Ανάλυση RC Κύκλωμα: Σειριακά, Παράλληλα, Εξισώσεις και Συνάρτηση Μεταφοράς

Electrical4u

Πεδίο: Βασική ηλεκτροτεχνία

China

Τι είναι ένα RC Circuit;

Ένα RC περιβάλλον (επίσης γνωστό ως RC φίλτρο ή RC δίκτυο) σημαίνει ένα περιβάλλον αντιστοιχίας-καταθέσεων. Ένα RC περιβάλλον ορίζεται ως ένα ηλεκτρικό περιβάλλον αποτελούμενο από τα παθητικά στοιχεία περιβάλλοντος μιας αντιστοιχίας (R) και καταθέσεων (C), τα οποία ενεργοποιούνται από μια πηγή τάσης ή πηγή ρεύματος.

Λόγω της παρουσίας της αντιστοιχίας στην ιδεαλική μορφή του περιβάλλοντος, ένα RC περιβάλλον θα καταναλώνει ενέργεια, όπως και ένα RL περιβάλλον ή RLC περιβάλλον.

Αυτό διαφέρει από την ιδεαλική μορφή ενός LC περιβάλλοντος, το οποίο δεν θα καταναλώσει ενέργεια λόγω της απουσίας της αντιστοιχίας. Αν και αυτό ισχύει μόνο στην ιδεαλική μορφή του περιβάλλοντος, και στην πράξη, ακόμη και ένα LC περιβάλλον θα καταναλώσει μερική ενέργεια λόγω της μη μηδενικής αντίστασης των συστατικών και των συνδετικών καλωδίων.

Σειριακό RC περιβάλλον

Σε ένα σειριακό πείραμα RC, ένας καθαρός αντιστάτης με αντίσταση R σε Ω και ένας καθαρός καταστηματοφύλακας με δυναμικό C σε Farads είναι συνδεδεμένοι σε σειρά.

Εδώ $I$ είναι το RMS value του ρεύματος στο πείραμα.

$V_R$ είναι η τάση στον αντιστάτη R.

$V_C$ είναι η τάση στον καταστηματοφύλακα C.

$V$ είναι το RMS value της τάσης εφοδιασμού.

Η σχήμα δείχνει ένα διάγραμμα διανυσμάτων του σειριακού πειράματος RC.

Επειδή σε μια σειριακή σύνδεση ο ρεύματος $'I'$ είναι ο ίδιος, λαμβάνεται ως αναφορά.

$V_R = IR$ σχεδιάζεται σε φάση με το ρεύμα $'I'$ διότι σε έναν καθαρό αντιστάτη το δένδρο και το ρεύμα είναι σε φάση μεταξύ τους.

$V_C=I X_C$ σχεδιάζεται να υστερεί από την τρέχουσα $'I'$ κατά $90^0$ επειδή σε έναν καθαρό κατασταλτή η τάση και η τρέχουσα είναι $90^0$ μεταξύ τους δηλαδή η τάση υστερεί την τρέχουσα κατά $90^0$ ή η τρέχουσα προηγείται της τάσης κατά $90^0$ .

Τώρα $V$ είναι η διανυσματική αθροίσεις των $V_R$ και $V_C$ .

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

Η αντίσταση ενός σειριακού περιβάλλοντος R-C είναι

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

Η τάση και το αντίσταση εμφανίζονται στο διάγραμμα.

Όπως φαίνεται, ο διάνυσμα $V$ υστερεί από το $I$ με γωνία ø όπου

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

Έτσι, σε ένα αλυσιδωτό κύκλωμα R-C, ο ρευστός $'I'$ προηγείται της εφοδιαστικής τάσης $'V'$ με γωνία

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

Οι κύματα τάσης και ρεύματος στο σύρμανο R-C είναι απεικονισμένα στο παρακάτω σχήμα.

Ισχύ σε Σύρμανο RC

Η στιγμιότυπη τιμή της ισχύος είναι το γινόμενο των στιγμιότυπων τιμών της τάσης και του ρεύματος

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [where, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, because \,\, cos \,\, curve \,\, is \,\, symmetric] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

Άρα, η στιγμιότυπη ισχύ αποτελείται από δύο μέρη.

1. Μια σταθερή συνιστώσα = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. Μια μεταβαλλόμενη συνιστώσα = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ η οποία μεταβάλλεται με διπλάσια συχνότητα της εφοδιαστικής συχνότητας.

Η μέση τιμή της μεταβαλλόμενης συνιστώσας ισχύου κατά τη διάρκεια ενός πλήρους κύκλου είναι μηδέν.

Άρα, η μέση ισχύς που καταναλώνεται σε έναν σειριακό κύκλο RC κατά τη διάρκεια ενός κύκλου είναι

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

Όπου $V$ και $I$ είναι τις τιμές RMS της εφαρμοσμένης τάσης και του ρεύματος στο πείραμα.

Συντελεστής Ισχύος σε Σειριακό RC Πείραμα

Εξετάστε το σχήμα που δείχνει τα δυνάμεις και αντιστάσεις τριγώνων.

Τρίγωνο Δυνάμεων και Τρίγωνο Αντιστάσεων

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (συντελεστής \,\, δυνάμεως) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (ενεργή \,\, δύναμη)\,\,} {S \,\, (εμφανής \,\, δύναμη)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

Παράλληλο RC Πείραμα

Σε ένα παράλληλο R-C κύκλωμα, ένας καθαρός αντιστοιχός με αντίσταση $R$ σε Ω (Ω) και ένας καθαρός καταστηματοφόρος με ικανότητα $C$ σε Farads είναι συνδεδεμένοι παράλληλα.

Τα ρίχνεια τάσης σε ένα παράλληλο RC κύκλωμα είναι τα ίδια, άρα η εφαρμοσμένη τάση είναι ίση με την τάση στον αντιστοιχό και την τάση στον καταστηματοφόρο. Η διάρρηξη σε ένα παράλληλο R-C κύκλωμα είναι η άθροιση της διάρρηξης μέσω του αντιστοιχού και του καταστηματοφόρου.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

Για τον αντιστάτη, ο ρεύματα που διέρχεται μέσα του δίνεται από το νόμο του Όμ:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

Η σχέση τάσης-ρεύματος για το καταθετή είναι:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

Εφαρμόζοντας τον KCL (Νόμο του Kirchhoff για το ρεύμα) στο παράλληλο R-C κύκλωμα

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

Η παραπάνω εξίσωση είναι η διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ενός R-C κύκλου.

Μεταφορτική συνάρτηση του παράλληλου RC κυκλώματος:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

Εξισώσεις RC κυκλώματος

Ο παρασιτικός C συμπεριφέρεται ως $\frac {1} {sC}$ στον χώρο συχνοτήτων με πηγή τάσης $\frac {vC(0^-)} {s}$ σε σειρά με αυτό, όπου $vC (0^-)$ είναι η αρχική τάση στον παρασιτικό.

Αντίσταση: Η πεπλεγμένη αντίσταση, $Z_C$ ενός κυματοδοχείου C είναι

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ αντιπροσωπεύει το φανταστικό μέρος $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ αντιπροσωπεύει τη συνημιτονοειδή γωνιακή συχνότητα (ραδιανά ανά δευτερόλεπτο)

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

Τρέχων Ρεύμα: Το ρεύμα είναι το ίδιο σε όλη τη σειριακή R-C διάταξη.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Τάση: Εφαρμόζοντας τον κανόνα του διαιρέτη τάσης, η τάση στο καταστρώματος είναι:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

και η τάση στο αντίστατο είναι:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

Ρεύμα RC Διατάξης

Το ρεύμα είναι το ίδιο σε όλη τη σειριακή R-C διάταξη.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Μεταφορική Συνάρτηση του RC Circuit

Η μεταφορική συνάρτηση από την εισαγωγική τάση στην τάση πέραν του καταστρώματος είναι

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

Παρόμοια, η μεταφορική συνάρτηση από την εισαγωγική τάση στην τάση πέραν του αντιστοιχού είναι

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

Απόκριση Βήματος του RC Circuit

Όταν κάτι αλλάζει σε έναν πύκνο, όπως όταν ένας διαχωριστής κλείνει, η τάση και ο ρεύματα επίσης αλλάζουν και προσαρμόζονται στις νέες συνθήκες. Εάν η αλλαγή είναι ένα ξαφνικό βήμα, η απόκριση ονομάζεται απόκριση βήματος.

Η συνολική απόκριση ενός περιβάλλοντος είναι ίση με την αναγκασμένη απόκριση πλέον της φυσικής απόκρισης. Αυτές οι αποκρίσεις μπορούν να συνδυαστούν χρησιμοποιώντας την αρχή της υπερθέσεως.

Η αναγκασμένη απόκριση είναι μια απόκριση στην οποία η πηγή εφοδιασμού είναι ενεργή, αλλά οι αρχικές συνθήκες (εσωτερική αποθηκευμένη ενέργεια) υποθέτονται ότι είναι μηδενικές.

Η φυσική απόκριση είναι μια απόκριση στην οποία η πηγή εφοδιασμού είναι ανενεργή, αλλά το περιβάλλον περιλαμβάνει τις αρχικές συνθήκες (αρχική τάση στους καταστηματοθέτες και ρεύμα στους διασπωμένους). Η φυσική απόκριση ονομάζεται επίσης απόκριση μηδενικής εισόδου, επειδή η πηγή εφοδιασμού είναι ανενεργή.

Επομένως, συνολική απόκριση = αναγκασμένη απόκριση + φυσική απόκριση

Τι είναι μια Αρχική Συνθήκη?

Στην περίπτωση ενός διασπωμένου, το ρεύμα μέσα του δεν μπορεί να αλλάξει αυθαίρετα. Αυτό σημαίνει ότι το ρεύμα μέσα στον διασπωμένο στη στιγμή $t=0^-$ θα παραμείνει το ίδιο αμέσως μετά τη μετάβαση στη στιγμή $t=0^+$ . δηλαδή,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

Στην περίπτωση ενός καταθρεπτή, η τάση στον καταθρέπτη δεν μπορεί να αλλάξει αμέσως. Αυτό σημαίνει ότι η τάση στον καταθρέπτη στη στιγμή $t=0^-$ θα παραμείνει η ίδια αμέσως μετά τη μετάβαση στη στιγμή $t=0^+$ . δηλαδή,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

Εξαναγκασμένη Απόκριση Οδηγούμενου Σειριακού RC Περιβάλλοντος

Υποθέτουμε ότι ο καταθρέπτης είναι αρχικά εντελώς αφορημένος και ο διακόπτης (K) είναι ανοιχτός για πολύ μεγάλο διάστημα και κλείνει στη στιγμή $t=0$ .

Στο $t=0^-$ ο διαχειριστής K είναι ανοιχτός

Αυτή είναι μια αρχική συνθήκη, άρα μπορούμε να γράψουμε,

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

Επειδή η τάση πάνω στο καταναλωτή δεν μπορεί να αλλάξει απότομα.

Για όλα τα $t\geq0$ ο διαχειριστής K είναι κλειστός.

Τώρα, ο πηγής τάσης εισάγεται στο περιβάλλον. Άρα, εφαρμόζοντας τον Κύκλο Βολτικής Τάσης (KVL) στο περιβάλλον, παίρνουμε,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

Τώρα, το i(t) είναι ο ρεύματος διάφορος μέσω του καταστηματικού και μπορεί να εκφραστεί σε όρους της τάσης πλευράς του καταστηματικού ως

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

Αντικαθιστώντας αυτό στην εξίσωση (2), παίρνουμε,

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

Χωρίζοντας τις μεταβλητές, παίρνουμε

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

Ολοκληρώνοντας και τις δύο πλευρές

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

όπου $K^'$ είναι η αυθαίρετη σταθερά

Για να βρούμε $K'$ : Χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη δηλαδή εισάγοντας την εξίσωση (1) στην εξίσωση (3), παίρνουμε,

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

Εισάγοντας την τιμή του K’ στην εξίσωση (3) παίρνουμε,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_s - V_c (t)] - ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([ln[a] - ln[b] = ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Παίρνοντας το αντιλόγιο, παίρνουμε,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

Η παραπάνω εξίσωση δείχνει τη λύση μιας πρώτης τάξης διαφορικής εξίσωσης ενός σειριακού R-C κυκλώματος.

Η παραπάνω απάντηση είναι μια συνδυασμός σταθερής απόκρισης δηλαδή $V_S$

και προσωρινής απόκρισης δηλαδή $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

Φυσική Απόκριση Ελεύθερου Πηγής Σειριακού RC Κυκλώματος

Η απόκριση χωρίς πηγή είναι η απορρόφηση ενός καταναλωτή μέσω ενός αντιστοιχού σε σειρά με αυτόν.

Φυσική Απόκριση Σειριακού Πηνίου R-C χωρίς Πηγή

Για όλα τα $t>=0^+$ το στροφίδα K είναι κλειστή

Εφαρμόζοντας τον Νόμο της Κύκλωσης Τάσης (KVL) στο παραπάνω πηνίο, παίρνουμε,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή της τρέχουσας στην εξίσωση (6), παίρνουμε,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

Χωρίζοντας τις μεταβλητές, παίρνουμε

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

Ολοκληρώνοντας και τις δύο πλευρές

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

Όπου $K^'$ είναι τυχαίος σταθερός

Για να βρεθεί $K^'$ : Χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη, δηλαδή προσάρτηση της εξίσωσης (1) στην εξίσωση (7), παίρνουμε,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

Αντικαθιστώντας την τιμή του $K^'$ στην εξίσωση (7) παίρνουμε,

$\begin{align*} \ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + \ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_c (t)] - \ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Παίρνοντας το αντίστροφο λογάριθμο, παίρνουμε,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

Η παραπάνω εξίσωση δείχνει τη φυσική απόκριση του σειριακού RC κύκλου.

Τώρα, η συνολική απόκριση = αναγκασμένη απόκριση + φυσική απόκριση

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

Όπου, $V_S$ είναι το βήμα τάσης.

$V_0$ είναι η αρχική τάση στο χωματίδιο.

Χρονική Σταθερά RC Κύκλου

Η χρονική σταθερά ενός κυκλώματος R-C μπορεί να οριστεί ως η περίοδος χρόνου κατά την οποία η τάση πάνω από το καταστηματικό θα φτάσει στην τελική σταθερή τιμή της.

Μία χρονική σταθερά είναι η περίοδος χρόνου που απαιτείται για την τάση να αυξηθεί 0,632 φορές τη σταθερή τιμή ή η περίοδος χρόνου που απαιτείται για την τροποποίηση του ρεύματος να μειωθεί 0,368 φορές τη σταθερή τιμή.

Η χρονική σταθερά του κυκλώματος R-C είναι το γινόμενο της αντίστασης και της καταστηματικής.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Η μονάδα της είναι δευτερόλεπτο.

Απόκριση Συχνότητας RC Κυκλώματος

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Αντίστασης: Γενική εξίσωση για την απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

Τώρα εφαρμόστε τον κανόνα του διαιρέτη πίεσης στο παραπάνω κύκλωμα

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

Όπου, $Z_C$ = Αντίσταση του υπολογιστή

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

Αντικαταστήστε αυτό στην εξίσωση (10), παίρνουμε,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

Η παραπάνω απάντηση είναι η συχνοτητική απόκριση ενός κύκλου R-C σε μιγαδική μορφή.

Διαφορική Εξίσωση Κύκλου RC

Διαφορική Εξίσωση Φόρτισης Κύκλου RC

Η τάση στο χωρητό δίνεται από

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Τώρα η ροή διέλευσης του καταναλωτή είναι δεδομένη από

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Διαφορική Εξίσωση Κύκλου Αποφόρτωσης RC

Η τάση στο καταθετήριο δίνεται από

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Τώρα ο ρεύματος που διέρχεται μέσω του καταθετηρίου δίνεται από

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Φόρτιση και ξεφόρτιση RC περιβάλλοντος

Φόρτιση RC περιβάλλοντος

Η εικόνα δείχνει το απλό κύκλωμα R-C, στο οποίο η καταναλωτής (C), σε σειρά με έναν αντίστοιχο (R) που είναι συνδεδεμένος με την πηγή ΧΜ όριας μέσω ενός μηχανικού τελευταίου (K). Η καταναλωτής είναι αρχικά αφορτημένη. Όταν ο τελευταίος K κλείνει, η καταναλωτής θα φορτίζεται σταδιακά μέσω του αντίστοιχου μέχρι το όριο στην καταναλωτής να γίνει ίσο με το όριο της πηγής ροής. Η φορτία στα πλάτη της καταναλωτής δίνεται ως Q = CV.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

Από την παραπάνω εξίσωση, είναι σαφές ότι το όριο της καταναλωτής αυξάνεται εκθετικά.

Όπου,

$V_C$ είναι το όριο στην καταναλωτής
$V$ είναι το όριο της πηγής ροής.

Το RC είναι η χρονική σταθερά του κυκλώματος φόρτισης R-C. δηλαδή $\tau = R C$

Αντικαταστήστε διάφορες τιμές χρόνου t στις εξισώσεις (11) και (12), παίρνουμε την τάση φόρτισης του καπασίτορα, δηλαδή

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

και η ροή φόρτισης του καπασίτορα

$\begin{align*} t = \tau \,\, τότε \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (όπου, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, τότε \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, τότε \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, τότε \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

Η μεταβολή της τάσης στο κόνδυλο $V_C(t)$ και η διάρροη στο κόνδυλο $i(t)$ ως συνάρτηση του χρόνου είναι απεικονισμένη στο διάγραμμα.

Έτσι, σε έναν προσαρμοστικό πύκνωσης R-C, αν η τάση στο κόνδυλο αυξάνεται εκθετικά, η διάρροη στο κόνδυλο μειώνεται εκθετικά με τον ίδιο ρυθμό. Όταν η τάση στο κόνδυλο φθάνει στη σταθερή τιμή, η διάρροη μειώνεται σε μηδενική τιμή.

Αποφόρτωση πυκνωτικού κύκλου RC

Εάν ένας πλήρως φορτισμένος κόνδυλος αποσυνδέεται από την τάση της μπαταρίας, η ενέργεια που έχει αποθηκευτεί στον κόνδυλο κατά τη διάρκεια της φορτίασης θα παραμείνει αυτόνομα στις πλάκες του, διατηρώντας την τάση που έχει αποθηκευτεί στα άκρη του σε σταθερή τιμή.

Τώρα, αν η μπαταρία αντικατασταθεί από έναν σύνδεσμο και όταν το βουτώμα κλείσει, ο κόνδυλος θα αποφορτίσει μέσω του αντιστοιχού, και τότε έχουμε έναν κύκλο που ονομάζεται αποφορτιστικός κύκλος RC.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

Από την παραπάνω εξίσωση, είναι σαφές ότι η τάση του καταθετήρα μειώνεται εκθετικά. Αυτό σημαίνει ότι κατά την έκρηξη του κυκλώματος R-C, ο καταθέτης εκρήγνυται μέσω του αντιστάτη R σε διαδοχή με αυτόν. Τώρα, η σταθερά χρόνου του κυκλώματος φόρτισης R-C και του κυκλώματος έκρηξης R-C είναι η ίδια και είναι

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Εάν αντικαταστήσουμε διάφορες τιμές του χρόνου t στις εξισώσεις (13) και (14), παίρνουμε την τάση έκρηξης του καταθετή, δηλαδή

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

Η μεταβολή της τάσης στο κόνδυλο $V_C(t)$ ως συνάρτηση του χρόνου είναι δεικτική στο γράφημα.

Μεταβολή της Τάσης Σε Σχέση Με τον Χρόνο

Έτσι, στο πλάθος R-C αποφόρτισης, όπως και στο πλάθος φόρτισης, αν η τάση στο κόνδυλο μειώνεται εκθετικά, ο ρεύματας διαμέσου του κόνδυλου αυξάνεται εκθετικά με το ίδιο ρυθμό. Όταν η τάση στο κόνδυλο φτάνει σε μηδενική τιμή, το ρεύμα φτάνει σε σταθερή τιμή.

Δήλωση: Σεβαστείτε το αρχικό, καλά άρθρα αξίζει να μοιραστούν, αν υπάρχει παραβίαση δικαιωμάτων συνδέσθε για διαγραφή.

Δώστε μια δωροδοσία και ενθαρρύνετε τον συγγραφέα

Θέματα:

Θεωρία Κυκλώματος

Κύκλωμα RLC

Σχετικά με τους εμπειρογνώμονες

Electrical4u

China