RC回路解析：直列并列方程式および伝達関数

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フィールド: 基本電気

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RC回路とは何か

RC回路（またはRCフィルターやRCネットワークとも呼ばれる）は、抵抗とコンデンサーから構成される回路を指します。RC回路は、電気回路であり、パッシブ回路要素である抵抗 (R)とコンデンサー (C)からなり、電圧源または電流源によって駆動されます。

理想的な形の回路に抵抗が存在するため、RC回路はエネルギーを消費し、RL回路やRLC回路と同様です。

これは、抵抗がないためエネルギーを消費しない理想的な形のLC回路とは異なります。ただし、これは理想的な形でのみ成り立ち、実際にはLC回路でも、部品や接続線の非ゼロの抵抗により一部のエネルギーを消費します。

直列RC回路

RC直列回路において、抵抗値R（オーム）の純粋な抵抗と、キャパシタンスC（ファラド）の純粋なコンデンサーが直列に接続されています。

ここで $I$ は回路中の電流の有効値です。

$V_R$ は抵抗Rにかかる電圧です。

$V_C$ はコンデンサーCにかかる電圧です。

$V$ は供給電圧の有効値です。

図は直列RC回路のベクトル図を示しています。

直列回路では電流 $'I'$ が同じであるため、基準として採用されます。

$V_R = IR$ は電流 $'I'$ と位相が一致して描かれます。これは純粋な抵抗器では電圧と電流が位相が一致するためです。

$V_C=I X_C$ は電流 $'I'$ に対して $90^0$ 遅れて描かれます。これは、純粋なコンデンサーでは、電圧と電流が $90^0$ ずれているためです。つまり、電圧が電流に対して $90^0$ 遅れたり、または電流が電圧に対して $90^0$ 先に来たりするからです。

ここで $V$ は $V_R$ と $V_C$ のベクトル和です。

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

R-C直列回路のインピーダンスは次の通りです。

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

電圧とインピーダンスの三角形は図に示されています。

図からわかるように、ベクトル $V$ は $I$ に対して角度øだけ遅れます。

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

したがって、R-C直列回路では電流 $'I'$ は供給電圧 $'V'$ よりも角度

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

R-C直列回路の電圧および電流波形は図に示されています。

RC直列回路の電力

瞬間的な電力の値は、瞬間的な電力の値は、瞬間的な電圧と電流の積です。

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [where, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, because \,\, cos \,\, curve \,\, is \,\, symmetric] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

したがって瞬時電力は2つの部分から成り立っています。

1. 定数部分 = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. 変動成分 = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ これは供給周波数の2倍で変動します。

変動電力成分の1周期間の平均値はゼロです。

したがって、RC直列回路における1周期間の平均消費電力は

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

ここで $V$ と $I$ は回路に適用された電圧と電流のRMS値です。

直列RC回路の力率

以下の図は電力とインピーダンスの三角形を示しています。

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (power \,\, factor) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (active \,\, power)\,\,} {S \,\, (apparent \,\, power)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

並列RC回路

並列R-C回路では、オーム単位の抵抗値 $R$ を持つ純粋な抵抗と、ファラド単位の静電容量を持つ純粋なコンデンサーが並列に接続されています。

並列RC回路における電圧降下は同じであるため、適用された電圧は抵抗およびコンデンサー間の電圧と同じです。並列R-C回路における電流は、抵抗を通る電流とコンデンサーを通る電流の合計です。

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

抵抗器を通過する電流はオームの法則によって与えられます：

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

コンデンサの電圧と電流の関係は次の通りです：

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

並列RC回路にキルヒホッフの電流法則 (KCL)を適用します。

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

上記の式は、R-C回路の一次微分方程式である。

並列RC回路の伝達関数：

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

RC回路方程式

コンデンサCは周波数領域では $\frac {1} {sC}$ として動作し、その直列には初期電圧 $\frac {vC(0^-)} {s}$ を持つ電圧源が接続される。ここで $vC (0^-)$ はコンデンサにかかる初期電圧を示す。

インピーダンス: コンデンサCの複素インピーダンス $Z_C$ は以下の通りです。

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ は虚数部を表し $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ は正弦波の角周波数（ラジアン毎秒）を表します。

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

電流：直列R-C回路では、どこでも電流は同じです。

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

電圧：電圧分配則を適用すると、コンデンサーの電圧は以下のようになります。

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

また、抵抗器の電圧は以下の通りです。

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

RC回路の電流

直列R-C回路では、どこでも電流は同じです。

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

RC回路の伝達関数

入力電圧からコンデンサーにかかる電圧への伝達関数は以下の通りです

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

同様に、入力電圧から抵抗にかかる電圧への伝達関数は以下の通りです

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

RC回路のステップ応答

回路で何かが変化したとき、例えばスイッチが閉じた場合、電圧と電流も新しい状況に合わせて変化します。この変化が突然のステップであれば、その応答はステップ応答と呼ばれます。

回路の全応答は強制応答と自然応答の合計に等しい。これらの応答は重ね合わせの原理を使用して組み合わせることができる。

強制応答とは、供給源がオンになっているが初期条件（内部に蓄積されたエネルギー）がゼロであると仮定される状態のことである。

自然応答とは、供給源がオフになっているが、回路には初期条件（コンデンサの初期電圧とインダクタの初期電流）が含まれている状態のことである。自然応答はまた、供給源がオフになるため、ゼロ入力応答とも呼ばれる。

したがって、全応答 = 強制応答 + 自然応答

初期条件とは何か？

インダクタの場合、その中の電流は瞬時に変化することはできない。つまり、インダクタを通過する電流は、瞬間インダクタにおいて、遷移直後の瞬間まで同じままである。すなわち、 $t=0^-$ における電流は、遷移直後の瞬間 $t=0^+$ でも同じままである。すなわち、

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

コンデンサーの場合、コンデンサーの両端の電圧は瞬時に変化することはできません。つまり、 $t=0^-$ の瞬間のコンデンサーの両端の電圧は、 $t=0^+$ の瞬間の遷移後も同じままであるということです。すなわち、

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

駆動された直列RC回路の強制応答

コンデンサーが最初に完全に放電されており、スイッチ（K）が非常に長い時間開いた状態で、 $t=0$ で閉じられるものとします。

Force Response Of Driven Series R C Circuit

At $t=0^-$ スイッチKは開いている

これは初期条件なので、以下のように書くことができます。

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

コンデンサーの電圧は瞬時に変化することはないためです。

すべての $t\geq0$ に対して、スイッチKは閉じている。

ここで回路に電圧源が導入されます。したがって、KVLを適用すると、以下のようになります。

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

ここでi(t)はコンデンサーを通過する電流であり、コンデンサーの電圧を用いて以下のように表現できます

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

これを式(2)に代入すると、以下のようになります

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

変数を分離すると

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

両辺を積分すると

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

ここで $K^'$ は任意定数である

K'を見つけるには： $K'$ ：初期条件を使用して、つまり方程式(1)を方程式(3)に代入すると、次のようになります。

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

K'の値を方程式(3)に代入すると、

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_s - V_c (t)] - ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([ln[a] - ln[b] = ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

対数を外すと、以下のようになります。

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

上記の式は、直列R-C回路の一階微分方程式の解を示しています。

この応答は定常応答つまり $V_S$

と過渡応答つまり $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

電源無し直列RC回路の自然応答

電源無しの応答は、抵抗と直列に接続されたコンデンサの放電です。

すべての $t>=0^+$ スイッチKが閉じられる

上記回路にKVLを適用すると、以下のようになる。

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

この電流の値を式(6)に代入すると、以下のようになる。

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

変数を分離すると

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

両辺を積分すると

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

ここで $K^'$ は任意の定数です

を求めるには： $K^'$ ：初期条件を使用して、つまり方程式(1)を方程式(7)に代入すると、次のようになります。

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

の値を方程式(7)に代入すると、以下のようになります。 $K^'$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] - ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

対数をとると

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

上記の式は、直列RC回路の自然応答を示しています。

ここで、全応答 = 強制応答 + 自然応答

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

ここで、 $V_S$ はステップ電圧です。

$V_0$ はコンデンサの初期電圧です。

RC回路の時間定数

R-C回路の時間定数は、コンデンサーにかかる電圧が最終的な定常状態値に達するまでの時間として定義できます。

1つの時間定数は、電圧が定常状態値の0.632倍に上昇するか、または電流が定常状態値の0.368倍に減少するまでに必要な時間です。

R-C回路の時間定数は、抵抗と容量の積です。

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

その単位は秒です。

RC回路の周波数応答

インピーダンス法を使用して: 周波数応答システムの一般的な式は

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

上記の回路に電圧分割則を適用します

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

ここで、 $Z_C$ = コンデンサのインピーダンス

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

これを式(10)に代入すると、

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

上記の応答は、複素形式でのR-C回路の周波数応答です。

RC回路の微分方程式

RC充電回路の微分方程式

コンデンサーの電圧は以下の式で与えられます

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

コンデンサを通過する電流は以下の式で与えられます

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC放電回路の微分方程式

コンデンサにかかる電圧は以下の式で表されます

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

コンデンサを流れる電流は以下の式で表されます

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC 回路の充電と放電

RC 回路の充電

図は、コンデンサー（C）と抵抗（R）が直列に接続され、機械式スイッチ（K）を介してDC電圧源に接続された単純なR-C回路を示しています。コンデンサーは最初に充電されていません。スイッチKが閉じられると、コンデンサーは抵抗を通じて徐々に充電され、最終的にコンデンサーの両端の電圧が電源電圧と等しくなります。コンデンサーのプレート上の電荷はQ = CVで与えられます。

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

上記の方程式から、コンデンサーの電圧が指数関数的に増加することが明らかです。

ここで、

$V_C$ はコンデンサーの両端の電圧
$V$ は供給電圧です。

RCは、RC充電回路の時間定数です。つまり、 $\tau = R C$

方程式 (11) と (12) に異なる時間 t の値を代入すると、コンデンサの充電電圧が得られます。

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

そしてコンデンサの充電電流

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

コンデンサの電圧 $V_C(t)$ とコンデンサを通過する電流 $i(t)$ が時間の関数として図に示されています。

したがって、R-C充電回路において、コンデンサの電圧が指数関数的に上昇すると、コンデンサを通過する電流は同じ速度で指数関数的に減少します。コンデンサの電圧が定常値に達すると、電流はゼロになります。

RC回路の放電

完全に充電されたコンデンサがバッテリーの供給電圧から切断されると、充電過程でコンデンサに蓄積されたエネルギーはそのプレートに無限に留まり、その端子間に一定の電圧が保持されます。

ここで、バッテリーをショート回路に置き換え、スイッチを閉じると、コンデンサは抵抗器を通じて放電し、これがRC放電回路と呼ばれます。

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

上記の式から、コンデンサの電圧が指数関数的に減少することがわかります。つまり、R-C回路の放電において、コンデンサは直列に接続された抵抗Rを通じて放電します。R-C充電回路とR-C放電回路の時間定数は同じで、それは

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

式（13）および（14）に異なる時間tの値を代入すると、コンデンサの放電電圧を得ることができます。

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

コンデンサーの電圧 $V_C(t)$ が時間の関数として示されています。

したがって、R-C放電回路においても同様に、コンデンサーの電圧が指数関数的に減少するとき、コンデンサーを通過する電流は同じ速度で指数関数的に増加します。コンデンサーの電圧がゼロ値に達すると、電流は定常状態の値に達します。

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単相接地故障の現在の状況と検出方法とは何か

単相接地故障検出の現状非効率接地システムにおける単相接地故障診断の精度が低い理由は、配電網の構造（ループやオープンループ構成など）の多様性、異なるシステム接地モード（未接地、消弧コイル接地、低抵抗接地システムなど）、ケーブルベースまたは空中ケーブル混合配線の年間比率の増加、複雑な故障タイプ（雷によるもの、樹木による放電、ワイヤーの断裂、個人的な感電など）に起因します。接地故障の分類電力網の故障には金属接地、雷放電接地、樹枝接地、抵抗接地、絶縁不良接地などが含まれます。また、短間隙放電アーク、長間隙放電アーク、間欠的アークなどの様々なアーク接地シナリオも含まれます。異なる接地条件によって示される故障信号特性は形式と大きさが異なります。接地故障処理技術消弧補償技術と個人感電保護過電圧抑制故障線選択および位相選択、故障区間位置特定、精密故障位置特定継電保護：故障除去給電自動化：故障隔離および自動供給復旧接地故障の困難性異なる中性点接地方法異なる接地属性：可変接地形式異なる線路タイプ：空中線路、ケーブル線路、および空中ケーブル混合線路異なる故障場所と故障発生時間接地故障特性の

Leon

08/01/2025

周波数分割法によるグリッド対地絶縁パラメータの測定

周波数分割法は、電圧変換器（PT）のオープンデルタ側に異なる周波数の電流信号を注入することにより、グリッド対地パラメータの測定が可能になります。この方法は接地されていないシステムに適用できますが、中性点が消弧コイルを介して接地されているシステムのグリッド対地パラメータを測定する場合、事前に消弧コイルを動作から切り離す必要があります。その測定原理は図1に示されています。図1に示すように、PTのオープンデルタ側から異なる周波数の電流を注入すると、PTの高圧側に零相電流が誘導されます。この零相電流は3相で同じ大きさと方向を持つため、電源側や負荷側を通ることはできず、PTと接地キャパシタンスを通じてのみループを形成します。したがって、図1の概略図はさらに簡略化され、図2に示す物理モデルとなります。PTのオープンデルタ側に注入される異周波数の電流は既知の量であり、この側の電圧信号は直接測定することができます。図2に基づいて図3に示す数学モデルを確立し、PTの変比、2つの異なる周波数に対する注入電流振幅と戻り電圧振幅、およびこれらの2つの周波数での戻り電圧信号と注入電流信号の位相差を組み合わせるこ

Leon

07/25/2025

アーキュレータコイル接地システムの接地パラメータ測定のための調整方法

この調整方法は、中性点が消弧コイルを介して接地されているシステムの接地パラメータを測定するのに適していますが、中性点が接地されていないシステムには適用できません。その測定原理は、電圧変換器（PT）の二次側から連続的に周波数を変える電流信号を注入し、戻ってくる電圧信号を測定し、システムの共振周波数を特定することにあります。周波数スイープの過程で、各注入された異調電流信号に対応する戻ってくる電圧値に基づいて、配電網の絶縁パラメータである接地容量、接地導電度、非同期度、減衰率などが計算されます。注入された電流信号の周波数が共振周波数と一致すると、システム内で並列共振が発生し、二次側での戻ってくる電圧の振幅が最大になります。共振周波数が決定されると、それに基づいて配電網システムの接地パラメータを計算することができます。具体的な原理は図1に示されています：PTの二次側から可変周波数の電流信号が注入され、信号の周波数を変えることで、注入信号と戻ってくる電圧信号との関係を測定し、配電網の共振角周波数ω₀を見つけることができます。共振時の注入信号の等価回路は図2に示されています：調整方法の利点は、戻っ

Leon

07/25/2025

接地抵抗が異なる接地システムにおけるゼロシーケンス電圧上昇への影響

Leon

07/24/2025

RC回路解析：直列 并列 方程式 および 伝達関数

RC回路解析：直列并列方程式および伝達関数