تحلیل مدار RC: سری، موازی، معادلات و تابع انتقال

Electrical4u

فیلد: مقدماتی برق

China

چیست که مدار RC است؟

مدار RC (که همچنین به عنوان فیلتر RC یا شبکه RC نیز شناخته می‌شود) به معنای مدار مقاومت-خازن است. مدار RC به عنوان یک مدار الکتریکی تعریف می‌شود که از اجزای مدار غیرفعال شامل یک مقاومت (R) و یک خازن (C) تشکیل شده و توسط یک منبع ولتاژ یا منبع جریان مورد نیرو قرار می‌گیرد.

به دلیل وجود مقاومت در شکل ایده‌آل مدار، مدار RC انرژی خواهد مصرف کرد، مشابه با یک مدار RL یا مدار RLC.

این مورد برخلاف شکل ایده‌آل یک مدار LC است که به دلیل عدم وجود مقاومت، انرژی مصرف نمی‌کند. اگرچه این فقط در شکل ایده‌آل مدار است و در عمل، حتی یک مدار LC نیز به دلیل مقاومت غیرصفری اجزا و سیم‌های اتصال، انرژی مصرف می‌کند.

مدار RC سری

در مدار سری RC، مقاومت خالص دارای مقاومت R به اهم و خازن خالص با ظرفیت C به فاراد در سری متصل شده‌اند.

در اینجا $I$ مقدار RMS جریان در مدار است.

$V_R$ ولتاژ روی مقاومت R است.

$V_C$ ولتاژ روی خازن C است.

$V$ مقدار RMS ولتاژ تغذیه است.

شکل نمودار برداری مدار سری RC را نشان می‌دهد.

چون در مدار سری جریان $'I'$ یکسان است، پس به عنوان مرجع در نظر گرفته می‌شود.

$V_R = IR$ در فاز با جریان $'I'$ رسم می‌شود چون در مقاومت خالص ولتاژ و جریان هم‌فاز هستند.

$V_C=I X_C$ با تأخیر نسبت به جریان $'I'$ با زاویه $90^0$ رسم می‌شود زیرا در یک خازن خالص ولتاژ و جریان $90^0$ از هم جدا هستند یعنی ولتاژ با تأخیر $90^0$ نسبت به جریان یا جریان با پیشیگیری $90^0$ نسبت به ولتاژ.

اکنون $V$ مجموع برداری از $V_R$ و $V_C$ است.

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

مقاومت الکتریکی یک مدار سری R-Cایمپدانس است

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

مثلث ولتاژ و ایمپدانس در شکل نشان داده شده است.

همانطور که مشاهده می‌شود، بردار $V$ با زاویه ø پشت سر بردار $I$ قرار دارد که:

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

بنابراین در مدار سری RC، جریان $'I'$ از ولتاژ تغذیه $'V'$ با زاویه‌ای

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

نمودارهای ولتاژ و جریان مدار سری R-C در شکل نشان داده شده است.

توان در مدار سری RC

مقدار لحظه‌ای توان محصول مقدار لحظه‌ای ولتاژ و جریان است.

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [جایی که، \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, چون \,\, منحنی \,\, cos \,\, متقارن است] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

بنابراین قدرت لحظه‌ای از دو بخش تشکیل شده است.

۱. یک بخش ثابت = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

۲. یک بخش متغیر = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ که با فرکانس دو برابر تغییر می‌کند.

مقدار متوسط بخش متغیر قدرت در طول یک دور کامل صفر است.

بنابراین مقدار متوسط قدرت مصرفی در یک مدار سری RC در طول یک دور

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

که در آن $V$ و $I$ مقادیر RMS ولتاژ و جریان اعمال شده در مدار هستند.

عامل توان در مدار سری RC

به نمودار زیر که مثلث‌های توان و امپدانس را نشان می‌دهد، توجه کنید.

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (factor \,\, e tavano) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (tavano \,\, fa'ali)\,\,} {S \,\, (tavano \,\, shakhsi)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

مدار موازی RC

در مدار موازی R-C مقاومت خالص دارای مقاومت $R$ در اهم و کندانسور خالص با ظرفیت کندانسور ظرفیت $C$ در فاراد به صورت موازی متصل شده‌اند.

در مدار موازی RC، پرتنهای ولتاژ یکسان هستند؛ بنابراین ولتاژ اعمال شده برابر با ولتاژ روی مقاومت و ولتاژ روی کندانسور است. جریان در مدار موازی R-C مجموع جریان‌های عبوری از مقاومت و کندانسور است.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

برای مقاومت، جریان عبوری از آن با قانون اهم تعیین می‌شود:قانون اهم:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

رابطه ولتاژ-جریان برای خازن به صورت زیر است:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

با استفاده از قانون جریان کیرشهف (KCL) در مدار موازی R-C

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

معادله بالا معادله دیفرانسیل مرتبه اول مدار RC است.

تابع تبدیل مدار RC موازی:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

معادلات مدار RC

خازن C در حوزه فرکانس به عنوان $\frac {1} {sC}$ رفتار می‌کند که با منبع ولتاژ $\frac {vC(0^-)} {s}$ سری شده است، که در آن $vC (0^-)$ ولتاژ اولیه روی خازن است.

اندازه‌گیری مختلط: امپدانس مختلط $Z_C$ یک کندانسور C به صورت زیر است

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ نشان‌دهنده بخش موهومی است $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ نشان‌دهنده فرکانس زاویه‌ای سینوسی (رادیان بر ثانیه) است

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

جریان: جریان در مدار سری R-C همه جا یکسان است.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

ولتاژ: با استفاده از قاعده تقسیم ولتاژ، ولتاژ روی خازن به صورت زیر است:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

و ولتاژ روی مقاومت به صورت زیر است:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

جریان مدار RC

جریان در مدار سری R-C همه جا یکسان است.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

تابع انتقالی مدار RC

تابع انتقالی از ولتاژ ورودی به ولتاژ روی خازن عبارت است از

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

به طور مشابه، تابع انتقالی از ولتاژ ورودی به ولتاژ روی مقاومت عبارت است از

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

پاسخ پله‌ای مدار RC

وقتی در یک مدار تغییری رخ می‌دهد، مانند بسته شدن یک کلید، ولتاژ و جریان نیز تغییر می‌کنند و به شرایط جدید تنظیم می‌شوند. اگر تغییر به صورت یک پله ناگهانی باشد، پاسخ به آن پاسخ پله‌ای نامیده می‌شود.

پاسخ کلی مدار برابر با مجموع پاسخ اجباری و پاسخ طبیعی است. این پاسخ‌ها را می‌توان با استفاده از اصل برهم‌نهی ترکیب کرد.

پاسخ اجباری آن حالت است که منبع تغذیه روشن است اما شرایط اولیه (انرژی ذخیره شده داخلی) صفر فرض می‌شود.

پاسخ طبیعی آن حالت است که منبع تغذیه خاموش است اما مدار شامل شرایط اولیه (ولتاژ اولیه روی خازن‌ها و جریان در سلف‌ها) است. پاسخ طبیعی همچنین به عنوان پاسخ بدون ورودی نامیده می‌شود زیرا منبع تغذیه خاموش است.

بنابراین، پاسخ کلی = پاسخ اجباری + پاسخ طبیعی

شرایط اولیه چیست؟

در مورد یک سلف، جریان از آن نمی‌تواند به طور ناگهانی تغییر کند. این بدان معناست که جریان از سلف در لحظه $t=0^-$ در لحظه بعدی یعنی $t=0^+$ ثابت می‌ماند. یعنی،

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

در مورد خازن، ولتاژ روی خازن نمی‌تواند به طور فوری تغییر کند. این بدان معناست که ولتاژ روی خازن در لحظه $t=0^-$ پس از گذشت زمان در لحظه $t=0^+$ همان خواهد بود. یعنی

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

پاسخ اجباری مدار RC سری با تحریک

بیایید فرض کنیم که خازن ابتدا به طور کامل خالی شده و کلید (K) برای مدت طولانی باز است و در زمان $t=0$ بسته می‌شود.

Force Response Of Driven Series R C Circuit

در زمان $t=0^-$ کلید K باز است

این یک شرط اولیه است، بنابراین می‌توانیم بنویسیم،

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

چون ولتاژ روی خازن نمی‌تواند به طور فوری تغییر کند.

برای تمام $t\geq0$ کلید K بسته است.

حالا منبع ولتاژ در مدار معرفی شده است. بنابراین با استفاده از قانون ولتاژ کیرشهف (KVL) برای مدار، داریم،

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(۲)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

حالا i(t) جریان کندانسور است و می‌توان آن را به صورت ولتاژ روی کندانسور بیان کرد

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

با قرار دادن این عبارت در معادله (۲)، بدست می‌آید،

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

متغیرها را جدا کرده و داریم

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

هر دو طرف را ادغام می‌کنیم

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

که در آن $K^'$ ثابت دلخواه است

برای پیدا کردن $K'$ : با استفاده از شرایط اولیه یعنی جایگذاری معادله (۱) در معادله (۳)، داریم،

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(۴)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

با جایگذاری مقدار K’ در معادله (۳) داریم،

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_s - V_c (t)] - \ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([\ln[a] - \ln[b] = \ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

با گرفتن آنتی‌لاگ، داریم:

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(۵)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

معادله فوق نشان‌دهنده حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول مدار سری R-C است.

پاسخ فوق ترکیبی از پاسخ حالت ماندگار یعنی $V_S$

و پاسخ گذرا یعنی $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

پاسخ طبیعی مدار سری RC بدون منبع

پاسخ بدون منبع، رها شدن کندانسور از طریق مقاومتی است که در سری با آن قرار دارد.

برای همه $t>=0^+$ سوئیچ K بسته است

با اعمال قانون ولتاژ کیرشهف (KVL) به مدار بالا، داریم،

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(۶)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

با جایگزینی این مقدار جریان در معادله (۶)، داریم،

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

متغیرها را جدا کرده و داریم

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

هر دو طرف را ادغام می‌کنیم

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(۷)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

جایی که $K^'$ ثابت دلخواه است

برای یافتن $K^'$ : با استفاده از شرایط اولیه یعنی جایگذاری معادله (۱) در معادله (۷)، خواهیم داشت،

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(۸)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

با جایگذاری مقدار $K^'$ در معادله (۷) خواهیم داشت،

$\begin{align*} \ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + \ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_c (t)] - \ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

با گرفتن لگاریتم معکوس، داریم،

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(۹)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

معادله فوق نشان‌دهنده پاسخ طبیعی مدار RC سری است.

حالا، پاسخ کلی = پاسخ اجباری + پاسخ طبیعی

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

که در آن، $V_S$ ولتاژ پله است.

$V_0$ ولتاژ اولیه روی خازن است.

ثابت زمانی مدار RC

ثابت زمانی یک مدار R-C را می‌توان به عنوان زمانی تعریف کرد که در آن ولتاژ روی خازن به مقدار پایدار نهایی خود می‌رسد.

یک ثابت زمانی زمان مورد نیاز برای افزایش ولتاژ به ۰٫۶۳۲ برابر مقدار پایدار یا زمان مورد نیاز برای کاهش جریان به ۰٫۳۶۸ برابر مقدار پایدار است.

ثابت زمانی مدار R-C حاصل ضرب مقاومت و ظرفیت است.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

واحد آن ثانیه است.

پاسخ فرکانسی مدار RC

با استفاده از روش امپدانس: معادله عمومی برای سیستم پاسخ فرکانسی

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

حالا قاعده تقسیم‌کننده پتانسیل را به مدار بالا اعمال کنید

(۱۰)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

که در آن، $Z_C$ = مقاومت الکتریکی خازن

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

این را در معادله (۱۰) جایگزین کنید، بدست می‌آوریم،

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

پاسخ بالا پاسخ فرکانسی یک مدار RC در فرم مختلط است.

معادله دیفرانسیل مدار RC

معادله دیفرانسیل مدار شارژ RC

ولتاژ روی خازن به صورت زیر محاسبه می‌شود

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

اکنون جریان از طریق خازن به صورت زیر تعیین می‌شود

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(۱۲)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

معادله دیفرانسیل مدار RC خاموش‌شونده

ولتاژ روی کندانسور به صورت زیر است

(۱۳)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

اکنون جریان از طریق کندانسور به صورت زیر است

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(۱۴)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

مدار RC در حالت شارژ و دیشارژ

شارژ مدار RC

شکل مدار ساده RC را نشان می‌دهد که در آن خازن (C) به صورت سری با مقاومت (R) وصل شده است و از طریق یک کلید مکانیکی (K) به منبع ولتاژ DC متصل می‌شود. خازن ابتدا بدون بار است. وقتی کلید K بسته می‌شود، خازن از طریق مقاومت تدریجاً شارژ می‌شود تا زمانی که ولتاژ روی خازن با ولتاژ منبع برابر شود. بار روی صفحات خازن به صورت Q = CV محاسبه می‌شود.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

از معادله بالا مشخص است که ولتاژ خازن به صورت نمایی افزایش می‌یابد.

که در آن،

$V_C$ ولتاژ روی خازن است
$V$ ولتاژ منبع است.

RC ثابت زمانی مدار شارژ RC است. یعنی $\tau = R C$

بیایید مقادیر مختلف زمان t را در معادلات (۱۱) و (۱۲) جایگزین کنیم، ولتژ شارژ خازن به دست می‌آید، یعنی

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

و جریان شارژ خازن

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

تغییر ولتاژ روی خازن $V_C(t)$ و جریان از طریق خازن $i(t)$ به عنوان تابع زمان در شکل نشان داده شده است.

بنابراین در مدار RC شارژ، اگر ولتاژ روی خازن به صورت نمایی افزایش یابد، جریان از طریق خازن با همان نرخ به صورت نمایی کاهش می‌یابد. وقتی ولتاژ روی خازن به مقدار حالت پایدار برسد، جریان به صفر می‌رسد.

مدار RC خالی‌سازی

اگر خازن کاملاً شارژ شده از ولتاژ منبع باتری جدا شود، انرژی ذخیره شده در خازن در طول فرآیند شارژ، به طور دائمی روی صفحات آن باقی خواهد ماند و ولتاژ ذخیره شده در دو سر خازن به مقدار ثابت خواهد بود.

حال اگر باتری با یک مدار کوتاه شونده جایگزین شود و قطبک بسته شود، خازن از طریق مقاومت خالی می‌شود و حالا ما یک مدار RC خالی‌سازی داریم.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

از معادله فوق مشخص است که ولتاژ خازن به صورت نمایی کاهش می‌یابد. این بدان معناست که در مدار خروجی R-C، خازن از طریق مقاومت R سری به آن خارج می‌شود. حال زمان ثابت مدار شارژ R-C و مدار خروجی R-C یکسان است و عبارت است از

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

با جایگذاری مقادیر مختلف زمان t در معادلات (13) و (14)، ولتاژ خروجی خازن به دست می‌آید، یعنی

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

تغییر ولتاژ در اطراف خازن $V_C(t)$ به عنوان تابع زمان در شکل نشان داده شده است.

بنابراین در مدار رها کردن R-C، به طور مشابه اگر ولتاژ در اطراف خازن به صورت نمایی کاهش یابد، جریان از طریق خازن با همان نرخ به صورت نمایی افزایش می‌یابد. وقتی ولتاژ در اطراف خازن به صفر می‌رسد، جریان به یک مقدار ثابت می‌رسد.

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوبی که سرزنش شدنی هستند، اگر نقض حق نشر وجود دارد لطفاً تماس بگیرید و حذف کنید.

هدیه دادن و تشویق نویسنده

موضوعات:

نظریه مدار

مدار RLC

درباره متخصصان

Electrical4u

China