Анализ RC-цепи: последовательное и параллельное соединение уравнения и передаточная функция

Electrical4u

Поле: Основы электротехники

China

Что такое RC-цепь?

RC-цепь (также известная как RC-фильтр или RC-сеть) означает цепь с резистором и конденсатором. RC-цепь определяется как электрическая цепь, состоящая из пассивных компонентов цепи, таких как резистор (R) и конденсатор (C), управляемая источником напряжения или источником тока.

Из-за наличия резистора в идеальной форме цепи, RC-цепь будет потреблять энергию, подобно RL-цепи или RLC-цепи.

Это отличается от идеальной формы LC-цепи, которая не будет потреблять энергию из-за отсутствия резистора. Хотя это верно только для идеальной формы цепи, на практике даже LC-цепь будет потреблять некоторую энергию из-за ненулевого сопротивления компонентов и соединительных проводов.

Последовательная RC-цепь

В последовательной RC-цепи чистый резистор с сопротивлением R в омах и чистый конденсатор ёмкостью C в фарадах соединены последовательно.

Здесь $I$ — это действующее значение тока в цепи.

$V_R$ — напряжение на резисторе R.

$V_C$ — напряжение на конденсаторе C.

$V$ — действующее значение напряжения питания.

На рисунке показана векторная диаграмма последовательной RC-цепи.

Поскольку в последовательной цепи ток $'I'$ одинаков, он принимается за опору.

$V_R = IR$ изображается в фазе с током $'I'$ , так как в чистом резисторе напряжение и ток находятся в одной фазе.

$V_C=I X_C$ отстает от тока $'I'$ на $90^0$ , так как в чистом конденсаторе напряжение и ток смещены друг относительно друга на $90^0$ , то есть напряжение отстает от тока на $90^0$ или ток опережает напряжение на $90^0$ .

Теперь $V$ является векторной суммой $V_R$ и $V_C$ .

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

Сопротивление импеданса R-C цепи равно

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

Треугольники напряжения и импеданса показаны на рисунке.

Как видно, вектор $V$ отстает от $I$ на угол ø, где

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

Таким образом, в цепи RC последовательного соединения ток $'I'$ опережает напряжение питания $'V'$ на угол

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

Напряжение и ток в цепи R-C показаны на рисунке.

Мощность в RC-цепи

Мгновенное значение мощности является произведением мгновенных значений напряжения и тока

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [где, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, потому что \,\, кривая \,\, cos \,\, симметрична] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

Таким образом, мгновенная мощность состоит из двух частей.

1. Постоянная часть = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. Переменная составляющая = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ которая изменяется вдвое чаще, чем частота питания.

Среднее значение переменной составляющей мощности за полный цикл равно нулю.

Таким образом, средняя мощность, потребляемая в RC-цепи за один цикл, составляет

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

Где $V$ и $I$ — это среднеквадратичные значения приложенного напряжения и тока в цепи.

Коэффициент мощности в последовательной RC-цепи

Рассмотрим рисунок, показывающий мощность и импеданс треугольники.

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (коэффициент мощности) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (активная мощность)\,\,} {S \,\, (полная мощность)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

Параллельная RC-цепь

В параллельной R-C цепи чистый резистор с сопротивлением $R$ в омах и чистый конденсатор с ёмкостью $C$ в фарадах соединены параллельно.

Напряжения в параллельной R-C цепи одинаковы, поэтому приложенное напряжение равно напряжению на резисторе и напряжению на конденсаторе. Ток в параллельной R-C цепи равен сумме тока через резистор и тока через конденсатор.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

Для резистора ток через него определяется по закону Ома:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

Связь между напряжением и током для конденсатора следующая:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

Применяя Закон Кирхгофа для токов (KCL) к параллельной R-C цепи

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

Приведенное выше уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка для RC-цепи.

Передаточная функция параллельной RC-цепи:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

Уравнения RC-цепи

Конденсатор C в частотной области ведет себя как $\frac {1} {sC}$ с источником напряжения $\frac {vC(0^-)} {s}$ , подключенным последовательно к нему, где $vC (0^-)$ — это начальное напряжение на конденсаторе.

Импеданс: Комплексный импеданс, $Z_C$ конденсатора ёмкостью C равен

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ обозначает мнимую часть $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ обозначает синусоидальную угловую частоту (радианы в секунду)

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

Ток: Ток везде одинаков в последовательной R-C цепи.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Напряжение: Применяя правило делителя напряжения, напряжение на конденсаторе равно:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

а напряжение на резисторе равно:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

Ток в RC-цепи

Ток везде одинаков в последовательной R-C цепи.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Передаточная функция RC-цепи

Передаточная функция от входного напряжения к напряжению на конденсаторе является

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

Аналогично передаточная функция от входного напряжения к напряжению на резисторе является

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

Ответ цепи RC на ступенчатое воздействие

Когда в цепи что-то изменяется, например, замыкается выключатель, напряжение и ток также меняются и адаптируются к новым условиям. Если изменение происходит скачкообразно, то ответ называется ступенчатым ответом.

Общая реакция цепи равна сумме вынужденной и естественной реакций. Эти реакции можно объединить, используя принцип суперпозиции.

Вынужденная реакция — это ситуация, когда источник питания включен, но начальные условия (внутренняя накопленная энергия) считаются равными нулю.

Естественная реакция — это ситуация, когда источник питания выключен, но цепь учитывает начальные условия (начальное напряжение на конденсаторах и ток в индуктивностях). Естественная реакция также называется реакцией при нулевом входе, так как источник питания выключен.

Следовательно, общая реакция = вынужденная реакция + естественная реакция

Что такое начальное условие?

В случае индуктивности, ток через неё не может измениться мгновенно. Это означает, что ток через индуктивность в момент $t=0^-$ останется таким же сразу после перехода в момент $t=0^+$ . Т.е.,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

В случае конденсатора напряжение на нем не может измениться мгновенно. Это означает, что напряжение на конденсаторе в момент $t=0^-$ останется таким же сразу после перехода в момент $t=0^+$ . т.е.,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

Принужденный отклик управляемой RC-цепи

Предположим, что конденсатор изначально полностью разряжен и выключатель (K) долго открыт, а затем он закрывается в момент $t=0$ .

Force Response Of Driven Series R C Circuit

При $t=0^-$ выключатель K открыт

Это начальное условие, поэтому мы можем записать,

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

Поскольку напряжение на конденсаторе не может изменяться мгновенно.

Для всех $t\geq0$ выключатель K закрыт.

Теперь в схему вводится источник напряжения. Применяя закон Кирхгофа для замкнутого контура, получаем,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

Теперь i(t) — это ток через конденсатор, и его можно выразить через напряжение на конденсаторе следующим образом

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

Подставляя это в уравнение (2), получаем

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

Разделяя переменные, получаем

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

Интегрируя обе стороны

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

где $K^'$ — произвольная константа

Чтобы найти $K'$ : Используя начальные условия, т.е. подставляя уравнение (1) в уравнение (3), мы получаем,

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

Подставляя значение K’ в уравнение (3), мы получаем,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_s - V_c (t)] - \ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([\ln[a] - \ln[b] = \ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Принимая антилогарифм, получаем,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

Приведенное выше уравнение указывает на решение первого порядка дифференциального уравнения последовательной R-C цепи.

Вышеприведенный ответ представляет собой комбинацию установившейся реакции, то есть $V_S$

и переходного процесса, то есть $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

Естественная реакция источника свободной последовательной RC цепи

Реакция без источника — это разряд конденсатора через резистор, подключенный к нему последовательно.

Естественная реакция бесисточниковой RC-цепи

Для всех $t>=0^+$ ключ K закрыт

Применяя закон Кирхгофа к данному контуру, получаем,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

Подставляя это значение тока в уравнение (6), получаем,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

Разделяя переменные, получаем

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

Интегрируя обе стороны

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

Где $K^'$ — произвольная константа

Чтобы найти $K^'$ : Используя начальное условие, т.е. подставляя уравнение (1) в уравнение (7), получаем,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

Подставляя значение $K^'$ в уравнение (7), получаем,

$\begin{align*} \ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + \ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_c (t)] - \ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Принимая антилогарифм, получаем,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

Приведенное выше уравнение показывает естественную реакцию последовательной RC-цепи.

Теперь, полная реакция = вынужденная реакция + естественная реакция

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

Где, $V_S$ — это ступенчатое напряжение.

$V_0$ — это начальное напряжение на конденсаторе.

Постоянная времени RC-цепи

Постоянная времени RC-цепи определяется как время, за которое напряжение на конденсаторе достигает своего окончательного установившегося значения.

Одна постоянная времени — это время, необходимое для того, чтобы напряжение возросло до 0,632 от установившегося значения, или время, необходимое для того, чтобы ток уменьшился до 0,368 от установившегося значения.

Постоянная времени RC-цепи равна произведению сопротивления и емкости.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Единица измерения — секунда.

Частотная характеристика RC-цепи

Используя метод импеданса: Общее уравнение для частотной характеристики системы

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

Теперь примените правило делителя потенциала к приведённой выше цепи

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

Где, $Z_C$ = Импеданс конденсатора

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

Подставьте это в уравнение (10), получим,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

Вышеуказанный отклик представляет собой частотную характеристику RC-цепи в комплексной форме.

Дифференциальное уравнение RC-цепи

Дифференциальное уравнение зарядки RC-цепи

Напряжение на конденсаторе задается следующим образом

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Теперь ток через конденсатор задается следующим образом

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Дифференциальное уравнение разрядного RC-контура

Напряжение на конденсаторе задается формулой

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Теперь ток через конденсатор задается формулой

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Зарядка и разрядка RC-цепи

Зарядка RC-цепи

На рисунке показана простая цепь R-C, в которой конденсатор (C) соединен последовательно с резистором (R), подключенным к источнику постоянного напряжения через механический переключатель (K). Конденсатор изначально разряжен. Когда переключатель K закрывается, конденсатор постепенно заряжается через резистор до тех пор, пока напряжение на конденсаторе не станет равным напряжению источника питания. Заряд на пластинах конденсатора определяется как Q = CV.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

Из приведенного уравнения ясно, что напряжение на конденсаторе увеличивается экспоненциально.

Где,

$V_C$ — напряжение на конденсаторе
$V$ — напряжение источника питания.

RC — это временная константа цепи зарядки RC, то есть $\tau = R C$

Подставим разные значения времени t в уравнения (11) и (12), получим напряжение заряда конденсатора, то есть

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

и ток заряда конденсатора

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

Изменение напряжения на конденсаторе $V_C(t)$ и тока через конденсатор $i(t)$ как функция времени показано на рисунке.

Таким образом, в зарядной цепи R-C, если напряжение на конденсаторе растёт экспоненциально, то ток через конденсатор убывает экспоненциально с той же скоростью. Когда напряжение на конденсаторе достигает установившегося значения, ток уменьшается до нуля.

Разрядная цепь RC

Если полностью заряженный конденсатор отключить от источника питания, энергия, накопленная в конденсаторе во время заряда, будет оставаться на его пластинах неограниченно долго, поддерживая постоянное значение напряжения между его выводами.

Теперь, если заменить источник питания коротким замыканием и замкнуть ключ, конденсатор начнёт разряжаться через резистор, и мы получим цепь, называемую разрядной цепью RC.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

Из приведенного выше уравнения ясно, что напряжение на конденсаторе уменьшается экспоненциально. Это означает, что при разряде цепи R-C, конденсатор разряжается через резистор R, подключенный к нему последовательно. Теперь временная постоянная для цепи заряда R-C и цепи разряда R-C одинакова и составляет

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Подставим различные значения времени t в уравнения (13) и (14), получим напряжение разряда конденсатора, то есть

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

Изменение напряжения на конденсаторе $V_C(t)$ в зависимости от времени показано на рисунке.

Таким образом, в цепи разрядки R-C, если напряжение на конденсаторе уменьшается экспоненциально, ток через конденсатор увеличивается экспоненциально с той же скоростью. Когда напряжение на конденсаторе достигает нулевого значения, ток достигает стационарного значения.

Заявление: Уважайте оригинал, хорошие статьи стоят того, чтобы ими делиться, если есть нарушение авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.

Оставить чаевые и поощрить автора

Темы:

Теория электрических цепей

RLC-цепь

О специалистах

Electrical4u

China

Область экспертизы

Basic Electrical

Профессиональная статья

607