าง

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

โดยที่ $K^'$ เป็นค่าคงที่ใดๆ

เพื่อหา $K'$ : โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น กล่าวคือ แทนสมการ (1) ลงในสมการ (3) เราจะได้

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

โดยแทนค่าของ K’ ในสมการ (3) เราจะได้

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_s - V_c (t)] - ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([ln[a] - ln[b] = ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

การถอดแอนติลอการิทึม เราจะได้

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

สมการดังกล่าวแสดงถึงผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งของวงจร R-C แบบอนุกรม

คำตอบข้างต้นเป็นการรวมกันของ คำตอบคงที่ คือ $V_S$

และคำตอบชั่วคราว คือ $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

การตอบสนองตามธรรมชาติของวงจร RC อนุกรมโดยไม่มีแหล่งจ่ายไฟ

การตอบสนองโดยไม่มีแหล่งจ่ายไฟคือการปล่อยประจุผ่านตัวต้านทานที่อยู่ในวงจรอนุกรมกับตัวเก็บประจุ

การตอบสนองตามธรรมชาติของวงจร RC อนุกรมที่ไม่มีแหล่งกำเนิด

สำหรับทั้งหมด $t>=0^+$ สวิตช์ K ถูกปิด

เมื่อใช้กฏการวนกระแส (KVL) กับวงจรดังกล่าว เราจะได้

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

แทนค่ากระแสในสมการ (6) เราจะได้

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

แยกตัวแปร เราจะได้

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

อินทิเกรตทั้งสองข้าง

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

เมื่อ $K^'$ เป็นค่าคงที่ใดๆ

เพื่อหา $K^'$ : โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น กล่าวคือ การแทนค่าสมการ (1) ลงในสมการ (7) เราจะได้

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

โดยแทนค่าของ $K^'$ ในสมการ (7) เราจะได้

$\begin{align*} ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] - ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

เมื่อทำการยกกำลังฐาน e แล้ว เราจะได้

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

สมการดังกล่าวบ่งบอกถึงการตอบสนองตามธรรมชาติของวงจร RC อนุกรม

ตอนนี้ การตอบสนองทั้งหมด = การตอบสนองที่ถูกบังคับ + การตอบสนองตามธรรมชาติ

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

โดยที่ $V_S$ เป็นแรงดันขั้นบันได

$V_0$ เป็นแรงดันเริ่มต้นบนคอนเดนเซอร์

ค่าคงที่เวลาของวงจร RC

ค่าคงที่เวลาของวงจร R-C สามารถกำหนดได้ว่าเป็นเวลาที่แรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุจะถึงค่าคงที่สุด

หนึ่งค่าคงที่เวลาคือเวลาที่จำเป็นในการให้แรงดันเพิ่มขึ้น 0.632 เท่าของค่าคงที่หรือเวลาที่จำเป็นในการให้กระแสลดลง 0.368 เท่าของค่าคงที่

ค่าคงที่เวลาของวงจร R-C คือผลคูณของความต้านทานและตัวเก็บประจุ

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

หน่วยของมันคือวินาที

การตอบสนองความถี่ของวงจร RC

โดยใช้วิธีการอิมพีแดนซ์: สมการทั่วไปสำหรับระบบการตอบสนองความถี่คือ

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

ตอนนี้ใช้กฎการแบ่งแรงดันกับวงจรดังกล่าว

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

ที่ไหน, $Z_C$ = อิมพีแดนซ์ของตัวเก็บประจุ

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

แทนค่านี้ในสมการ (10) เราจะได้,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

การตอบสนองด้านบนเป็นการตอบสนองความถี่ของวงจร R-C ในรูปแบบเชิงซ้อน

สมการอนุพันธ์ของวงจร RC

สมการอนุพันธ์ของวงจร RC ที่กำลังชาร์จ

แรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุมีค่าเท่ากับ

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

ขณะนี้กระแสไฟฟ้าผ่านตัวเก็บประจุกำหนดโดย

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

สมการเชิงอนุพันธ์วงจร RC ที่กำลังปล่อยประจุ

แรงดันข้ามตัวเก็บประจุมีค่าเท่ากับ

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

ขณะนี้กระแสผ่านตัวเก็บประจุมีค่าเท่ากับ

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

วงจร RC ในการชาร์จและปล่อยประจุ

วงจร RC ในการชาร์จ

รูปภาพแสดงวงจร R-C ที่ง่าย โดยมีตัวเก็บประจุ (C) อยู่ในอนุกรมกับตัวต้านทาน (R) ที่เชื่อมต่อกับแหล่งกำเนิดไฟฟ้ากระแสตรงผ่านสวิตช์กลไก (K) ตัวเก็บประจุเริ่มต้นไม่มีประจุ เมื่อสวิตช์ K ถูกปิด ตัวเก็บประจุจะค่อยๆ ชาร์จผ่านตัวต้านทานจนกว่าแรงดันที่ตัวเก็บประจุจะเท่ากับแรงดันของแหล่งกำเนิดไฟฟ้า ประจุบนแผ่นตัวเก็บประจุมีค่า Q = CV

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

จากสมการข้างต้น สามารถเห็นได้ว่าแรงดันที่ตัวเก็บประจุเพิ่มขึ้นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

โดยที่

$V_C$ คือแรงดันที่ตัวเก็บประจุ
$V$ คือแรงดันของแหล่งกำเนิดไฟฟ้า

RC คือค่าคงที่เวลาของวงจรชาร์จ R-C นั่นคือ $\tau = R C$

ให้เราแทนค่าเวลา t ที่แตกต่างกันในสมการ (11) และ (12) เราจะได้แรงดันชาร์จของคอนเดนเซอร์ คือ

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

และกระแสชาร์จของคอนเดนเซอร์

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

การเปลี่ยนแปลงของแรงดันไฟฟ้าที่เกิดขึ้นในตัวเก็บประจุ $V_C(t)$ และกระแสไฟฟ้าผ่านตัวเก็บประจุ $i(t)$ ตามเวลาแสดงในรูปภาพ

ดังนั้นในวงจรชาร์จ R-C ถ้าแรงดันไฟฟ้าที่เกิดขึ้นในตัวเก็บประจุเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลัง กระแสไฟฟ้าผ่านตัวเก็บประจุจะลดลงแบบเลขชี้กำลังในอัตราเดียวกัน เมื่อแรงดันไฟฟ้าที่เกิดขึ้นในตัวเก็บประจุเข้าสู่ค่าคงที่ กระแสไฟฟ้าจะลดลงเป็นศูนย์

วงจรปล่อยประจุ R-C

หากตัวเก็บประจุที่ชาร์จเต็มแล้วถูกตัดออกจากแหล่งจ่ายไฟแบตเตอรี่ พลังงานที่สะสมอยู่ในตัวเก็บประจุระหว่างกระบวนการชาร์จจะคงอยู่บนแผ่นของตัวเก็บประจุอย่างไม่มีกำหนด ทำให้แรงดันที่เก็บไว้ที่ปลายของตัวเก็บประจุมีค่าคงที่

หากแบตเตอรี่ถูกแทนที่ด้วยวงจรป้อนตรงและเมื่อสวิตช์ถูกปิด ตัวเก็บประจุจะปล่อยประจุผ่านตัวต้านทาน ตอนนี้เรามีวงจรที่เรียกว่าวงจรปล่อยประจุ R-C

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

จากสมการดังกล่าว สามารถเห็นได้ว่าแรงดันของคอนเดนเซอร์ลดลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล หมายความว่าในวงจร R-C ที่กำลังปล่อยประจุ คอนเดนเซอร์จะปล่อยประจุผ่านตัวต้านทาน R ที่อยู่อนุกรมกับมัน ขณะนี้ค่าคงที่เวลาของวงจรชาร์จ R-C และวงจรปล่อยประจุ R-C เหมือนกันและเท่ากับ

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

หากเราแทนค่าต่างๆ ของเวลา t ในสมการ (13) และ (14) เราจะได้แรงดันในการปล่อยประจุของคอนเดนเซอร์ คือ

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

ความแปรผันของแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุ $V_C(t)$ ในฐานะฟังก์ชันของเวลาแสดงไว้ในรูป

ดังนั้นในวงจรปล่อยประจุ R-C เช่นเดียวกัน หากแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุลดลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล กระแสไฟฟ้าผ่านตัวเก็บประจุจะเพิ่มขึ้นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลในอัตราที่เท่ากัน เมื่อแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุเข้าสู่ศูนย์ กระแสไฟฟ้าจะถึงค่าคงที่

คำชี้แจง: ให้เกียรติกับต้นฉบับ บทความดีๆ ที่ควรค่าแก่การเผยแพร่ หากมีการละเมิดกรุณาติดต่อเพื่อลบ

ให้ทิปและสนับสนุนผู้เขียน

หัวข้อ:

ทฤษฎีวงจร

วงจร RLC

เกี่ยวกับผู้เชี่ยวชาญ

Electrical4u

China