RC सर्किट विश्लेषण: श्रृंखला, समान्तर, समीकरण र ट्रान्सफर फंक्शन

Electrical4u

फील्ड: मूलभूत विद्युत

China

के रहेको एउटा RC सर्किट हो?

एउटा RC सर्किट (यसलाई RC फिल्टर वा RC नेटवर्क पनि भनिन्छ) एक रिजिस्टर-कैपसिटर सर्किट को लागि चिन्ह हुन्छ। यो एक इलेक्ट्रिक सर्किट हो जुन पसिव सर्किट कम्पोनेन्टहरू र एक रिजिस्टर (R) र कैपसिटर (C) द्वारा बनेको हुन्छ, जसलाई एउटा भोल्टेज सोस वा करंट सोस द्वारा चालाइन्छ।

रिजिस्टरको उपस्थिति कारण एउटा RC सर्किट ऊर्जा खप्त गर्नेछ, यसको अवस्था RL सर्किट वा RLC सर्किट जस्तै हुन्छ।

यो एउटा LC सर्किट जस्तै नहुन्छ, जसले रिजिस्टरको अभावकारण ऊर्जा खप्त नहुन्छ। यद्यपि यो केवल सर्किटको आदर्श रूपमा छ, र वास्तविकता मा, एउटा LC सर्किट पनि कुनै ऊर्जा खप्त गर्नेछ किनकि कम्पोनेन्टहरू र कनेक्टिङ तारहरूको अशून्य रिजिस्टन्स हुन्छ।

श्रेणीबद्ध RC सर्किट

एक श्रृंखला RC परिपथमा एउटा शुद्ध प्रतिरोधक प्रतिरोध R (ओहममा) र एउटा शुद्ध क्षमता C (फारेडमा) श्रृंखला कनेक्ट गरिएको छ।

यहाँ $I$ परिपथमा धारा को RMS मान हो।

$V_R$ प्रतिरोधक R को वोल्टेज हो।

$V_C$ क्षमता C को वोल्टेज हो।

$V$ आपूर्ति वोल्टेजको RMS मान हो।

चित्रले श्रृंखला RC परिपथको सदिश चित्र देखाउँछ।

कारण सिरिज परिपथमा धारा $'I'$ एउटै छ त्यसैले यसलाई अनुसरण गरिने रूपमा लिइन्छ।

$V_R = IR$ धारा $'I'$ को साथ एउटै चक्रमा आकृति बनाइन्छ किनभने शुद्ध प्रतिरोधकमा वोल्टेज र धारा एउटै चक्रमा रहन्छन्।

$V_C=I X_C$ विद्युत प्रवाहको साथ पीछा रहेको खिचिएको छ $'I'$ द्वारा $90^0$ किनभने शुद्ध कपासिटर मा वोल्टेज र प्रवाह एक दूस्रोबाट $90^0$ फरक छन् अर्थात् वोल्टेज प्रवाहबाट पीछा रहेको छ $90^0$ वा प्रवाह वोल्टेजबाट आगे रहेको छ $90^0$ ।

अब $V$ यो वेक्टर योग हुन्छ $V_R$ र $V_C$ को।

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

एक R-C श्रृंखला परिपथको आवर्धन यो हुन्छ

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

वोल्टेज र आवर्तन प्रतिरोध त्रिकोण चित्रमा देखाइएको छ।

यस्तो देखिएको अनुसार, सदिश $V$ ले $I$ को एउटा कोण ø मा पीछैफिर्छ जहाँ

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

त्यसैले एक R-C श्रेणी परिपथमा धारा $'I'$ आपूर्ति वोल्टेज $'V'$ द्वारा एउटा कोण

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

R-C श्रृंखला परिपथको वोल्टेज र करंट लहरहरू चित्रमा देखाइएको छन्।

R-C श्रृंखला परिपथमा शक्ति

शक्तिको स्थितिगत मान वोल्टेज र करंटको स्थितिगत मानको गुणनफल हुन्छ।शक्ति र वोल्टेज र करंट।

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [where, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, because \,\, cos \,\, curve \,\, is \,\, symmetric] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

यसरी तत्कालीन शक्तिमा दुई भागहरू छन्।

१. एक स्थिर भाग = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

२. एक परिवर्तनशील घटक = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ जो आपूर्ति आवृत्तिको दुई गुना हुन्छ।

एक पूर्ण चक्रमा परिवर्तनशील शक्ति घटकको औसत मान शून्य हुन्छ।

यसरी एक चक्रमा RC श्रेणी परिपथमा खर्च भएको औसत शक्ति

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

यहाँ $V$ र $I$ परिपथमा लागू भएको वोल्टेज र धाराको RMS मानहरू हुन्।

RC सिरिज परिपथमा शक्ति गुणाङ्क

शक्ति र इम्पीडेन्स त्रिभुजहरू दिएको चित्रलाई ध्यान दिनुहोस्।

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (power \,\, factor) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (active \,\, power)\,\,} {S \,\, (apparent \,\, power)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

समान्तर RC परिपथ

समान्तर R-C परिपथमा एक शुद्ध प्रतिरोधक जसको प्रतिरोध $R$ ओहममा र एक शुद्ध क्षेपणक जसको क्षेपणता $C$ फ़ारडमा समान्तर रूपमा जोडिएको छ।

समान्तर RC परिपथमा वोल्टेज गिरफ्त एकै छन् त्यसैले लगाइएको वोल्टेज र प्रतिरोधक र क्षेपणक बीचको वोल्टेज एकै छ। समान्तर R-C परिपथमा विद्युत धारा प्रतिरोधक र क्षेपणक दुवा गइरहेको धाराहरूको योग हुन्छ।

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

रेजिस्टरको लागि, यसको माध्यम से प्रवाहित हुने विद्युत धारा ओह्मको नियम द्वारा दिइन्छ:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

कैपासिटरको लागि वोल्टेज-धारा सम्बन्ध निम्न छ:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

समान्तर R-C सर्किटमा KCL (किर्चहॉफको धारा नियम) लागू गर्दा

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

यो समीकरण R-C सर्किटको पहिलो क्रमको अवकल समीकरण हो।

समान्तर RC सर्किटको हस्तान्तरण फंक्शन:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

RC सर्किट समीकरणहरू

क्षमता C आवृत्ति क्षेत्रमा $\frac {1} {sC}$ रूपमा व्यवहार गर्छ जहाँ इसको वोल्टेज स्रोत $\frac {vC(0^-)} {s}$ इसको साथ श्रेणीको हुन्छ जहाँ $vC (0^-)$ क्षमतामा शुरुआती वोल्टेज हो।

आवर्त: संकीर्ण आवर्त, $Z_C$ कपासिटर C को लेखन गरिने हुन्छ

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ कल्पनात्मक भाग प्रतिनिधित्व गर्दछ $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ साइनसोइडल चक्रीय आवृत्ति (रेडियन प्रति सेकेण्ड) प्रतिनिधित्व गर्दछ

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

धारा: श्रृंखला R-C परिपथ में धारा सब जगह समान होती है।

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

वोल्टेज: वोल्टेज डिवाइडर नियम को लागू करके, कैपासिटर पर वोल्टेज निम्नानुसार है:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

और प्रतिरोधक पर वोल्टेज निम्नानुसार है:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

RC परिपथ धारा

श्रृंखला R-C परिपथ में धारा सब जगह समान होती है।

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

आरसी सर्किटको ट्रान्सफर फंक्शन

इनपुट वोल्टेजबाट कैपेसिटरमा वोल्टेजको लागि ट्रान्सफर फंक्शन छ

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

साथै, इनपुट वोल्टेजबाट प्रतिरोधमा वोल्टेजको लागि ट्रान्सफर फंक्शन छ

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

आरसी सर्किटको स्टेप रिस्पोन्स

जब सर्किटमा कुनै परिवर्तन हुन्छ, जस्तै एउटा स्विच बन्द हुन्छ, त्यसपछि वोल्टेज र करेंट पनि परिवर्तन भएको नयाँ स्थितिमा अनुकूलन गर्छ। यदि परिवर्तन एक अचानक छलफल हो भने, उत्तर अनुसार स्टेप रिस्पोन्स भनिन्छ।

सर्किटको एउटै प्रतिक्रिया स्रोत द्वारा बलिए गरिएको प्रतिक्रिया र प्राकृतिक प्रतिक्रियाको जोड को बराबर हुन्छ। यी प्रतिक्रियाहरू सुपरपोजिशनको सिद्धान्त देखि जोड गर्न सकिन्छ।

बलिए गरिएको प्रतिक्रिया भनेको यसमा स्रोत चालू गरिएको छ तर आरंभिक स्थितिहरू (आंतरिक रूपमा संचित ऊर्जा) शून्य मानिएको छ।

प्राकृतिक प्रतिक्रिया भनेको यसमा स्रोत बन्द गरिएको छ तर सर्किटमा आरंभिक स्थितिहरू (कैपेसिटरहरूमा आरंभिक वोल्टेज र इन्डक्टरहरूमा धारा) समावेश छ। प्राकृतिक प्रतिक्रिया अन्य नाम शून्य इनपुट प्रतिक्रिया भनिन्छ किनभने स्रोत बन्द गरिएको छ।

अतः, एउटै प्रतिक्रिया = बलिए गरिएको प्रतिक्रिया + प्राकृतिक प्रतिक्रिया

आरंभिक स्थिति के हो?

इन्डक्टरको धारा त्वरित रूपमा परिवर्तन गरिन सकिँदैन। यसको अर्थ इन्डक्टरको धारा त्यहाँ $t=0^-$ भएको समय त्यस्तै रहनेछ जस्तै त्यहाँ $t=0^+$ भएको समय। यसको अर्थ यस्तो छ:

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

कपासिटरको घटनामा कपासिटरको बीचमा वोल्टेज तत्काल बदल्न सकिँदैन। यसको अर्थ यो हुन्छ कि $t=0^-$ मा कपासिटरको बीचमा वोल्टेज तत्काल पछि $t=0^+$ मा एउटै रहनेछ। यसको अर्थ यो हुन्छ:

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

श्रृंखला RC सर्किटको आजिष्टित जवाफ

आइयो भनौं कि कपासिटर प्रारंभिक रूपमा पूर्ण रूपमा डिस्चार्ज गरिएको छ र स्विच (K) धेरै दिनसम्म खुल्यौँ रहेको छ र यो $t=0$ मा बन्द गरिएको छ।

Force Response Of Driven Series R C Circuit

यदि $t=0^-$ स्विच K खुला होता है

यह एक प्रारंभिक स्थिति है, इसलिए हम लिख सकते हैं,

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

क्योंकि कैपेसिटर के साथ वोल्टेज तात्कालिक रूप से बदल नहीं सकता।

सभी के लिए $t\geq0$ स्विच K बंद होता है।

अब वोल्टेज स्रोत सर्किट में पेश किया गया है। इसलिए सर्किट पर KVL लागू करने पर, हम पाते हैं,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(२)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

अब i(t) क्षेपणी मार्गदर्शक विद्युत हो जसलाई क्षेपणी पर विभवद्धीको रूपमा व्यक्त गर्न सकिन्छ

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

यसलाई समीकरण (२) मा बहाल गर्दा हामीले प्राप्त गर्छौं,

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

चरहरूलाई अलग गर्दा हामीले पाउँछौं

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

दुवै तिरहरूको समाकलन गर्दा

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

यहाँ $K^'$ एउटा यादृच्छिक स्थिरांक हो

K' पाउनको लागि: प्रारंभिक स्थिति प्रयोग गर्दा यानी समीकरण (1) को समीकरण (3) मा राख्दा, हामीले पाउँछौं,:

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

समीकरण (3) मा K' को मान राख्दा, हामीले पाउँछौं,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_s - V_c (t)] - ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([ln[a] - ln[b] = ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

लघुगणक लेख्दा हामी पाउँछौं,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(५)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

यो समीकरण श्रेणी R-C परिपथको पहिलो क्रमको अवकल समीकरणको समाधान दर्शाउँछ।

यो प्रतिक्रिया स्थिरावस्था प्रतिक्रिया जस्तै छ i.e. $V_S$

र अस्थिर प्रतिक्रिया जस्तै छ i.e. $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

स्रोत मुक्त श्रेणी RC परिपथको प्राकृतिक प्रतिक्रिया

स्रोत मुक्त प्रतिक्रिया एउटा प्रतिरोधकद्वारा एक संधारित्रको आवेशको विसरण हो।

स्रोत रहित श्रृंखला R C सर्किटको प्राकृतिक प्रतिक्रिया

सबैको लागि $t>=0^+$ स्विच K बन्द छ

उपरोक्त सर्किटमा KVL लागू गर्दा हामीले पाउँछौं,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

समीकरण (6) मा यो धाराको मान राख्दा हामीले पाउँछौं,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

चर विभाजन गर्दा हामीले पाउँछौं

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

दुवै तरफको समाकलन गर्ने

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

यहाँ $K^'$ एक अनियमित स्थिरांक है

पता लगाने के लिए $K^'$ : प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करके अर्थात् समीकरण (1) को समीकरण (7) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

समीकरण (7) में $K^'$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] - ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

लघुगणक लिएको पछि हामीले प्राप्त गर्छौं,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

यो समीकरण श्रेणी RC परिपथको प्राकृतिक प्रतिक्रिया दर्शाउँछ।

अब, कुल प्रतिक्रिया = बलित प्रतिक्रिया + प्राकृतिक प्रतिक्रिया

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

जहाँ, $V_S$ चरण वोल्टेज हो।

$V_0$ कपासिटरमा आरंभिक वोल्टेज हो।

आर-सी सर्किटको समय नियतांक

आर-सी सर्किटको समय नियतांक को परिभाषा गर्दा, यो समय हुन्छ जहाँ कैपासिटरको वोल्टेज अन्तिम स्थिरावस्थाको मान पुग्ने लाग्ने समय।

एउटा समय नियतांक वोल्टेजले स्थिरावस्थाको मानको ०.६३२ गुना पुग्ने लागि आवश्यक समय वा विद्युत धाराले स्थिरावस्थाको मानको ०.३६८ गुना घट्ने लागि आवश्यक समय हो।

आर-सी सर्किटको समय नियतांक प्रतिरोध र कैपासिटन्सको गुणनफल हुन्छ।

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

यसको एकाइ सेकेण्ड हुन्छ।

आर-सी सर्किटको फ्रिक्वेन्सी प्रतिक्रिया

प्रतिबाधा विधि प्रयोग गर्दा: फ्रिक्वेन्सी प्रतिक्रिया प्रणालीको सामान्य समीकरण

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

अब उपरोक्त परिपथमा संभाव्य डिभाइडर नियम लागू गर्नुहोस्

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

यत्र, $Z_C$ = क्षमता को प्रतिरोध

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

यसलाई समीकरण (10) मा बदलेर लेख्दा हुन्छ,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

यो उत्तर R-C सर्किटको आवृत्ति प्रतिक्रिया जटिल रूपमा हो।

आर-सी सर्किट डिफरेन्सियल समीकरण

आर-सी चार्जिङ्ग सर्किट डिफरेन्सियल समीकरण

कैपसिटरमा वोल्टेज यसरी दिइन्छ:

(११)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

अब कैपासिटर मा विद्युत धारा निम्न अनुसार दिइन्छ

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(१२)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

आरसी डिस्चार्जिङ सर्किटको डिफरेन्सियल समीकरण

कैपेसिटरको बीचको वोल्टेज निम्न दिइएको छ:

(१३)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

अब कैपेसिटरद्वारा प्रवाहित विद्युत धारा निम्न दिइएको छ:

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(१४)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC सर्किट चार्जिङ र डिस्चार्जिङ

RC सर्किट चार्जिङ

चित्रलेख एक साधारण आर-सी परिपथ देखाउँछ जहाँ कैपेसिटर (C), एक प्रतिरोधक (R) संग श्रेणीक्रम मा जोडिएको छ र यो डीसी वोल्टेज स्रोतसँग एउटा यान्त्रिक स्विच (K) द्वारा जोडिएको छ। कैपेसिटर प्रारम्भिक रूपमा अनचार्ज्ड छ। जब स्विच K बन्द गरिन्छ, कैपेसिटर प्रतिरोधक द्वारा धीरे-धीरे चार्ज हुन्छ जबसम्म कैपेसिटरको वोल्टेज स्रोतको वोल्टेजको बराबर नहुन्छ। कैपेसिटरको प्लेटहरूमा चार्ज Q = CV दिइएको छ।

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

यस समीकरणबाट यो स्पष्ट छ कि कैपेसिटरको वोल्टेज घातांकीय रूपमा वृद्धि हुन्छ।

यहाँ,

$V_C$ कैपेसिटरको वोल्टेज हो
$V$ स्रोत वोल्टेज हो।

आर-सी चार्जिङ परिपथको समय स्थिरांक आर-सी हो। यानी $\tau = R C$

समीकरण (11) र (12) मा समय t को विभिन्न मानहरू प्रतिस्थापन गर्दा हामीले कपासिटर चार्जिङ वोल्टेज प्राप्त गर्छौं, यो भनेको

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

र कपासिटर चार्जिङ धारा

$\begin{align*} t = \tau \,\, त्यसपछि \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (जहाँ, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, त्यसपछि \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, त्यसपछि \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, त्यसपछि \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

क्षेपणीमा वोल्टेजको परिवर्तन $V_C(t)$ र क्षेपणीमा धारा $i(t)$ समयको फलनको रूपमा चित्रमा देखाइएको छ।

त्यसैले R-C चार्जिङ बजामा यदि क्षेपणीमा वोल्टेज घातांकीय रूपमा बढ्दछ, भने क्षेपणीमा धारा उस्तै दरमा घातांकीय रूपमा घट्दछ। जब क्षेपणीमा वोल्टेज स्थिर अवस्थामा पुग्छ, धारा शून्य मानमा घट्दछ।

RC Circuit Discharging

यदि पूर्ण चार्जिङ भएको क्षेपणीलाई अब बैटरी वोल्टेजको आपूर्तिले निकालिएको छ, भने चार्जिङ प्रक्रियामा क्षेपणीमा संचित ऊर्जा अनन्तकालसम्म त्यहाँ रह्नेछ, जसले त्यहाँको टर्मिनलहरूमा ठाउँ राखिएको वोल्टेजको मान स्थिर राख्छ।

अब यदि बैटरीलाई शॉर्ट सर्किटले बदलिएको छ र स्विच बन्द गरिएको छ, तभैं क्षेपणी रेसिस्टरको माध्यम दिए डिस्चार्ज हुनेछ, अब हामीले RC डिस्चार्जिङ सर्किट छ।

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

उपरोक्त समीकरणबाट स्पष्ट छ कि कैपसिटर भोल्टेज घातांकीय रूपमा घट्दै जान्छ। यो अर्थ हुन्छ कि R-C सर्किट डिस्चार्जिङ गर्दा, कैपसिटर सिरियल र इसको साथ रेझिस्टर R मार्फत डिस्चार्ज हुन्छ। अहिले R-C चार्जिङ सर्किट र R-C डिस्चार्जिङ सर्किटको समय नियतांक समान छ र यो

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

अब समीकरण (13) र (14) मा विभिन्न समय t को मान राख्दा, हामीले कैपसिटर डिस्चार्जिङ भोल्टेज प्राप्त गर्नेछौं, यो

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

क्षेत्रफलक भाँडमा वोल्टेजको परिवर्तन $V_C(t)$ समयको फलनको रूपमा चित्रमा देखाइएको छ।

यसैले R-C डिसचार्जिङ चित्रमा, यदि क्षेत्रफलक भाँडमा वोल्टेज घातांकीय रूपमा घट्दै जान्छ भने, क्षेत्रफलक भाँडमा बिजुली उतनीही दरमा घातांकीय रूपमा बढ्दै जान्छ। जब क्षेत्रफलक भाँडमा वोल्टेज शून्य मान पुग्छ, त्यसपछि बिजुली स्थिर अवस्था पुग्छ।

थप: आर्म्भिक श्रेष्ठ लेखहरूलाई साझा गर्ने, यदि अधिकार भेदाग्रस्त हुन्छ भने हटाउन संपर्क गर्नुहोस्।

लेखकलाई टिप दिनुहोस् र प्रोत्साहन दिनुहोस्

विषयहरू:

सर्किट सिद्धान्त

RLC सर्किट

विशेषज्ञहरूको बारेमा

Electrical4u

China