Análisis de circuitos RC: Serie Paralelo Ecuaciones y Función de transferencia

Electrical4u

Campo: Electricidad Básica

China

¿Qué es un circuito RC?

Un circuito RC (también conocido como filtro RC o red RC) se refiere a un circuito de resistencia-capacitancia. Un circuito RC se define como un circuito eléctrico compuesto por los componentes pasivos del circuito, una resistencia (R) y un condensador (C), alimentado por una fuente de voltaje o una fuente de corriente.

Debido a la presencia de una resistencia en la forma ideal del circuito, un circuito RC consumirá energía, similar a un circuito RL o un circuito RLC.

Esto es diferente de la forma ideal de un circuito LC, que no consumirá energía debido a la ausencia de una resistencia. Aunque esto solo se aplica a la forma ideal del circuito, y en la práctica, incluso un circuito LC consumirá algo de energía debido a la resistencia no nula de los componentes y de los cables de conexión.

Circuito RC en serie

En un circuito RC en serie, un resistor puro con resistencia R en ohmios y un condensador puro de capacitancia C en faradios están conectados en serie.

Aquí $I$ es el valor RMS de la corriente en el circuito.

$V_R$ es el voltaje a través del resistor R.

$V_C$ es el voltaje a través del condensador C.

$V$ es el valor RMS del voltaje de alimentación.

La figura muestra un diagrama vectorial del circuito RC en serie.

Dado que en un circuito en serie la corriente $'I'$ es la misma, se toma como referencia.

$V_R = IR$ se dibuja en fase con la corriente $'I'$ porque en un resistor puro, el voltaje y la corriente están en fase entre sí.

$V_C=I X_C$ se dibuja con retraso respecto a la corriente $'I'$ por $90^0$ porque en un condensador puro, el voltaje y la corriente están desfasados $90^0$ entre sí, es decir, el voltaje se retrasa respecto a la corriente por $90^0$ o la corriente se adelanta al voltaje por $90^0$ .

Ahora $V$ es la suma vectorial de $V_R$ y $V_C$ .

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

La impedancia de un circuito en serie R-C es

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, donde, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

El voltaje y el impedancia se muestran en la figura.

Como se ve, el vector $V$ se retrasa con respecto a $I$ por un ángulo ø donde

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

Así, en un circuito R-C serie, la corriente $'I'$ lleva la ventaja sobre el voltaje de alimentación $'V'$ por un ángulo

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

Las formas de onda de voltaje y corriente del circuito R-C en serie se muestran en la figura.

Potencia en un circuito RC en serie

El valor instantáneo de la potencia es el producto de los valores instantáneos del voltaje y la corriente.

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m \sin{\omega}t) [I_m \sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [donde, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, porque \,\, la \,\, curva \,\, del \,\, coseno \,\, es \,\, simétrica] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

Por lo tanto, la potencia instantánea consta de dos partes.

1. Una parte constante = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. Un componente variable = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ que varía a dos veces la frecuencia de suministro.

El valor promedio del componente de potencia variable durante un ciclo completo es cero.

Por lo tanto, la potencia promedio consumida en un circuito serie RC durante un ciclo es

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

Donde $V$ y $I$ son los valores RMS del voltaje aplicado y la corriente en el circuito.

Factor de potencia en un circuito RC en serie

Considere la figura que muestra los triángulos de potencia e impedancia.

Triángulo de potencia y triángulo de impedancia

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (factor \,\, de \,\, potencia) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (potencia \,\, activa)\,\,} {S \,\, (potencia \,\, aparente)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

Circuito RC paralelo

En un circuito R-C paralelo, un resistor puro con resistencia $R$ en ohmios y un condensador puro con capacidad $C$ en faradios están conectados en paralelo.

Las caídas de tensión en un circuito R-C paralelo son las mismas, por lo que la tensión aplicada es igual a la tensión a través del resistor y la tensión a través del condensador. La corriente en un circuito R-C paralelo es la suma de la corriente a través del resistor y el condensador.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

Para el resistor, la corriente a través de él dada por la ley de Ohm:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

La relación entre voltaje y corriente para el condensador es:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

Aplicando la Ley de Corrientes de Kirchhoff (KCL) al circuito R-C paralelo

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

La ecuación anterior es la ecuación diferencial de primer orden de un circuito R-C.

Función de transferencia del circuito RC en paralelo:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

Ecuaciones del circuito RC

El capacitor C se comporta como un $\frac {1} {sC}$ en el dominio de frecuencia con una fuente de voltaje de $\frac {vC(0^-)} {s}$ en serie con él, donde $vC (0^-)$ es el voltaje inicial a través del capacitor.

Impedancia: La impedancia compleja, $Z_C$ de un condensador C es

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ representa la parte imaginaria $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ representa la frecuencia angular sinusoidal (radianes por segundo)

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

Corriente: La corriente es la misma en todos los puntos del circuito R-C en serie.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Voltaje: Aplicando la regla del divisor de voltaje, el voltaje a través del condensador es:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

y el voltaje a través de la resistencia es:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

Corriente del circuito RC

La corriente es la misma en todos los puntos del circuito R-C en serie.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Función de transferencia del circuito RC

La función de transferencia desde el voltaje de entrada hasta el voltaje a través del condensador es

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

De manera similar, la función de transferencia desde el voltaje de entrada hasta el voltaje a través de la resistencia es

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

Respuesta al escalón del circuito RC

Cuando algo cambia en un circuito, como cuando se cierra un interruptor, el voltaje y la corriente también cambian y se ajustan a las nuevas condiciones. Si el cambio es un paso abrupto, la respuesta se llama respuesta al escalón.

La respuesta total de un circuito es igual a la respuesta forzada más la respuesta natural. Estas respuestas pueden combinarse utilizando el principio de superposición.

La respuesta forzada es aquella en la que la fuente de alimentación está encendida, pero se asumen las condiciones iniciales (energía almacenada internamente) como cero.

La respuesta natural es aquella en la que la fuente de alimentación está apagada, pero el circuito incluye las condiciones iniciales (voltaje inicial en los condensadores y corriente en los inductores). La respuesta natural también se llama respuesta de entrada cero porque la fuente de alimentación está apagada.

Por lo tanto, la respuesta total = la respuesta forzada + la respuesta natural

¿Qué es una Condición Inicial?

En el caso de un inductor, la corriente a través de él no puede cambiarse instantáneamente. Eso significa que la corriente a través del inductor en el instante $t=0^-$ permanecerá igual justo después de la transición en el instante $t=0^+$ . es decir,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

En el caso de un condensador, el voltaje a través del condensador no puede cambiar instantáneamente. Eso significa que el voltaje a través del condensador en el instante $t=0^-$ permanecerá igual justo después de la transición en el instante $t=0^+$ . es decir,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

Respuesta forzada de un circuito RC serie alimentado

Supongamos que el condensador está inicialmente completamente descargado y el interruptor (K) se mantiene abierto durante mucho tiempo y se cierra en $t=0$ .

En $t=0^-$ el interruptor K está abierto

Esta es una condición inicial, por lo que podemos escribir,

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

Porque el voltaje a través del capacitor no puede cambiar instantáneamente.

Para todo $t\geq0$ el interruptor K está cerrado.

Ahora se introduce la fuente de voltaje en el circuito. Por lo tanto, aplicando la ley de Kirchhoff de los voltajes al circuito, obtenemos,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

Ahora i(t) es la corriente a través del condensador y se puede expresar en términos de voltaje a través del condensador como

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

Sustituyendo esto en la ecuación (2), obtenemos,

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

Separando las variables, obtenemos

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

Integrando ambos lados

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

Donde $K^'$ es la constante arbitraria

Para encontrar $K'$ : Usando la condición inicial, es decir, sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación (3), obtenemos,

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

Sustituyendo el valor de K’ en la ecuación (3) obtenemos,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_s - V_c (t)] - \ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([\ln[a] - \ln[b] = \ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Tomando el antilogaritmo, obtenemos,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

La ecuación anterior indica la solución de una ecuación diferencial de primer orden de un circuito en serie R-C.

La respuesta anterior es una combinación de respuesta en estado estable es decir, $V_S$

y respuesta transitoria es decir, $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

Respuesta natural de un circuito RC en serie sin fuente

La respuesta sin fuente es la descarga de un condensador a través de un resistor en serie con él.

Para todo $t>=0^+$ el interruptor K está cerrado

Aplicando la ley de Kirchhoff de voltajes (KVL) al circuito anterior, obtenemos,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Ahora \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

Sustituyendo este valor de corriente en la ecuación (6), obtenemos,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

Separando las variables, obtenemos

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

Integrando ambos lados

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

Donde $K^'$ es una constante arbitraria

Para encontrar $K^'$ : Usando la condición inicial, es decir, sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación (7), obtenemos,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

Sustituyendo el valor de $K^'$ en la ecuación (7) obtenemos,

$\begin{align*} ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] - ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Tomando el antilogaritmo, obtenemos,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

La ecuación anterior indica la respuesta natural del circuito RC en serie.

Ahora, la respuesta total = respuesta forzada + respuesta natural

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

Donde, $V_S$ es el voltaje de paso.

$V_0$ es el voltaje inicial en el capacitor.

Constante de tiempo del circuito RC

La constante de tiempo de un circuito R-C se puede definir como el tiempo durante el cual el voltaje a través del condensador alcanzaría su valor final en estado estacionario.

Una constante de tiempo es el tiempo necesario para que el voltaje ascienda 0.632 veces el valor en estado estacionario o el tiempo necesario para que la corriente decaiga 0.368 veces el valor en estado estacionario.

La constante de tiempo del circuito R-C es el producto de la resistencia y la capacitancia.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Su unidad es el segundo.

Respuesta en frecuencia del circuito RC

Usando el método de impedancia: La ecuación general para la respuesta en frecuencia del sistema es

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

Ahora aplique la regla del divisor de tensión al circuito anterior

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

Donde, $Z_C$ = Impedancia del condensador

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

Sustituya esto en la ecuación (10), obtenemos,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

La respuesta anterior es una respuesta en frecuencia de un circuito R-C en forma compleja.

Ecuación diferencial del circuito RC

Ecuación diferencial del circuito de carga RC

El voltaje a través del condensador se da por

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Ahora, la corriente a través del condensador está dada por

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Ecuación diferencial del circuito RC en descarga

El voltaje a través del condensador se da por

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Ahora, la corriente a través del condensador se da por

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Carga y descarga de circuitos RC

Carga de circuito RC

La figura muestra un circuito R-C simple en el que un condensador (C), en serie con un resistor (R), está conectado a una fuente de voltaje DC a través de un interruptor mecánico (K). El condensador está inicialmente sin cargar. Cuando se cierra el interruptor K, el condensador se cargará gradualmente a través del resistor hasta que el voltaje a través del condensador sea igual al de la fuente de voltaje. La carga en las placas del condensador se da como Q = CV.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

A partir de la ecuación anterior, es claro que el voltaje del condensador aumenta exponencialmente.

Donde,

$V_C$ es el voltaje a través del condensador
$V$ es el voltaje de la fuente.

RC es la constante de tiempo del circuito de carga R-C. es decir, $\tau = R C$

Sustituyamos diferentes valores de tiempo t en las ecuaciones (11) y (12), obtenemos el voltaje de carga del condensador, es decir

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

y la corriente de carga del condensador

$\begin{align*} t = \tau \,\, entonces \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (donde, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, entonces \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, entonces \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, entonces \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

La variación del voltaje a través del condensador $V_C(t)$ y la corriente a través del condensador $i(t)$ como función del tiempo se muestra en la figura.

Así, en un circuito RC de carga, si el voltaje a través del condensador aumenta exponencialmente, la corriente a través del condensador disminuye exponencialmente a la misma tasa. Cuando el voltaje a través del condensador alcanza su valor en estado estacionario, la corriente disminuye a cero.

Circuito RC de Descarga

Si un condensador completamente cargado se desconecta de la fuente de alimentación de la batería, la energía almacenada en el condensador durante el proceso de carga permanecería indefinidamente en sus placas, manteniendo el voltaje almacenado a través de sus terminales en un valor constante.

Ahora, si la batería se reemplaza por un cortocircuito y cuando se cierra el interruptor, el condensador se descargará a través del resistor, formando así un circuito llamado circuito RC de descarga.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

De la ecuación anterior, es evidente que el voltaje del condensador disminuye exponencialmente. Esto significa que en la descarga del circuito R-C, el condensador se descarga a través de la resistencia R en serie con él. El tiempo constante del circuito de carga R-C y del circuito de descarga R-C son los mismos y es

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Sustituyamos diferentes valores de tiempo t en las ecuaciones (13) y (14), obtenemos el voltaje de descarga del condensador, es decir

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

La variación de voltaje a través del condensador $V_C(t)$ como una función del tiempo se muestra en la figura.

Así, en el circuito de descarga R-C, de manera similar, si el voltaje a través del condensador disminuye exponencialmente, la corriente a través del condensador aumenta exponencialmente con la misma tasa. Cuando el voltaje a través del condensador alcanza un valor cero, la corriente alcanza un valor de estado estable.

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