Analiza obwodów RC: szeregowe równoległe równania i funkcja przenoszenia

Electrical4u

Pole: Podstawowe Elektryka

China

Co to jest obwód RC?

Obwód RC (znany również jako filtr RC lub sieć RC) oznacza obwód rezystor-kondensator. Obwód RC definiuje się jako obwód elektryczny złożony z pasywnych elementów obwodowych takich jak rezystor (R) i kondensator (C), napędzany przez źródło napięcia lub źródło prądu.

W wyniku obecności rezystora w idealnej formie obwodu, obwód RC będzie zużywał energię, podobnie jak obwód RL lub obwód RLC.

To różni się od idealnej formy obwodu LC, który nie będzie zużywał energii ze względu na brak rezystora. Chociaż to dotyczy tylko idealnej formy obwodu, a w praktyce nawet obwód LC będzie zużywał pewną ilość energii ze względu na niezerową oporność elementów i połączeń przewodowych.

Serijowy obwód RC

W obwodzie szeregowym RC czysty opornik o oporności R w ohmach i czysty kondensator o pojemności C w faradach są połączone szeregowo.

Gdzie $I$ jest wartością skuteczna prądu w obwodzie.

$V_R$ to napięcie na oporniku R.

$V_C$ to napięcie na kondensatorze C.

$V$ to wartość skuteczna napięcia zasilającego.

Rysunek przedstawia diagram wektorowy szeregowego obwodu RC.

Ponieważ w obwodzie szeregowym prąd $'I'$ jest taki sam, więc jest brany jako odniesienie.

$V_R = IR$ jest narysowane w fazie z prądem $'I'$ ponieważ w czystym rezystorze napięcie i prąd są w fazie ze sobą.

$V_C=I X_C$ jest narysowane z opóźnieniem względem prądu $'I'$ o $90^0$ ponieważ w czystym kondensatorze napięcie i prąd są przesunięte o $90^0$ względem siebie, tzn. napięcie opóźnia się względem prądu o $90^0$ lub prąd wyprzedza napięcie o $90^0$ .

Teraz $V$ jest wektorową sumą $V_R$ i $V_C$ .

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

Impedancja obwodu szeregowego R-C to

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, gdzie, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

Napięcie i trójkąt impedancji są przedstawione na rysunku.

Jak widać, wektor $V$ opóźnia się względem $I$ o kąt ø, gdzie

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

W obwodzie szeregowym R-C prąd $'I'$ wyprzedza napięcie zasilające $'V'$ o kąt

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

Napędy i prądy w obwodzie szeregowym R-C są przedstawione na rysunku.

Moc w obwodzie szeregowym RC

Natychmiastowa wartość mocy jest iloczynem natychmiastowych wartości napięcia i prądu.

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [gdzie, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, ponieważ \,\, krzywa \,\, cosinusa \,\, jest \,\, symetryczna] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

W ten sposób natychmiastowa moc składa się z dwóch części.

1. Stała część = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. Zmieniająca się składowa = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ która zmienia się z dwukrotną częstotliwością zasilania.

Średnia wartość zmieniającej się składowej mocy w ciągu pełnego cyklu wynosi zero.

W związku z tym średnia moc pobierana w obwodzie szeregowym RC w ciągu jednego cyklu wynosi

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

Gdzie $V$ i $I$ są wartościami skutecznych napięcia i prądu zastosowanych w obwodzie.

Współczynnik mocy w szeregowym obwodzie RC

Rozważmy rysunek pokazujący trójkąty mocy i impedancji.

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (power \,\, factor) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (active \,\, power)\,\,} {S \,\, (apparent \,\, power)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

Równoległy obwód RC

W obwodzie równoległym R-C czysty rezystor o rezystancji $R$ w omach i czysty kondensator o pojemności $C$ w faradach połączone są równolegle.

Spadki napięcia w obwodzie równoległym RC są takie same, dlatego napięcie przyłożone jest równe napięciu na rezystorze i napięciu na kondensatorze. Prąd w obwodzie równoległym R-C jest sumą prądu płynącego przez rezystor i prądu płynącego przez kondensator.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

Dla opornika prąd przez niego jest określony przez prawo Ohma:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

Związek między napięciem a prądem dla kondensatora to:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

Stosując Prawo Kirchhoffa dla prądów (Prawo KCL) do równoległego obwodu RC

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

Powyższe równanie to równanie różniczkowe pierwszego rzędu obwodu RC.

Funkcja przekazu obwodu RC równoległego:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

Równania obwodu RC

Kondensator C zachowuje się jako $\frac {1} {sC}$ w dziedzinie częstotliwości z źródłem napięcia $\frac {vC(0^-)} {s}$ połączonym szeregowo, gdzie $vC (0^-)$ jest początkowym napięciem na kondensatorze.

Impedancja: Złożona impedancja $Z_C$ kondensatora C wynosi

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ oznacza część urojoną $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ oznacza sinusoidalną częstotliwość kątową (radiany na sekundę)

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

Prąd: Prąd jest taki sam w każdym miejscu w szeregowym obwodzie RC.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Napięcie: Stosując regułę dzielnika napięcia, napięcie na kondensatorze wynosi:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

a napięcie na oporniku wynosi:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

Prąd w obwodzie RC

Prąd jest taki sam w każdym miejscu w szeregowym obwodzie RC.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Funkcja przekazująca obwodu RC

Funkcja przekazująca od napięcia wejściowego do napięcia na kondensatorze wynosi

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

Podobnie funkcja przekazująca od napięcia wejściowego do napięcia na rezystorze wynosi

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

Odpowiedź skokowa obwodu RC

Gdy coś zmienia się w obwodzie, na przykład zamknięcie przełącznika, napięcie i prąd również zmieniają się i dostosowują do nowych warunków. Jeśli zmiana jest nagłym skokiem, odpowiedź nazywana jest odpowiedzią skokową.

Całkowita odpowiedź obwodu jest równa sumie odpowiedzi wymuszonej i naturalnej. Te odpowiedzi mogą być połączone zgodnie z zasadą superpozycji.

Odpowiedź wymuszona to sytuacja, w której źródło zasilania jest włączone, ale założono, że warunki początkowe (wewnętrznie przechowywana energia) są równe zero.

Odpowiedź naturalna to sytuacja, w której źródło zasilania jest wyłączone, ale obwód uwzględnia warunki początkowe (początkowe napięcie kondensatorów i prąd w cewkach). Odpowiedź naturalna nazywana jest również odpowiedzią bez wejścia, ponieważ źródło zasilania jest wyłączone.

Zatem, całkowita odpowiedź = odpowiedź wymuszona + odpowiedź naturalna

Co to jest warunek początkowy?

W przypadku cewki, prąd przez nią nie może zmienić się natychmiast. To oznacza, że prąd przez cewkę w chwili $t=0^-$ pozostanie taki sam bezpośrednio po przejściu w chwili $t=0^+$ . Innymi słowy,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

W przypadku kondensatora napięcie na kondensatorze nie może być zmienione natychmiast. To oznacza, że napięcie na kondensatorze w chwili $t=0^-$ pozostanie takie samo zaraz po przejściu w chwili $t=0^+$ . Czyli,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

Przymusowa odpowiedź napędzanego szeregowego obwodu RC

Zakładamy, że kondensator jest początkowo całkowicie rozładowany i przełącznik (K) jest otwarty przez bardzo długi czas, a następnie zamykany w chwili $t=0$ .

Odpowiedź przymusowa napędzanego szeregowego obwodu RC

W $t=0^-$ przycisk K jest otwarty

To jest warunek początkowy, zatem możemy zapisać

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

Ponieważ napięcie na kondensatorze nie może zmienić się natychmiast.

Dla wszystkich $t\geq0$ przycisk K jest zamknięty.

Teraz wprowadzamy źródło napięcia do obwodu. Stosując prawo Kirchhoffa dla napięć w obwodzie, otrzymujemy

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

Teraz i(t) to prąd przepływający przez kondensator, który można wyrazić w zależności od napięcia na kondensatorze jako

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

Podstawiając to do równania (2), otrzymujemy,

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

Rozdzielając zmienne, otrzymujemy

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

Całkując obie strony

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

gdzie $K^'$ jest stałą dowolną

Aby znaleźć $K'$ : Używając warunku początkowego, czyli podstawiając równanie (1) do równania (3), otrzymujemy,

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

Podstawiając wartość K’ do równania (3) otrzymujemy,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_s - V_c (t)] - \ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([\ln[a] - \ln[b] = \ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Biorąc antylogarytm, otrzymujemy,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

Powyższe równanie wskazuje rozwiązanie pierwszego rzędu równania różniczkowego obwodu szeregowego R-C.

Powyższa odpowiedź jest kombinacją odpowiedzi ustalonej tj. $V_S$

i odpowiedzi przejściowej tj. $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

Odpowiedź naturalna obwodu RC bez źródła

Odpowiedź bez źródła to rozładowanie kondensatora poprzez rezystor połączony z nim w szeregu.

Naturalna odpowiedź bezźródłowego szeregowego obwodu RC

Dla wszystkich $t>=0^+$ przełącznik K jest zamknięty

Stosując Prawo Kirchhoffa do napięć do powyższego obwodu, otrzymujemy,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

Podstawiając tę wartość prądu do równania (6), otrzymujemy,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

Rozdzielając zmienne, otrzymujemy

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

Całkując obie strony

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

Gdzie $K^'$ jest dowolną stałą

Aby znaleźć $K^'$ : Używając warunku początkowego, czyli podstawiając równanie (1) do równania (7), otrzymujemy,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

Podstawiając wartość $K^'$ do równania (7) otrzymujemy,

$\begin{align*} ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] - ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Biorąc antilogarytm, otrzymujemy,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

Powyższe równanie wskazuje naturalną odpowiedź szeregowego obwodu RC.

Teraz, całkowita odpowiedź = wymuszona odpowiedź + naturalna odpowiedź

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

Gdzie, $V_S$ jest napięciem skokowym.

$V_0$ jest początkowym napięciem na kondensatorze.

Stała czasowa obwodu RC

Stałą czasową obwodu R-C można zdefiniować jako czas, podczas którego napięcie na kondensatorze osiąga swoją końcową wartość ustaloną.

Jedna stała czasowa to czas potrzebny, aby napięcie wzrosło do 0,632 razy wartości ustalonej lub czas potrzebny, aby prąd spadł do 0,368 razy wartości ustalonej.

Stała czasowa obwodu R-C jest iloczynem oporu i pojemności.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Jednostką jest sekunda.

Odpowiedź częstotliwościowa obwodu RC

Używając metody impedancji: Ogólnym równaniem dla odpowiedzi częstotliwościowej systemu jest

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

Teraz zastosujmy regułę podziału napięcia do powyższego obwodu

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

Gdzie, $Z_C$ = impedancja kondensatora

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

Podstawiając to do równania (10), otrzymujemy:

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

Powyższa odpowiedź jest reakcją częstotliwościową obwodu RC w formie zespolonej.

Równanie różniczkowe obwodu RC

Równanie różniczkowe obwodu ładowania RC

Napięcie na kondensatorze jest dane przez

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Prąd przez kondensator jest określony jako

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Równanie różniczkowe obwodu rozładowującego RC

Napięcie na kondensatorze jest dane przez

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Prąd przez kondensator jest dany przez

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Ładowanie i rozładowywanie obwodu RC

Ładowanie obwodu RC

Rysunek przedstawia prosty obwód RC, w którym kondensator (C) połączony jest szeregowo z opornikiem (R) i podłączony do źródła napięcia DC poprzez mechaniczny przełącznik (K). Kondensator początkowo jest rozładowany. Gdy przełącznik K zostanie zamknięty, kondensator będzie stopniowo nabierał ładunku przez opornik, aż do momentu, gdy napięcie na kondensatorze stanie się równe napięciu źródła. Ładunek na płytach kondensatora wyraża się wzorem Q = CV.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

Z powyższego równania wynika, że napięcie na kondensatorze rośnie wykładniczo.

Gdzie,

$V_C$ jest napięciem na kondensatorze
$V$ jest napięciem zasilającym.

RC to stała czasowa obwodu ładowania RC. tzn. $\tau = R C$

Podstawiając różne wartości czasu t do równań (11) i (12), otrzymujemy napięcie ładowania kondensatora, czyli

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

oraz prąd ładowania kondensatora

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

Wariacja napięcia na kondensatorze $V_C(t)$ i prąd przez kondensator $i(t)$ jako funkcja czasu jest przedstawiona na wykresie.

Zatem w obwodzie ładowania RC, jeśli napięcie na kondensatorze rośnie wykładniczo, prąd przez kondensator maleje wykładniczo z tą samą szybkością. Gdy napięcie na kondensatorze osiąga wartość ustaloną, prąd spada do wartości zerowej.

Obwód RC rozładowujący

Jeśli całkowicie naładowany kondensator zostanie teraz odłączony od napięcia zasilającego baterii, energia zgromadzona w kondensatorze podczas procesu ładowania pozostałaby na jego płytach na stałe, utrzymując napięcie na jego zaciskach na stałym poziomie.

Teraz, jeśli bateria zostanie zastąpiona krótkim zwarczem, a przełącznik zamknięty, kondensator będzie się rozładowywał przez rezystor, tworząc obwód zwany obwodem rozładowującym RC.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

Z powyższego równania wynika, że napięcie kondensatora maleje wykładniczo. To oznacza, że w obwodzie wypływowym R-C, kondensator wypływa przez rezystor R połączony z nim szeregowo. Stała czasowa obwodu ładowania R-C i obwodu wypływowego R-C jest taka sama i wynosi

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Podstawiając różne wartości czasu t do równania (13) i (14), otrzymujemy napięcie wypływowe kondensatora, tj.

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

Wariacja napięcia na kondensatorze $V_C(t)$ w funkcji czasu przedstawiona jest na poniższym wykresie.

W obwodzie rozładowania RC, podobnie jak napięcie na kondensatorze maleje wykładniczo, prąd przez kondensator rośnie wykładniczo z tą samą szybkością. Gdy napięcie na kondensatorze osiąga wartość zero, prąd osiąga stałą wartość ustaloną.

Oświadczenie: Szanuj oryginał, dobre artykuły są wart udostępniania, w przypadku naruszenia praw autorskich prosimy o kontakt w celu usunięcia.

Daj napiwek i zachęć autora

Tematy:

Teoria obwodów

Obwód RLC

O ekspertach

Electrical4u

China