आरसी सर्किट विश्लेषण: श्रृंखला, समान्तर, समीकरण और ट्रांसफर फंक्शन

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फील्ड: बुनियादी विद्युत

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RC सर्किट क्या है?

एक RC सर्किट (जिसे RC फिल्टर या RC नेटवर्क भी कहते हैं) एक प्रतिरोधक-संधारित्र सर्किट का अर्थ है। एक RC सर्किट को विद्युत सर्किट के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो सक्रिय और निष्क्रिय परिपथ घटकों के रूप में एक प्रतिरोधक (R) और संधारित्र (C) से बना होता है, जो एक वोल्टेज स्रोत या करंट स्रोत द्वारा चलाया जाता है।

आदर्श रूप में सर्किट में प्रतिरोधक की उपस्थिति के कारण, एक RC सर्किट ऊर्जा खोता है, जैसे कि एक RL सर्किट या RLC सर्किट की तरह।

यह आदर्श रूप में एक LC सर्किट के विपरीत है, जो प्रतिरोधक की अनुपस्थिति के कारण ऊर्जा नहीं खोता है। हालांकि यह केवल आदर्श रूप में है, और व्यावहारिक रूप में, एक LC सर्किट भी घटकों और कनेक्टिंग वायरों के गैर-शून्य प्रतिरोध के कारण कुछ ऊर्जा खोता है।

श्रृंखला RC सर्किट

एक श्रृंखला RC परिपथ में, एक शुद्ध प्रतिरोधक जिसका प्रतिरोध R ओम में और एक शुद्ध संधारित्र जिसकी क्षमता C फ़ारड में होती है, श्रृंखला में जोड़े जाते हैं।

यहाँ $I$ परिपथ में धारा का RMS मान है।

$V_R$ प्रतिरोधक R पर वोल्टेज है।

$V_C$ संधारित्र C पर वोल्टेज है।

$V$ आपूर्ति वोल्टेज का RMS मान है।

चित्र श्रृंखला RC परिपथ का वेक्टर आरेख दिखाता है।

क्योंकि श्रृंखला परिपथ में धारा $'I'$ समान होती है, इसलिए इसे संदर्भ के रूप में लिया जाता है।

$V_R = IR$ धारा के साथ वास्तविक चरण में खींचा जाता है $'I'$ क्योंकि एक शुद्ध प्रतिरोधक में वोल्टेज और धारा एक दूसरे के साथ वास्तविक चरण में होते हैं।

$V_C=I X_C$ धारा $'I'$ के साथ $90^0$ के अनुसार खींचा जाता है क्योंकि एक शुद्ध कैपेसिटर में वोल्टेज और धारा $90^0$ एक दूसरे से बाहर होती है यानी वोल्टेज धारा से $90^0$ पीछे रहती है या धारा वोल्टेज से $90^0$ आगे रहती है।

अब $V$ वेक्टर योग है $V_R$ और $V_C$ का।

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

एक R-C श्रृंखला परिपथ की आवर्तन है

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

वोल्टेज और इम्पीडन्स त्रिकोण चित्र में दिखाए गए हैं।

जैसा कि दिखाया गया है, सदिश $V$ सदिश $I$ से एक कोण ø से पीछे रहता है जहाँ

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

इस प्रकार एक R-C श्रृंखला परिपथ में धारा $'I'$ आपूर्ति वोल्टेज $'V'$ से एक कोण

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

R-C श्रृंखला परिपथ के वोल्टेज और धारा तरंग-रूप चित्र में दिखाए गए हैं।

एक R-C श्रृंखला परिपथ में शक्ति

शक्ति का संक्षिप्त मान शक्ति के तत्काल मान और वोल्टेज और धारा के तत्काल मान का गुणनफल है।

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [जहाँ, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, क्योंकि \,\, cos \,\, वक्र \,\, सममित है] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

इस प्रकार, तात्कालिक शक्ति दो भागों में से मिलकर बनती है।

1. एक स्थिर भाग = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. एक बदलता घटक = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ जो आपूर्ति आवृत्ति के दोगुने दर से बदलता है।

एक पूरे चक्र में बदलते शक्ति घटक का औसत मान शून्य है।

इस प्रकार, एक RC श्रृंखला परिपथ में एक चक्र के दौरान औसत शक्ति खपत

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

जहाँ $V$ और $I$ सर्किट में लगाए गए वोल्टेज और धारा के RMS मान हैं।

एक RC श्रृंखला सर्किट में पावर फैक्टर

चित्र देखें जो पावर और इम्पीडेंस त्रिभुजों को दिखाता है।

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (power \,\, factor) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (active \,\, power)\,\,} {S \,\, (apparent \,\, power)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

समान्तर RC सर्किट

समान्तर R-C सर्किट में एक शुद्ध प्रतिरोधक जिसका प्रतिरोध $R$ ओहम में होता है और एक शुद्ध संधारित्र जिसकी संधारित्रता $C$ फ़ाराड में होती है, समान्तर में जोड़े जाते हैं।

समान्तर RC सर्किट में वोल्टेज गिरावट समान होती है, इसलिए लगाया गया वोल्टेज प्रतिरोधक और संधारित्र के अनुसार वोल्टेज के बराबर होता है। समान्तर R-C सर्किट में धारा प्रतिरोधक और संधारित्र के माध्यम से धारा का योग होता है।

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

प्रतिरोधक के लिए, इसके माध्यम से धारा ओम के नियम द्वारा दी गई है:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

संधारित्र के लिए वोल्टेज-धारा संबंध है:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

समानांतर R-C परिपथ पर KCL (किरचॉफ का धारा नियम) लागू करना

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

उपरोक्त समीकरण R-C सर्किट का प्रथम-क्रम अवकल समीकरण है।

समान्तर RC सर्किट का ट्रांसफर फंक्शन:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

RC सर्किट के समीकरण

कैपेसिटर C आवृत्ति क्षेत्र में $\frac {1} {sC}$ के रूप में व्यवहार करता है जिसमें इसके साथ श्रृंखला में एक वोल्टेज स्रोत $\frac {vC(0^-)} {s}$ होता है जहाँ $vC (0^-)$ कैपेसिटर के प्रारंभिक वोल्टेज है।

प्रतिबाधा: एक संधारित्र C की जटिल प्रतिबाधा, $Z_C$ है

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ काल्पनिक भाग को दर्शाता है $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ साइनसोइडल वृत्तीय आवृत्ति (रेडियन प्रति सेकंड) को दर्शाता है

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

धारा: श्रृंखला R-C परिपथ में धारा सर्वत्र समान होती है।

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

वोल्टेज: वोल्टेज डिवाइडर नियम के अनुसार, कैपासिटर पर वोल्टेज:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

और प्रतिरोधक पर वोल्टेज:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

RC परिपथ धारा

श्रृंखला R-C परिपथ में धारा सर्वत्र समान होती है।

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

आरसी सर्किट का ट्रांसफर फंक्शन

कैपेसिटर पर वोल्टेज तक इनपुट वोल्टेज सेट्रांसफर फंक्शन है

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

इसी तरह, रेसिस्टर पर वोल्टेज तक इनपुट वोल्टेज से ट्रांसफर फंक्शन है

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

आरसी सर्किट का स्टेप रिस्पॉन्स

जब किसी सर्किट में कोई बदलाव होता है, जैसे कि एक स्विच बंद हो जाता है, तो वोल्टेज और करंट भी नए स्थितियों के अनुसार बदलते और समायोजित होते हैं। यदि बदलाव एक अचानक स्टेप हो, तो इसका प्रतिक्रिया स्टेप रिस्पॉन्स कहलाता है।

सर्किट की कुल प्रतिक्रिया बाध्य प्रतिक्रिया और प्राकृतिक प्रतिक्रिया के योग के बराबर होती है। इन प्रतिक्रियाओं को सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करके संयोजित किया जा सकता है।

बाध्य प्रतिक्रिया वह है जिसमें आपूर्ति का स्रोत चालू किया जाता है लेकिन आरंभिक स्थितियाँ (आंतरिक रूप से संचित ऊर्जा) शून्य मान ली जाती हैं।

प्राकृतिक प्रतिक्रिया वह है जिसमें आपूर्ति का स्रोत बंद किया जाता है लेकिन सर्किट आरंभिक स्थितियों (कैपासिटरों पर आरंभिक वोल्टेज और इंडक्टरों में धारा) को शामिल करता है। प्राकृतिक प्रतिक्रिया को शून्य इनपुट प्रतिक्रिया भी कहा जाता है क्योंकि आपूर्ति का स्रोत बंद किया जाता है।

इसलिए, कुल प्रतिक्रिया = बाध्य प्रतिक्रिया + प्राकृतिक प्रतिक्रिया

आरंभिक स्थिति क्या है?

इंडक्टर के मामले में, इसके माध्यम से धारा को तत्काल बदला नहीं जा सकता। इसका अर्थ है कि इंडक्टर के माध्यम से धारा $t=0^-$ के समय बिल्कुल बाद के संक्रमण के बाद $t=0^+$ रहेगी। अर्थात्,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

कैपेसिटर के मामले में कैपेसिटर पर वोल्टेज को तत्काल बदला नहीं जा सकता। इसका मतलब है कि $t=0^-$ के तत्काल बाद अनुवर्ती के समय $t=0^+$ के तत्काल बाद वोल्टेज एक ही रहेगा। अर्थात,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

ड्राइवन सीरीज़ RC सर्किट की फोर्स्ड प्रतिक्रिया

मान लीजिए कि कैपेसिटर प्रारंभ में पूरी तरह से डिस्चार्ज है और स्विच (K) को बहुत लंबे समय तक खुला रखा गया है और इसे $t=0$ पर बंद किया जाता है।

Force Response Of Driven Series R C Circuit

पर $t=0^-$ स्विच K खुला है

यह एक प्रारंभिक स्थिति है, इसलिए हम लिख सकते हैं,

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

क्योंकि कैपेसिटर के साथ वोल्टेज तत्काल बदल नहीं सकता।

सभी के लिए $t\geq0$ स्विच K बंद है।

अब वोल्टेज स्रोत परिपथ में पेश किया गया है। इसलिए परिपथ पर KVL लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

अब i(t) कैपेसिटर से गुजरने वाला विद्युत धारा है और इसे कैपेसिटर पर वोल्टेज के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

इसे समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

चरों को अलग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

जहाँ $K^'$ एक स्वेच्छ नियतांक है

K' खोजने के लिए: प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हुए अर्थात् समीकरण (1) को समीकरण (3) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

समीकरण (3) में K' का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_s - V_c (t)] - \ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([\ln[a] - \ln[b] = \ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

लघुगणक लेने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

उपरोक्त समीकरण प्रथम-क्रम अंतर समीकरण का समाधान दर्शाता है जो एक श्रृंखला R-C सर्किट का है।

उपरोक्त प्रतिक्रिया स्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया और अस्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया का संयोजन है।

स्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया अर्थात् $V_S$

और अस्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया अर्थात् $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

स्रोत-मुक्त श्रृंखला RC सर्किट की प्राकृतिक प्रतिक्रिया

स्रोत-मुक्त प्रतिक्रिया एक कैपेसिटर के डिस्चार्ज को उसके साथ श्रृंखला में रखे रिजिस्टर के माध्यम से दर्शाती है।

स्रोत रहित श्रृंखला R C सर्किट की प्राकृतिक प्रतिक्रिया

सभी के लिए $t>=0^+$ स्विच K बंद है

उपरोक्त सर्किट पर KVL लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

समीकरण (6) में इस धारा का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

चरों को अलग करने पर हमें मिलता है

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

दोनों तरफ समाकलन करने पर

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

जहाँ $K^'$ एक अचर है

को ज्ञात करने के लिए $K^'$ : प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करके, अर्थात् समीकरण (1) को समीकरण (7) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

समीकरण (7) में $K^'$ का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} लॉग [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + लॉग[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} लॉग [V_c (t)] - लॉग[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} लॉग \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

लॉग को हटाने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

उपरोक्त समीकरण श्रृंखला RC सर्किट के प्राकृतिक प्रतिक्रिया को दर्शाता है।

अब, कुल प्रतिक्रिया = बलित प्रतिक्रिया + प्राकृतिक प्रतिक्रिया

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

जहाँ, $V_S$ स्टेप वोल्टेज है।

$V_0$ कैपासिटर पर प्रारंभिक वोल्टेज है।

आर-सी सर्किट का समय नियतांक

आर-सी सर्किट का समय नियतांक उस समय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके दौरान कंडेनसर पर वोल्टेज अपने अंतिम स्थिरावस्था मान तक पहुंच जाएगा।

एक समय नियतांक वोल्टेज को 0.632 गुना स्थिरावस्था मान तक बढ़ने के लिए या धारा को 0.368 गुना स्थिरावस्था मान तक घटने के लिए आवश्यक समय होता है।

आर-सी सर्किट का समय नियतांक प्रतिरोध और क्षमता के गुणनफल के बराबर होता है।

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

इसकी इकाई सेकंड है।

आर-सी सर्किट फ्रीक्वेंसी प्रतिक्रिया

प्रतिरोध विधि का उपयोग करके: फ्रीक्वेंसी प्रतिक्रिया प्रणाली के लिए सामान्य समीकरण है

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

अब उपरोक्त परिपथ में संभावित विभाजक नियम लागू करें

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

जहाँ, $Z_C$ = कैपसिटर का इम्पीडन्स

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

समीकरण (10) में इसको प्रतिस्थापित करें, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

उपरोक्त प्रतिक्रिया एक R-C सर्किट की आवृत्ति प्रतिक्रिया समिश्र रूप में है।

RC सर्किट अंतर समीकरण

RC चार्जिंग सर्किट अंतर समीकरण

कैपेसिटर पर वोल्टेज दिया गया है

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

अब कैपेसिटर में धारा इस प्रकार दी जाती है

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC डिस्चार्जिंग सर्किट डिफ़ेरेंशियल समीकरण

कैपेसिटर पर वोल्टेज निम्न द्वारा दी गई है

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

अब कैपेसिटर में धारा निम्न द्वारा दी गई है

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC सर्किट चार्जिंग और डिस्चार्जिंग

RC सर्किट चार्जिंग

चित्र में एक सरल आर-सी सर्किट दिखाया गया है, जिसमें कंडेनसर (C), एक प्रतिरोधक (R) के साथ श्रृंखला में जुड़ा हुआ है, जो डीसी वोल्टेज सोर्स से एक यांत्रिक स्विच (K) द्वारा जुड़ा हुआ है। कंडेनसर शुरुआत में अनचार्ज्ड होता है। जब स्विच K बंद किया जाता है, तो कंडेनसर प्रतिरोधक के माध्यम से धीरे-धीरे चार्ज होना शुरू कर देता है, जब तक कि कंडेनसर पर वोल्टेज सप्लाई वोल्टेज सोर्स के बराबर नहीं हो जाता। कंडेनसर के प्लेटों पर चार्ज Q = CV दिया गया है।

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

उपरोक्त समीकरण से स्पष्ट है कि कंडेनसर वोल्टेज घातांकीय रूप से बढ़ता है।

जहाँ,

$V_C$ कंडेनसर पर वोल्टेज है
$V$ सप्लाई वोल्टेज है।

RC आर-सी चार्जिंग सर्किट का समय नियतांक है। अर्थात् $\tau = R C$

समीकरण (11) और (12) में समय t के विभिन्न मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें कैपासिटर चार्जिंग वोल्टेज प्राप्त होता है, अर्थात्

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

और कैपासिटर चार्जिंग धारा

$\begin{align*} t = \tau \,\, तब \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (जहाँ, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, तब \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, तब \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, तब \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

कैपासिटर पर वोल्टेज का परिवर्तन $V_C(t)$ और कैपासिटर में धारा $i(t)$ समय के फलन के रूप में चित्र में दिखाया गया है।

इस प्रकार R-C चार्जिंग सर्किट में, यदि कैपासिटर पर वोल्टेज घातांकीय रूप से बढ़ता है, तो कैपासिटर में धारा उसी दर से घातांकीय रूप से कम होती है। जब कैपासिटर पर वोल्टेज स्थिर-अवस्था मान तक पहुंचता है, तो धारा शून्य मान तक कम हो जाती है।

RC सर्किट डिसचार्जिंग

यदि पूरी तरह से चार्ज किया गया कैपासिटर अब बैटरी सप्लाइ वोल्टेज से अलग कर दिया जाए, तो चार्जिंग प्रक्रिया के दौरान कैपासिटर में भंडारित ऊर्जा अपने प्लेट पर अनिश्चित काल तक रहेगी, जिससे इसके टर्मिनल पर भंडारित वोल्टेज एक स्थिर मान पर रहेगा।

अब यदि बैटरी को एक शॉर्ट सर्किट से बदल दिया जाए और स्विच बंद कर दिया जाए, तो कैपासिटर रेसिस्टर के माध्यम से डिसचार्ज होगा, अब हमारे पास RC डिसचार्जिंग सर्किट कहलाने वाला एक सर्किट है।

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

उपरोक्त समीकरण से स्पष्ट है कि कंडेनसर वोल्टेज घातांकीय रूप से घटता है। इसका अर्थ है कि R-C परिपथ में विसर्जन के दौरान, कंडेनसर श्रेणी में रखे रेझिस्टर R के माध्यम से विसर्जित होता है। अब R-C चार्जिंग परिपथ और R-C विसर्जन परिपथ का समय नियतांक समान होता है और यह है

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

अब समीकरण (13) और (14) में समय t के विभिन्न मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम कंडेनसर विसर्जन वोल्टेज प्राप्त करते हैं, जो है

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

कैपसिटर पर वोल्टेज का परिवर्तन $V_C(t)$ समय के फलन के रूप में चित्र में दिखाया गया है।

इस प्रकार, R-C डिसचार्जिंग सर्किट में, अगर कैपसिटर पर वोल्टेज घातीय रूप से घटता है, तो कैपसिटर के माध्यम से धारा उसी दर से घातीय रूप से बढ़ती है। जब कैपसिटर पर वोल्टेज शून्य मान पर पहुंचता है, तो धारा एक स्थिर-अवस्था मान पर पहुंचती है।

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