RC 회로 분석: 직렬, 병렬, 방정식 및 전달 함수

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필드: 기본 전기학

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RC 회로란 무엇인가?

RC 회로(또는 RC 필터 또는 RC 네트워크)는 저항- kondensator 회로를 의미합니다. RC 회로는 전기 회로로서, 수동 회로 구성 요소인 저항(R)과 콘덴서(C)로 구성되며, 전압 소스나 전류 소스에 의해 구동됩니다.

회로의 이상적인 형태에서 저항이 존재하기 때문에, RC 회로는 RL 회로나 RLC 회로와 마찬가지로 에너지를 소비합니다.

이는 저항이 없기 때문에 에너지를 전혀 소비하지 않는 LC 회로의 이상적인 형태와 다릅니다. 그러나 이는 회로의 이상적인 형태일 뿐이며, 실제로는 LC 회로도 구성 요소와 연결선의 0이 아닌 저항 때문에 일부 에너지를 소비하게 됩니다.

직렬 RC 회로

RC 직렬 회로에서 저항 R(옴)과 용량 C(파라드)의 순수한 커패시터가 직렬로 연결됩니다.

여기서 $I$ 는 회로의 전류 RMS 값입니다.

$V_R$ 는 저항 R에 걸린 전압입니다.

$V_C$ 는 커패시터 C에 걸린 전압입니다.

$V$ 는 공급 전압의 RMS 값입니다.

그림은 직렬 RC 회로의 벡터 다이어그램을 보여줍니다.

직렬 회로에서 전류 $'I'$ 가 동일하므로 이를 기준으로 취합니다.

$V_R = IR$ 는 전류 $'I'$ 와 위상이 일치하게 그려집니다. 순수한 저항에서는 전압과 전류가 서로 위상이 일치하기 때문입니다.

$V_C=I X_C$ 는 전류 $'I'$ 에 의해 $90^0$ 만큼 지연되어 그려집니다. 순수한 콘덴서에서 전압과 전류는 서로 $90^0$ 만큼 떨어져 있습니다. 즉, 전압이 전류보다 $90^0$ 만큼 뒤처지거나 또는 전류가 전압보다 $90^0$ 만큼 앞섭니다.

이제 $V$ 는 $V_R$ 와 $V_C$ 의 벡터 합입니다.

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

R-C 직렬 회로의 임피던스는 다음과 같습니다.

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

전압과 임피던스 삼각형이 그림에 표시되어 있습니다.

보시다시피, 벡터 $V$ 는 각도 ø만큼 $I$ 보다 뒤처져 있으며,

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

따라서 R-C 직렬 회로에서 전류 $'I'$ 는 공급 전압 $'V'$ 보다 각도로 앞서 있습니다

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

R-C 직렬 회로의 전압과 전류 파형은 그림에서 보여집니다.

RC 직렬 회로의 전력

순간적인 전력 값은 전력의 순간적인 값은 전압과 전류의 순간적인 값의 곱입니다.

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [where, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, because \,\, cos \,\, curve \,\, is \,\, symmetric] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

따라서 순간적인 전력은 두 부분으로 구성됩니다.

1. 일정한 부분 = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. 변하는 부분 = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ 이는 공급 주파수의 두 배로 변합니다.

변하는 전력 성분의 한 주기 동안의 평균값은 0입니다.

따라서 RC 직렬 회로에서 한 주기 동안 소비되는 평균 전력은

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

여기서 $V$ 와 $I$ 는 회로에서 적용된 전압과 전류의 RMS 값입니다.

RC 직렬 회로의 전력 인자

전력과 임피던스 삼각형을 보여주는 그림을 고려해보세요.

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (power \,\, factor) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (active \,\, power)\,\,} {S \,\, (apparent \,\, power)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

병렬 RC 회로

병렬 R-C 회로에서 순수한 저항은 저항 $R$ (옴)과 순수한 콘덴서의 용량 $C$ (파라드)가 병렬로 연결됩니다.

병렬 RC 회로에서 전압 강하는 동일하므로 적용된 전압은 저항을 통과하는 전압과 콘덴서를 통과하는 전압과 같습니다. 병렬 R-C 회로에서의 전류는 저항을 통과하는 전류와 콘덴서를 통과하는 전류의 합입니다.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

저항을 통과하는 전류는 오옴의 법칙에 의해 다음과 같이 주어집니다:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

콘덴서의 전압-전류 관계는 다음과 같습니다:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

평행 R-C 회로에 대해 KCL (키르히호프의 전류 법칙)을 적용하면

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

위의 방정식은 R-C 회로의 1차 미분방정식입니다.

병렬 RC 회로의 전달 함수:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

RC 회로 방정식

전압원 $\frac {vC(0^-)} {s}$ 과 직렬로 연결된 캐패시터 C는 주파수 영역에서 $\frac {1} {sC}$ 으로 작동합니다. 여기서 $vC (0^-)$ 는 캐패시터에 걸린 초기 전압입니다.

임피던스: 커패시터 C의 복소 임피던스 $Z_C$ 는 다음과 같습니다

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ 는 허수부를 나타냅니다 $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ 는 사인파 각주파수(초당 라디안)를 나타냅니다

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

전류: 직렬 R-C 회로에서 전류는 모든 곳에서 동일합니다.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

전압: 전압 분배 규칙을 적용하면 커패시터의 전압은 다음과 같습니다.

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

그리고 저항의 전압은 다음과 같습니다.

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

RC 회로 전류

직렬 R-C 회로에서 전류는 모든 곳에서 동일합니다.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

RC 회로의 전달 함수

입력 전압에서 콘덴서를 가로지르는 전압까지의 전달 함수는 다음과 같습니다

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

마찬가지로 입력 전압에서 저항을 가로지르는 전압까지의 전달 함수는 다음과 같습니다

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

RC 회로의 스텝 응답

회로에서 스위치가 닫힐 때와 같이 변화가 발생하면 전압과 전류도 새로운 조건에 맞게 조정됩니다. 이러한 변화가 갑작스러운 단계라면 그 응답은 스텝 응답이라고 합니다.

회로의 총 응답은 강제 응답과 자연 응답의 합입니다. 이러한 응답들은 중첩 원리를 사용하여 결합할 수 있습니다.

강제 응답은 공급원이 켜져 있지만 초기 조건(내부 저장 에너지)이 0으로 가정되는 경우입니다.

자연 응답은 공급원이 꺼져 있지만 회로는 초기 조건( kondensator의 초기 전압과 인덕터의 초기 전류)을 포함하는 경우입니다. 자연 응답은 공급원이 꺼져 있기 때문에 영 입력 응답이라고도 합니다.

따라서, 총 응답 = 강제 응답 + 자연 응답

초기 조건이란?

인덕터의 경우, 이를 통과하는 전류는 즉시 변경될 수 없습니다. 즉, 인덕터를 통과하는 전류는 순간 $t=0^-$ 에서와 같이 전환 직후에 동일하게 유지됩니다. 즉,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

콘덴서의 경우 콘덴서에 걸리는 전압은 즉시 변경될 수 없습니다. 즉, $t=0^-$ 시점에서의 콘덴서에 걸리는 전압은 $t=0^+$ 시점에서의 전환 후에도 동일하게 유지됩니다. 즉,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

구동된 직렬 RC 회로의 강제 응답

콘덴서가 초기에 완전히 방전되어 있으며 스위치(K)가 매우 오랜 시간 동안 열려 있었고, $t=0$ 시점에서 닫혔다고 가정해봅시다.

t=0^- 에서 스위치 K가 열려 있습니다.

이는 초기 조건이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

kondensator의 전압은 즉시 변경될 수 없습니다.

모든 $t\geq0$ 에 대해 스위치 K는 닫힙니다.

이제 회로에 전압 소스가 도입되었습니다. 따라서 회로에 KVL을 적용하면 다음과 같습니다.

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

이제 i(t)는 콘덴서를 통과하는 전류이며, 이는 콘덴서 양단의 전압으로 표현할 수 있습니다.

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

이를 식 (2)에 대입하면 다음과 같습니다.

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

변수를 분리하면 다음과 같이 됩니다

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

양쪽을 적분합니다

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

여기서 $K^'$ 는 임의의 상수입니다

K'를 찾기 위해: 초기 조건을 사용하여, 즉 식 (1)을 식 (3)에 대입하면, 다음과 같은 결과가 얻어집니다.

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

K'의 값을 식 (3)에 대입하면,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_s - V_c (t)] - \ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([\ln[a] - \ln[b] = \ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

로그를 취하면 다음과 같이 됩니다.

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

위의 식은 직렬 R-C 회로의 1차 미분 방정식의 해를 나타냅니다.

위의 응답은 정상 상태 응답 즉, $V_S$

과 일시적 응답 즉, $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

전원 없는 직렬 RC 회로의 자연 응답

전원 없는 응답은 콘덴서가 직렬로 연결된 저항을 통해 방전되는 것입니다.

모든 $t>=0^+$ 스위치 K는 닫혀있다

위 회로에 KVL을 적용하면 다음과 같다

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

이 전류 값을 식 (6)에 대입하면 다음과 같다

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

변수를 분리하면 다음과 같습니다

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

양쪽을 적분하면

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

여기서 $K^'$ 는 임의의 상수입니다

을 찾기 위해: 초기 조건을 사용하여, 즉 식 (1)을 식 (7)에 대입하면,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

의 값을 식 (7)에 대입하면,

$\begin{align*} ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] - ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

역로그를 취하면 다음과 같다.

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

위의 방정식은 직렬 RC 회로의 자연 응답을 나타냅니다.

이제 전체 응답 = 강제 응답 + 자연 응답

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

여기서, $V_S$ 는 계단 전압입니다.

$V_0$ 는 커패시터에 걸려 있는 초기 전압입니다.

RC 회로의 시간 상수

RC 회로의 시간 상수는 콘덴서에 걸린 전압이 최종 정상 상태 값에 도달하는 데 필요한 시간으로 정의할 수 있습니다.

한 시간 상수는 전압이 정상 상태 값의 0.632배로 상승하거나 전류가 정상 상태 값의 0.368배로 감소하는 데 필요한 시간입니다.

RC 회로의 시간 상수는 저항과 용량의 곱입니다.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

그 단위는 초입니다.

RC 회로 주파수 응답

임피던스 방법 사용: 주파수 응답 시스템의 일반 방정식은

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

이제 위 회로에 전압 분배 규칙을 적용해보겠습니다

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

여기서, $Z_C$ = 커패시터의 임피던스

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

이를 식 (10)에 대입하면 다음과 같습니다.

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

위의 응답은 복소수 형태의 R-C 회로의 주파수 응답입니다.

RC 회로 미분 방정식

RC 충전 회로 미분 방정식

콘덴서에 걸리는 전압은 다음과 같습니다

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

이제 커패시터를 통과하는 전류는 다음과 같이 주어집니다

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC 회로 방전 미분 방정식

콘덴서를 가로지르는 전압은 다음과 같이 주어집니다

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

이제 콘덴서를 통과하는 전류는 다음과 같이 주어집니다

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC 회로 충전 및 방전

RC 회로 충전

그림은 콘덴서 (C)가 저항 (R)과 직렬로 연결되어 기계식 스위치 (K)를 통해 DC 전압 소스에 연결된 간단한 R-C 회로를 보여줍니다. 콘덴서는 초기에 충전되지 않은 상태입니다. 스위치 K가 닫히면 콘덴서가 저항을 통해 점진적으로 충전되며, 콘덴서의 전압이 공급 전압 소스와 같아질 때까지 계속됩니다. 콘덴서 플레이트의 전하는 Q = CV로 주어집니다.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

위의 식에서 콘덴서의 전압이 지수적으로 증가함을 알 수 있습니다.

여기서,

$V_C$ 는 콘덴서의 전압입니다.
$V$ 는 공급 전압입니다.

RC는 RC 충전 회로의 시간 상수입니다. 즉, $\tau = R C$

시간 t의 다른 값을 방정식 (11)과 (12)에 대입하면 충전 전압, 즉

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

그리고 콘덴서 충전 전류

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

콘덴서의 전압 변화 $V_C(t)$ 와 콘덴서를 통과하는 전류 $i(t)$ 가 시간에 따른 함수로 표시되어 있습니다.

따라서 R-C 충전 회로에서 콘덴서의 전압이 지수적으로 상승하면, 콘덴서를 통과하는 전류는 같은 비율로 지수적으로 감소합니다. 콘덴서의 전압이 정상 상태 값에 도달하면, 전류는 0으로 감소합니다.

RC 회로 방전

만약 완전히 충전된 콘덴서가 배터리 공급 전압에서 분리되면, 충전 과정 동안 콘덴서에 저장된 에너지는 무한히 그 플레이트에 남아있으며, 단자 간에 저장된 전압은 일정한 값으로 유지됩니다.

이제 배터리를 단락 회로로 교체하고 스위치를 닫으면, 콘덴서는 저항을 통해 방전되며, 이때 우리는 RC 방전 회로를 갖게 됩니다.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

위의 방정식에서 콘덴서의 전압이 지수적으로 감소함을 알 수 있습니다. 즉, R-C 회로를 방전할 때, 콘덴서는 직렬로 연결된 저항 R을 통해 방전됩니다. 이제 R-C 충전 회로와 R-C 방전 회로의 시간 상수는 동일하며 다음과 같습니다.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

방정식 (13)과 (14)에 서로 다른 시간 t 값을 대입하면, 콘덴서의 방전 전압을 얻을 수 있습니다.

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

콘덴서를 가로지르는 전압의 변화 $V_C(t)$ 은 시간에 따른 함수로 도시되어 있습니다.

따라서 R-C 방전 회로에서 콘덴서를 가로지르는 전압이 지수적으로 감소하면 콘덴서를 통과하는 전류도 같은 비율로 지수적으로 증가합니다. 콘덴서를 가로지르는 전압이 0으로 도달하면 전류는 정상 상태 값에 도달합니다.

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주제:

회로 이론

RLC 회로

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