RC సర్క్యూట్ విశ్లేషణ: శ్రేణి, సమాంతర, సమీకరణాలు & ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్

Electrical4u

ఫీల్డ్: ప్రాథమిక విద్యుత్‌కళా శాస్త్రం

China

RC సర్క్యూట్ ఏంటి?

RC సర్క్యూట్ (ఇది RC ఫిల్టర్ లేదా RC నెట్వర్క్ గా కూడా పిలువబడుతుంది) రిజిస్టర్-కాపాసిటర్ సర్క్యూట్ అని అర్థం. RC సర్క్యూట్ అనేది విద్యుత్ సర్క్యూట్ అని నిర్వచించబడుతుంది, ఇది పాసివ్ సర్క్యూట్ ఘటకాలను అధీనంలో ఉంటుంది, ఒక రిజిస్టర్ (R) మరియు కాపాసిటర్ (C), ఒక వోల్టేజ్ సోర్స్ లేదా కరెంట్ సోర్స్ ద్వారా ప్రవృత్తి చేయబడుతుంది.

ఒక రిజిస్టర్ యొక్క ఉపస్థితి వల్ల, ఆదర్శ రూపంలో ఒక RC సర్క్యూట్ శక్తిని ఉపభోగిస్తుంది, ఇది RL సర్క్యూట్ లేదా RLC సర్క్యూట్ అని సారూప్యత కలిగి ఉంటుంది.

ఈ విధంగా కాదు, ఒక ఆదర్శ రూపంలో ఒక LC సర్క్యూట్ రిజిస్టర్ లేకుండా శక్తిని ఉపభోగించదు. ఇది కేవలం ఆదర్శ రూపంలోనే ఉంటుంది, మరియు వాస్తవంలో, LC సర్క్యూట్ కూడా కాంపోనెంట్ల మరియు కనెక్టింగ్ వైర్స్ యొక్క శూన్యంకం కాని రిజిస్టన్స్ వల్ల కొన్ని శక్తిని ఉపభోగిస్తుంది.

శ్రేణిక RC సర్క్యూట్

RC శ్రేణి పరమ్పరలో, ఒక శుద్ధ రెసిస్టర్ విరోధం R (ఓహ్మ్లలో) మరియు శుద్ధ కెప్ఏసిటర్ C (ఫారాడ్లలో) శ్రేణిలో కనెక్ట్ చేయబడతాయి.

ఇక్కడ $I$ అనేది పరమ్పరలోని విద్యుత్ ప్రవాహం యొక్క RMS విలువ.

$V_R$ అనేది రెసిస్టర్ R యొక్క వోల్టేజ్.

$V_C$ అనేది కెప్ఏసిటర్ C యొక్క వోల్టేజ్.

$V$ అనేది సరఫరా వోల్టేజ్ యొక్క RMS విలువ.

చిత్రంలో శ్రేణి RC పరమ్పరకు వెక్టర్ డయాగ్రమ్ చూపబడింది.

శృంఖల సర్కిట్లో కరెంట్ $'I'$ ఒక్కటిగా ఉంటుంది, కాబట్టి దానిని ప్రత్యక్షంగా తీసుకురావబడుతుంది.

$V_R = IR$ కరెంట్ $'I'$ వద్ద ఒక్కటిగా గీయబడుతుంది, ఎందుకంటే శుద్ధ రెజిస్టర్లో వోల్టేజ్ మరియు కరెంట్ ఒక్కటిగా ఉంటాయ.

$V_C=I X_C$ కరెంట్‌తో వైలగా గీయబడుతుంది $'I'$ ద్వారా $90^0$ ఎందుకనగా శుద్ధ కాపాసిటర్‌లో వోల్టేజ్‌ మరియు కరెంట్‌ వాటి మధ్యలో ఉంటాయ కాపాసిటర్ వోల్టేజ్‌ మరియు కరెంట్‌ వాటి మధ్యలో ఉంటాయ $90^0$ అంటే వోల్టేజ్‌ కరెంట్‌తో వైలగా ఉంటుంది $90^0$ లేదా కరెంట్‌ వోల్టేజ్‌ను అధికారం వహిస్తుంది $90^0$ .

ఇప్పుడు $V$ అనేది $V_R$ మరియు $V_C$ యొక్క వెక్టర్ మొత్తం.

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

R-C శ్రేణి పరికరంలోని ప్రతిబాధా అనేది

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

వోల్టేజ్ మరియు ఇమ్పీడన్స్ త్రిభుజాలు చిత్రంలో చూపబడ్డాయి.

చూడగా, వెక్టర్ $V$ కొన్ని కోణం కి ప్రక్కనే ఉంది $I$ అంటే ø లో

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

కాబట్టి R-C శ్రేణి వైద్యుత్ పరికరంలో కరంటు $'I'$ సరఫరా వోల్టేజీ $'V'$ అనే కోణంతో ఎదిగించబడుతుంది

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

R-C శ్రేణి వైద్యుత ప్రవాహ వెల్టేజ్ మరియు కరెంట్ వేవ్‌ఫార్మ్‌లు చిత్రంలో చూపబడ్డాయి.

RC శ్రేణి విద్యుత్ పరికరంలో శక్తి

శక్తి యొక్క అత్యధిక విలువ వోల్టేజ్ మరియు కరెంట్ యొక్క అత్యధిక విలువల లబ్దం.

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [where, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, because \,\, cos \,\, curve \,\, is \,\, symmetric] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

కాబట్టి తక్షణ శక్తి రెండు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది.

1. స్థిరమైన భాగం = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. మారుతున్న భాగం = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ ఇది సరఫాయి పౌనఃపున్యం కంటే రెట్టింపు వద్ద మారుతుంది.

సంపూర్ణ చక్రంలో మారుతున్న శక్తి భాగం యొక్క సగటు విలువ సున్నా.

కాబట్టి ఒక చక్రంలో RC సిరీస్ సర్క్యూట్ లో వినియోగించబడిన సగటు శక్తి

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

ఇక్కడ $V$ మరియు $I$ అనేవి ప్రయోజించబడిన వోల్టేజ్ మరియు కరెంట్‌ల రుణాత్మక వర్గ మూల విలువలు (RMS values).

RC శ్రేణి వద్ద పవర్ ఫ్యాక్టర్

పవర్ మరియు ఇమ్పీడెన్స్ త్రిభుజాలను చూపే చిత్రాన్ని పరిగణించండి.

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (power \,\, factor) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (active \,\, power)\,\,} {S \,\, (apparent \,\, power)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

సమాంతర RC వైతంత్రిక పరికరం

సమాంతర R-C వైతున్న ప్రత్యక్ష రెండు ప్రతిరోధం అనేది ప్రతిరోధం $R$ ఓహ్మ్లలో ఉంటుంది మరియు స్వచ్ఛమైన కెప్సీటర్ అనేది కెప్సీటన్స్ ఫారాడ్లలో ఉంటుంది. $C$ సమాంతరంగా కనెక్ట్ చేయబడుతుంది.

సమాంతర R-C వైతున్నలో వోల్టేజ్ డ్రాప్స్ ఒక్కటే, కాబట్టి అయితే లాగాపు వోల్టేజ్ రెండు ప్రతిరోధం మరియు కెప్సీటర్ యొక్క వోల్టేజ్ కు సమానం. సమాంతర R-C వైతున్నలో కరంటు రెండు ప్రతిరోధం మరియు కెప్సీటర్ ద్వారా ప్రవహించే కరంటుల మొత్తం.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

రిజిస్టర్ వద్ద ప్రవహించే శక్తిని ఈ క్రింది విధంగా తెలియజేయబడుతుంది ఓమ్ నియమం:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

కాపాసిటర్ యొక్క వోల్టేజ్-కరెంట్ సంబంధం:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

పారలల్ R-C సర్కీట్‌కు KCL (కిర్చ్హోఫ్‌న కరెంట్ లావ్) అనువర్తనం

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

పై సమీకరణం R-C వక్రికీ ప్రథమ క్రమ అవకలన సమీకరణం.

సమాంతర RC వక్రికీ ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

RC వక్రికీ సమీకరణాలు

కాపాసిటర్ C ఆధునిక క్షేత్రంలో $\frac {1} {sC}$ గా పని చేస్తుంది, దానికి శ్రేణిలో ఒక వోల్టేజ్ సోర్స్ $\frac {vC(0^-)} {s}$ ఉంటుంది, ఇక్కడ $vC (0^-)$ కాపాసిటర్ యొక్క మొదటి వోల్టేజ్.

ప్రతిఘాతం: కాపాసిటర్ C యొక్క సంకీర్ణ ప్రతిఘాతం, $Z_C$ ఈ విధంగా ఉంటుంది

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ కల్పిత భాగాన్ని సూచిస్తుంది $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ సైన్యోసిడల్ కోణీయ తరంగ పరిమాణాన్ని (రేడియన్లు సెకన్లో) సూచిస్తుంది

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

శక్తి: శ్రేణి R-C సర్క్యుట్లో ప్రతి బిందువులో శక్తి ఒక్కటే.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

వోల్టేజ్: వోల్టేజ్ డాయివైడర్ నియమాన్ని అనుసరించి, కాపాసిటర్ వద్ద వోల్టేజ్:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

మరియు రెసిస్టర్ వద్ద వోల్టేజ్:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

RC సర్క్యుట్ శక్తి

శ్రేణి R-C సర్క్యుట్లో ప్రతి బిందువులో శక్తి ఒక్కటే.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

RC సర్కిట్ యొక్క ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్

ఇన్‌పుట్ వోల్టేజ్ నుండి కాపాసిటర్ వద్ద వోల్టేజ్‌కు ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ అవుతుంది

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

అదేవిధంగా, ఇన్‌పుట్ వోల్టేజ్ నుండి రెసిస్టర్ వద్ద వోల్టేజ్‌కు ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

RC సర్కిట్ యొక్క స్టెప్ రిస్పాన్స్

సర్కిట్‌లో ఏదైనా మార్పు జరిగినప్పుడు, ఉదాహరణకు స్విచ్ బంధం చేయబడినప్పుడు, వోల్టేజ్ మరియు కరెంట్ కూడా మారుతాయి మరియు కొత్త పరిస్థితులకు అనుసరిస్తాయి. మార్పు ఒక త్వరగానైన స్టెప్ అయినప్పుడు, రిస్పాన్స్‌ను స్టెప్ రిస్పాన్స్ అంటారు.

సర్క్యూట్ యొక్క మొత్తం ప్రతిస్పందన బలవంతపు ప్రతిస్పందన మరియు సహజ ప్రతిస్పందనల మొత్తానికి సమానం. ఈ ప్రతిచర్యలను సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రం ఉపయోగించి కలపవచ్చు.

బలవంతపు ప్రతిస్పందనలో సరఫరా మూలం ఆన్ లో ఉంటుంది కానీ ప్రారంభ పరిస్థితులు (అంతర్గతంగా నిల్వ చేయబడిన శక్తి) సున్నా అని భావిస్తారు.

సరఫరా మూలం ఆఫ్ చేయబడినప్పటికీ సర్క్యూట్ ప్రారంభ పరిస్థితులను (కెపాసిటర్లలో ప్రారంభ వోల్టేజి మరియు ఇండక్టర్లలో కరెంట్) కలిగి ఉంటుంది, ఇది సహజ ప్రతిస్పందన. సరఫరా మూలం ఆఫ్ చేయబడినందున సహజ ప్రతిస్పందనను జీరో ఇన్‌పుట్ ప్రతిస్పందన అని కూడా పిలుస్తారు.

అందువల్ల, మొత్తం ప్రతిస్పందన = బలవంతపు ప్రతిస్పందన + సహజ ప్రతిస్పందన

ప్రారంభ పరిస్థితి అంటే ఏమిటి?

ఒక ఇండక్టర్ సందర్భంలో, దాని గుండా ప్రవహించే కరెంట్‌ను తక్షణమే మార్చలేము. అంటే క్షణం $t=0^-$ వద్ద ఇండక్టర్ గుండా ప్రవహించే కరెంట్, క్షణం $t=0^+$ వద్ద సంక్రమణ తర్వాత కూడా అదే ఉంటుంది. అంటే,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

కెపాసిటర్ సందర్భంలో, కెపాసిటర్ గుండా వోల్టేజిని తక్షణమే మార్చలేము. అంటే, $t=0^-$ వద్ద కెపాసిటర్ గుండా ఉన్న వోల్టేజి $t=0^+$ వద్ద స్వల్ప సమయం తర్వాత కూడా అదే ఉంటుంది. అంటే,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

డ్రైవ్ చేయబడిన సిరీస్ RC సర్క్యూట్ యొక్క ఫోర్స్డ్ రిస్పాన్స్

కెపాసిటర్ మొదట్లో పూర్తిగా డిస్ఛార్జ్ అయి ఉందని మరియు స్విచ్ (K) చాలా పొడవైన సమయం పాటు తెరిచి ఉంచబడిందని మరియు $t=0$ వద్ద మూసివేయబడిందని ఊహిద్దాం.

Force Response Of Driven Series R C Circuit

టీప్ $t=0^-$ స్విచ్ K ఖోలానికి ఉంది

ఇది ఒక ఆరంభిక పరిస్థితి, కాబట్టి మేము ఈ విధంగా రాయవచ్చు,

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

కాపాసిటర్‌కు అంతర్గత వోల్టేజ్ త్వరగా మారకూడదని కారణం.

అన్ని విధాల్లో $t\geq0$ స్విచ్ K మూసివేయబడింది.

ఇప్పుడు వోల్టేజ్ సోర్స్ సర్క్యుట్‌లో ప్రవేశించాయి. కాబట్టి KVL ని సర్క్యుట్‌కు ప్రయోగించి, మేము ఈ విధంగా పొందండాం,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

ఇప్పుడు i(t) కాపాకిటర్‌లోని విద్యుత్ శక్తిని చూపిస్తుంది, దీనిని కాపాకిటర్‌లోని వోల్టేజ్ దృష్ట్యా వ్యక్తపరచవచ్చు

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

ఈ విలువను సమీకరణం (2)లో ప్రతిస్థాపించగా, మనకు లభిస్తుంది,

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

చరరాశులను వేరు చేసి, మనకు కింది విధంగా వస్తుంది

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

రెండు వైపులా సమాకలనం చేయగా

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

ఇక్కడ $K^'$ అనేది ఏకాంత స్థిరాంకం

K' కనుగొనడంలో: ప్రారంభిక పరిస్థితిని ఉపయోగించడం అనగా సమీకరణం (1) ను సమీకరణం (3) లో ప్రతిస్థాపించడం ద్వారా, మేము పొందండి,

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

K’ విలువను సమీకరణం (3) లో ప్రతిస్థాపించడం ద్వారా, మేము పొందండి,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_s - V_c (t)] - ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([ln[a] - ln[b] = ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

ఎంటి లాగరిథంను తీసుకున్నప్పుడు, మనకు వస్తుంది,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

పైన ఉన్న సమీకరణం శ్రేణి R-C విద్యుత్‌క్షేప చక్రంలో ఒక తోడవ క్రమ అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారంని సూచిస్తుంది.

పైన ఉన్న ప్రతికృతి అనేది స్థిరావస్థా ప్రతికృతి అనేది. $V_S$

మరియు అస్థిరావస్థా ప్రతికృతి అనేది. $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

శ్రేణి RC చక్రంలో మూలాలు లేని స్వభావిక ప్రతికృతి

మూలాలు లేని ప్రతికృతి అనేది రెండు ప్రతిరోధకాల మధ్యలో క్షేప చక్రం నుండి రెండు ప్రతిరోధకాల ద్వారా చేరువ చేయడం.

స్వేచ్ఛా శ్రేణిలో R C సర్కిట్‌కు ప్రకృతి ప్రతిసాదన

అన్ని t>=0^+ కోసం స్విచ్ K ముందు ఉంటుంది

పై సర్కిట్‌కు KVL ని వర్తించినప్పుడు, మనకు వస్తుంది,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

ఈ కరంట్ విలువను సమీకరణం (6)లో ప్రతిస్థాపించగా, మనకు వస్తుంది,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

చరరాశులను వేరుపరచడం ద్వారా, మనకు వస్తుంది

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

రెండు వైపులా అవకలనం చేయడం

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

ఇక్కడ $K^'$ అనేది ఏదైనా స్థిరం

మీరు $K^'$ ని కనుగొనడానికి: ప్రారంభ పరిస్థితిని ఉపయోగించడం అనగా సమీకరణం (1)ని సమీకరణం (7)లో ప్రతిస్థాపించడం ద్వారా, మేము పొందండి,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

ఇప్పుడు $K^'$ విలువను సమీకరణం (7)లో ప్రతిస్థాపించడం ద్వారా, మేము పొందండి,

$\begin{align*} లోగరిథం [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + లోగరిథం[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} లోగరిథం [V_c (t)] - లోగరిథం[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} లోగరిథం \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

అన్తిలోగరిథం తీసుకున్నారు, మనకు వస్తుంది,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

పై సమీకరణం శ్రేణిలోని RC విద్యుత్ పరికరానికి స్వాబావిక ప్రతిసాధనను సూచిస్తుంది.

ఇప్పుడు, మొత్తం ప్రతిసాధన = బలపరమైన ప్రతిసాధన + స్వాబావిక ప్రతిసాధన

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

ఇక్కడ, $V_S$ స్టెప్ వోల్టేజ్.

$V_0$ కపాకిటర్‌పై మొదటి వోల్టేజ్.

RC సర్కిట్‌ల సమయ స్థిరాంకం

RC సర్కిట్‌ల సమయ స్థిరాంకాన్ని కష్టపడని స్థితిలో కపసిటర్‌లోని వోల్టేజ్ తన చివరి స్థిర విలువకు చేరుకోవడానికి అవసరమైన సమయంగా నిర్వచించవచ్చు.

ఒక సమయ స్థిరాంకం అనేది వోల్టేజ్‌కు 0.632 రెట్లు స్థిర విలువకు ఎగువకట్టడానికి లేదా కరెంట్‌కు 0.368 రెట్లు స్థిర విలువకు ఎగువకట్టడానికి అవసరమైన సమయం.

RC సర్కిట్‌ల సమయ స్థిరాంకం రెసిస్టెన్స్ మరియు కపసిటన్స్ ల లబ్ధం.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

దశల యూనిట్.

RC సర్కిట్ ఫ్రీక్వెన్సీ రిస్పాన్స్

ఇమ్పీడెన్స్ విధానం ఉపయోగించి: ఫ్రీక్వెన్సీ రిస్పాన్స్ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ సమీకరణం

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

ఇప్పుడు పైన చూపిన సర్క్యూట్‌కు పోటెన్షియల్ డైవైడర్ నియమాన్ని అనువర్తించండి

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

కంటే, $Z_C$ = కాపాసిటర్ యొక్క ఇమ్పీడెన్స్

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

ఈ విలువను (10) సమీకరణంలో ప్రతిస్థాపించగా, మనకు కింది విలువ వస్తుంది,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

పైన చూపిన ప్రతిసాధకత అనేది ఒక R-C విద్యుత్ పరికరంలో సమితీకరణ రూపంలో ఉంది.

RC విద్యుత్ పరికర విభేద సమీకరణం

RC శక్తిపెంచు విద్యుత్ పరికర విభేద సమీకరణం

కాపాసిటర్ మీద ఉండే వోల్టేజ్

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

ఇప్పుడు కాపాసిటర్ ద్వారా ప్రవహించే విద్యుత్ ప్రవాహం

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC డిస్చార్జింగ్ సర్క్యుట్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్

కాపాసిటర్‌లో వోల్టేజ్

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

కాపాసిటర్ దాటిన కరెంట్

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC సర్కిట్ చార్జింగ్ మరియు డిస్చార్జింగ్

RC సర్కిట్ చార్జింగ్

పటంలో కాపాసిటర్ (C), రిజిస్టర్ (R) తో సమానంగా ఉండే సరళ R-C సర్క్యుట్ను చూపించబడుతుంది. ఈ సర్క్యుట్ DC వోల్టేజ్ సోర్స్‌ను మెకానికల్ స్విచ్ (K) ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడింది. కాపాసిటర్ మొదట అచార్జ్ అవుతుంది. K స్విచ్ బందం చేస్తే, కాపాసిటర్ రిజిస్టర్ ద్వారా నెమ్మదిగా చార్జ్ అవుతుంది, కాపాసిటర్ యొక్క వోల్టేజ్ సర్ప్రైస్ వోల్టేజ్ సోర్స్‌ని సమానం అవ్వవరకూ. కాపాసిటర్ యొక్క ప్లేట్ల మీద చార్జ్ Q = CV.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

పైన చూపిన సమీకరణం నుండి, కాపాసిటర్ వోల్టేజ్ ఎక్స్పోనెంషియల్ గా పెరుగుతుందని స్పష్టంగా ఉంది.

ఇక్కడ,

$V_C$ కాపాసిటర్ యొక్క వోల్టేజ్
$V$ సర్ప్రైస్ వోల్టేజ్.

RC అనేది RC చార్జింగ్ సర్క్యుట్ యొక్క టైమ్ కన్స్టంట్. i.e. $\tau = R C$

పదవి (11) మరియు (12)లో వివిధ సమయ విలువలను ప్రతిస్థాపించడం ద్వారా, కాపాసిటర్ చార్జింగ్ వోల్టేజ్, అనగా

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

కాపాసిటర్ చార్జింగ్ కరెంట్

$\begin{align*} t = \tau \,\, అయితే \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, అయితే \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, అయితే \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, అయితే \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

కాపాసిటర్‌లోని వోల్టేజ్ మార్పు $V_C(t)$ మరియు కాపాసిటర్ ద్వారా ప్రవహించే శక్తి $i(t)$ సమయం అనుకూలంగా చూపించబడింది.

కాబట్టి, R-C చార్జింగ్ సర్క్యుట్‌లో కాపాసిటర్‌లోని వోల్టేజ్ ఎక్స్పోనెన్షియల్ గా పెరిగినప్పుడు, కాపాసిటర్ ద్వారా ప్రవహించే శక్తి అదే రేటుతో ఎక్స్పోనెన్షియల్ గా తగ్గిస్తుంది. కాపాసిటర్‌లోని వోల్టేజ్ స్థిరాంకం విలువను చేరుకున్నప్పుడు, శక్తి సున్నా విలువకు తగ్గిస్తుంది.

RC సర్క్యుట్ డిస్చార్జింగ్

ముందుగా చార్జ్ చేయబడిన కాపాసిటర్‌ను బ్యాటరీ సరఫరా వోల్టేజ్‌పై నిరాకరించిన తర్వాత, చార్జింగ్ ప్రక్రియలో కాపాసిటర్‌లో నిల్వ చేయబడిన శక్తి తన ప్లేట్‌లో శాశ్వతంగా ఉంటుంది, దాని టర్మినల్‌ల మధ్య నిల్వ చేయబడిన వోల్టేజ్ స్థిరంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు బ్యాటరీను సంక్షోభంతో మార్చి, స్విచ్‌ని మూసినప్పుడు కాపాసిటర్ రెసిస్టర్ ద్వారా డిస్చార్జ్ చేయబడుతుంది, ఇది RC డిస్చార్జింగ్ సర్క్యుట్ అని పిలుస్తారు.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

పైన ఉన్న సమీకరణం నుండి, కాపాసిటర్ వోల్టేజ్ ఘాతాంకాన్ని తగ్గించుకుందని స్పష్టంగా ఉంది. అంటే R-C సర్క్యుట్ను డిస్చార్జ్ చేయుటలో, కాపాసిటర్ R రెండు శ్రేణిలో ఉన్న రిజిస్టర్ ద్వారా డిస్చార్జ్ చేస్తుంది. ఇప్పుడు R-C చార్జింగ్ సర్క్యుట్ మరియు R-C డిస్చార్జింగ్ సర్క్యుట్ల సమయ స్థిరాంకాలు ఒక్కటే మరియు అది

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

పై (13) మరియు (14) సమీకరణాల్లో సమయం t యొక్క వివిధ విలువలను ప్రతిస్థాపించినప్పుడు, కాపాసిటర్ డిస్చార్జింగ్ వోల్టేజ్‌ను పొందుతాము, అంటే.

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, అయితే \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, అయితే \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, అయితే \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

కప్సుల్ యొక్క వోల్టేజ్ మధ్యలోని మార్పు $V_C(t)$ కాలం యొక్క ఫంక్షన్గా చిత్రంలో చూపబడింది.

కప్సుల్ యొక్క వోల్టేజ్ ఘాటన ఘాటన తో కప్సుల్ యొక్క కరంట్ అదే వేగంతో పెరిగించుతుంది. కప్సుల్ యొక్క వోల్టేజ్ శూన్యం చేరినప్పుడు, కరంట్ స్థిరమైన విలువకు చేరుతుంది.

ప్రకటన: మూలంతో ప్రతిసాదం చేయండి, భాగస్వామ్యం చేయదగ్గ నాణ్యమైన వ్యాసాలను ప్రశంసించండి, ప్రాపాఠ్యం ఉంటే హతీకరణం చేయడానికి సంప్రదించండి.

ప్రదానం ఇవ్వండి మరియు రచయితన్ని ప్రోత్సహించండి

విషయాలు:

సర్క్యూట్ సిద్ధాంతం

రియాక్టివ్ సర్క్యూట్

నిపుణుల గురించి

Electrical4u

China