RC-schakeling Analyse: Serieel Parallel Equaties en Overdrachtsfunctie

Electrical4u

Veld: Basis Elektrotechniek

China

Wat is een RC-schakeling?

Een RC-schakeling (ook bekend als een RC-filter of RC-netwerk) staat voor een weerstand-condensator schakeling. Een RC-schakeling wordt gedefinieerd als een elektrisch circuit bestaande uit de passieve schakelelementen van een weerstand (R) en condensator (C), aangedreven door een spanningsbron of stroombron.

Vanwege de aanwezigheid van een weerstand in de ideale vorm van het circuit, zal een RC-schakeling energie verbruiken, vergelijkbaar met een RL-schakeling of RLC-schakeling.

Dit is anders dan de ideale vorm van een LC-schakeling, die geen energie verbruikt vanwege het ontbreken van een weerstand. Hoewel dit alleen in de ideale vorm van het circuit is, en in de praktijk zelfs een LC-schakeling enige energie zal verbruiken vanwege de niet-nul weerstand van de componenten en de aansluitkabels.

Serie RC-schakeling

In een RC-reekskring is een zuivere weerstand met weerstand R in ohm en een zuivere condensator met capaciteit C in Farad in serie verbonden.

Hier is $I$ de RMS-waarde van de stroom in de kring.

$V_R$ de spanning over de weerstand R.

$V_C$ de spanning over de condensator C.

$V$ de RMS-waarde van de voedingsspanning.

De figuur toont een vectordiagram van de reeks RC-kring.

Aangezien de stroom in een seriecircuit $'I'$ hetzelfde is, wordt deze als referentie genomen.

$V_R = IR$ wordt getekend in fase met de stroom $'I'$ omdat in een zuivere weerstand de spanning en stroom in fase met elkaar staan.

$V_C=I X_C$ wordt getekend met een vertraging ten opzichte van de stroom $'I'$ over $90^0$ omdat in een zuivere condensator spanning en stroom $90^0$ uit fase staan ten opzichte van elkaar, d.w.z. de spanning ligt achter op de stroom met $90^0$ of de stroom loopt voor op de spanning met $90^0$ .

Nu is $V$ de vectoriële som van $V_R$ en $V_C$ .

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

De impedantie van een R-C serie-schakeling is

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, waarbij, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

De spanning en impedantie driehoeken zijn weergegeven in de figuur.

Zoals te zien is, ligt de vector $V$ een hoek ø achter $I$ waarbij

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

Dus in een R-C serie-schakeling loopt de stroom $'I'$ voor op het voedingsspanning $'V'$ met een hoek

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

De spanning- en stroomgolven van het R-C reeksschakeling zijn weergegeven in fig.

Vermogen in een RC Reeksschakeling

De momentane waarde van het vermogen is het product van de momentane waarden van de spanning en stroom.

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [waar, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, omdat \,\, cos \,\, kromme \,\, symmetrisch is] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

Dus de instantane vermogen bestaat uit twee delen.

1. Een constante deel = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. Een variërend component = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ dat varieert met twee keer de voedingsspanningsfrequentie.

De gemiddelde waarde van het variërende vermogenscomponent over een volledige cyclus is nul.

Dus het gemiddelde verbruikte vermogen in een RC-seriekring over één cyclus is

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

Waar $V$ en $I$ de RMS-waarden zijn van de toegepaste spanning en stroom in het circuit.

Hoekfactor in een RC-serie-circuit

Bekijk de figuur die de vermogen en impedantiedriehoeken toont.

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (power \,\, factor) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (active \,\, power)\,\,} {S \,\, (apparent \,\, power)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

Parallel RC-circuit

In een parallelle R-C schakeling is een zuivere weerstand met weerstand $R$ in ohm en een zuivere condensator met capaciteit $C$ in Farad parallel verbonden.

De spanningen in een parallelle RC-schakeling zijn hetzelfde, dus de aangebrachte spanning is gelijk aan de spanning over de weerstand en de spanning over de condensator. De stroom in een parallelle R-C schakeling is de som van de stroom door de weerstand en de condensator.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

Voor de weerstand, wordt de stroom erdoor gegeven door de wet van Ohm:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

De spanning-stroomrelatie voor de condensator is:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

Door toepassing van de KCL (Kirchhoffs Wet van de Stroom) op een parallel R-C circuit

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

De bovenstaande vergelijking is de eerste-orde differentiaalvergelijking van een R-C-schakeling.

Overdrachtsfunctie van de parallelle RC-schakeling:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

Vergelijkingen voor RC-schakelingen

Condensator C gedraagt zich als een $\frac {1} {sC}$ in het frequentiedomein met een spanningsbron van $\frac {vC(0^-)} {s}$ in serie daarmee, waarbij $vC (0^-)$ de initiële spanning over de condensator is.

Impedantie: De complexe impedantie, $Z_C$ van een condensator C is

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Waarbij, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ stelt het imaginaire deel voor $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ stelt de sinusvormige hoekfrequentie (radialen per seconde) voor

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

Stroom: De stroom is overal hetzelfde in een serie R-C schakeling.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Spanning: Door toepassing van de regel voor spanningverdeling, is de spanning over de condensator:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

en de spanning over de weerstand is:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

RC Schakeling Stroom

De stroom is overal hetzelfde in de serie R-C schakeling.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Overdrachtsfunctie van RC-schakeling

De overdrachtsfunctie van de ingangsspanning naar de spanning over de condensator is

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

Analoog hieraan is de overdrachtsfunctie van de ingangsspanning naar de spanning over de weerstand

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

Staprespons van RC-schakeling

Wanneer er iets verandert in een schakeling, zoals bij het sluiten van een schakelaar, veranderen ook de spanning en stroom en passen ze zich aan de nieuwe omstandigheden aan. Als de verandering een abrupte stap is, wordt de respons de staprespons genoemd.

De totale respons van een circuit is gelijk aan de gedwongen respons plus de natuurlijke respons. Deze responsen kunnen worden gecombineerd met behulp van het superpositieprincipe.

De gedwongen respons is er een waarbij de voeding wordt ingeschakeld, maar met de beginvoorwaarden (intern opgeslagen energie) die als nul worden verondersteld.

De natuurlijke respons is er een waarbij de voeding wordt uitgeschakeld, maar het circuit wel de beginvoorwaarden bevat (beginspanning op condensatoren en stroom in spoelen). De natuurlijke respons wordt ook wel de nul-ingangsrespons genoemd, omdat de voeding is uitgeschakeld.

Dus, totale respons = gedwongen respons + natuurlijke respons

Wat is een Beginvoorwaarde?

In het geval van een spoel, kan de stroom door deze niet onmiddellijk worden veranderd. Dat betekent dat de stroom door de spoel op het moment $t=0^-$ na de overgang op het moment $t=0^+$ zal hetzelfde blijven. D.w.z.,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

In het geval van een condensator kan de spanning over de condensator niet onmiddellijk veranderen. Dat betekent dat de spanning over de condensator op het moment $t=0^-$ na de overgang op het moment $t=0^+$ hetzelfde blijft. d.w.z.,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

Geforceerde respons van een gedreven serie RC-schakeling

Laten we aannemen dat de condensator in eerste instantie volledig ontladen is en dat de schakelaar (K) voor een zeer lange tijd open staat en wordt gesloten op $t=0$ .

Op $t=0^-$ is de schakelaar K open

Dit is een beginconditie, dus we kunnen schrijven,

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

Omdat de spanning over de condensator niet onmiddellijk kan veranderen.

Voor alle $t\geq0$ is de schakelaar K gesloten.

Nu wordt de spanningsbron in het circuit geïntroduceerd. Door toepassing van KVL op het circuit krijgen we,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

Nu is i(t) de stroom door de condensator en kan worden uitgedrukt in termen van het voltage over de condensator als

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

Als we dit substitueren in vergelijking (2), krijgen we,

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

Door de variabelen te scheiden, krijgen we

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

Integreren van beide zijden

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

Waarbij $K^'$ een willekeurige constante is

Om $K'$ te vinden: Door de beginvoorwaarde te gebruiken, dat wil zeggen vergelijking (1) in vergelijking (3) te substitueren, krijgen we,

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

Door de waarde van K’ in vergelijking (3) te substitueren krijgen we,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_s - V_c (t)] - ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([ln[a] - ln[b] = ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Met antilogaritme krijgen we,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

De bovenstaande vergelijking geeft de oplossing van een differentiaalvergelijking van de eerste orde voor een serie R-C-schakeling aan.

Het bovenstaande antwoord is een combinatie van steady-state response d.w.z. $V_S$

en tijdelijke respons d.w.z. $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

Natuurlijke Respons van Bronvrije Serie RC-Schakeling

De bronvrije respons is de ontlading van een condensator door een weerstand in serie met deze.

Natural Response Of Source Free Series R C Circuit

Voor alle $t>=0^+$ schakelaar K is gesloten

Toepassen van KVL op bovenstaand circuit geeft:

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

Vervang deze stroomwaarde in vergelijking (6), dan krijgen we:

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

Door variabelen te scheiden, krijgen we

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

Integratie van beide zijden

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

Waar $K^'$ een willekeurige constante is

Om $K^'$ te vinden: Gebruik de beginvoorwaarde, d.w.z. substitueer vergelijking (1) in vergelijking (7), dan krijgen we,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

Substitueer de waarde van $K^'$ in vergelijking (7) krijgen we,

$\begin{align*} ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] - ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Door het nemen van de antilogaritme, krijgen we,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

De bovenstaande vergelijking geeft de natuurlijke respons van het reeks RC-schakeling aan.

Nu, totale respons = gedwongen respons + natuurlijke respons

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

Waarbij, $V_S$ de stapspanning is.

$V_0$ de initiële spanning op de condensator is.

Tijdsconstante van RC-schakeling

De tijdsconstante van een R-C schakeling kan worden gedefinieerd als de tijd waarbinnen de spanning over de condensator zijn uiteindelijke stabiele waarde bereikt.

Eén tijdsconstante is de tijd die nodig is voor de spanning om 0,632 keer de stabiele waarde te bereiken of de tijd die nodig is voor de stroom om 0,368 keer de stabiele waarde af te nemen.

De tijdsconstante van de R-C schakeling is het product van weerstand en capaciteit.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

De eenheid ervan is seconde.

Frekwentie-respons van RC-schakeling

Met behulp van de impedantiemethode: De algemene vergelijking voor de frequentierespons van het systeem is

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

Pas nu de spanningsdeelerver regel toe op het bovenstaande circuit

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

Waarbij, $Z_C$ = Impedantie van de condensator

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

Substitueer dit in vergelijking (10), dan krijgen we,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

De bovenstaande respons is de frequentie-respons van een R-C-schakeling in complexe vorm.

Differentiaalvergelijking van een RC-schakeling

Differentiaalvergelijking van een RC-opladingsschakeling

De spanning over de condensator wordt gegeven door

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

De stroom door de condensator wordt gegeven door

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Differentiaalvergelijking van het RC-ontladingsschakeling

De spanning over de condensator wordt gegeven door

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Nu is de stroom door de condensator gegeven door

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

RC-circuit opladen en ontladen

RC-circuit opladen

De figuur toont de eenvoudige R-C-schakeling waarin de condensator (C), in serie met een weerstand (R), is aangesloten op de gelijkstroombron via een mechanische schakelaar (K). De condensator is aanvankelijk ongeladen. Wanneer schakelaar K wordt gesloten, zal de condensator geleidelijk opladen door de weerstand totdat de spanning over de condensator gelijk wordt aan de spanning van de voedingsspanning. De lading op de platen van de condensator wordt gegeven als Q = CV.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

Uit de bovenstaande vergelijking is duidelijk dat de spanning over de condensator exponentieel toeneemt.

Waarbij,

$V_C$ is de spanning over de condensator
$V$ is de voedingsspanning.

RC is de tijdconstante van de RC-laadkring. d.w.z. $\tau = R C$

Laten we verschillende waarden van tijd t in vergelijking (11) en (12) substitueren, dan krijgen we de laadspanning van de condensator, namelijk

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

en de laadstroom van de condensator

$\begin{align*} t = \tau \,\, dan \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (waarbij, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, dan \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, dan \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, dan \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

De variatie van de spanning over de condensator $V_C(t)$ en de stroom door de condensator $i(t)$ als functie van de tijd is weergegeven in de figuur.

Dus in een R-C oplaadcircuit, als de spanning over de condensator exponentieel stijgt, neemt de stroom door de condensator met dezelfde snelheid exponentieel af. Wanneer de spanning over de condensator de stabiele waarde bereikt, daalt de stroom naar nul.

RC Circuit Ontladen

Als een volledig opgeladen condensator nu wordt losgekoppeld van de batterijspanning, zou de opgeslagen energie in de condensator tijdens het opladen onbeperkt op de platen blijven, waardoor de opgeslagen spanning over de aansluitingen constant blijft.

Als de batterij vervangen wordt door een kortsluiting en de schakelaar wordt gesloten, zal de condensator via de weerstand ontladen. We hebben dan een circuit dat bekend staat als RC-ontladingsschakeling.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

Uit de bovenstaande vergelijking is duidelijk dat de spanning over de condensator exponentieel afneemt. Dit betekent dat in het ontladen van de R-C-schakeling, de condensator wordt ontladen via de weerstand R die in serie met haar is aangesloten. De tijdconstante van zowel de R-C-opladingschakeling als de R-C-ontladingschakeling zijn hetzelfde en bedraagt

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Als we verschillende waarden voor t in vergelijking (13) en (14) substitueren, krijgen we de ontlaadspanning van de condensator, namelijk

$\begin{align*} t = \tau \,\, dan \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, dan \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, dan \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, dan \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

De variatie van de spanning over de condensator $V_C(t)$ als functie van de tijd is weergegeven in de figuur.

Dus in het R-C ontladingsschakeling, als de spanning over de condensator exponentieel afneemt, stijgt de stroom door de condensator met dezelfde snelheid exponentieel. Wanneer de spanning over de condensator nul bereikt, bereikt de stroom een gestabiliseerde waarde.

Verklaring: Respecteer het oorspronkelijke, goede artikelen zijn de moede gedeeld te zijn, indien er een inbreuk is wordt gevraagd om verwijdering.

Geef een fooi en moedig de auteur aan

Onderwerpen:

Schakeltheorie

RLC-schakeling

Over experts

Electrical4u

China

Expertisegebied

Basic Electrical

Professioneel artikel

607