Circuitus RC Analyse: Series Parallel Aequationes et Function Transfer

Electrical4u

Campus: Electrica Elementaria

China

Quid est circuitus RC?

Circuitus RC (etiam cognitus ut circuitus vel rete RC) significat circuitum resistens-capacitatis. Circuitus RC definitur ut circuitus electricus compositus ex componentibus passivis circuiti, scilicet resistore (R) et capacitore (C), qui movetur per fontem tensionis vel fontem currentis.

Propter praesentiam resistoris in forma idealis circuiti, circuitus RC consumet energiam, similiter ac circuitus RL vel circuitus RLC.

Hoc non est sicut in forma idealis circuitus LC, qui nullam energiam consumet propter absentiam resistoris. Licet hoc sit tantum in forma idealis circuiti, et in usu, etiam circuitus LC aliquam quantitatem energiae consumet propter non-nullam resistentiam componentium et filorum coniungentium.

Circuitus RC Series

In circuitu serie RC, purus resistor habens resistentiam R in ohmis et purus capacitor capacitatis C in Faradis sunt coniuncti in serie.

Hic $I$ est valorem RMS currentis in circuitu.

$V_R$ est voltage super resistore R.

$V_C$ est voltage super capacitor C.

$V$ est valorem RMS voltage supply.

Figura monstrat diagrammam vectoriale circuiti series RC.

Cum in circuitu seriei currus $'I'$ sit idem, itaque sumitur ut referens.

$V_R = IR$ pingitur in phase cum currente $'I'$ quia in pura resistore voltage et current sunt in phase inter se.

$V_C=I X_C$ trahitur post currentem $'I'$ per $90^0$ quia in capacitore puro capacitator voltage et currentis sunt $90^0$ ex altero i.e. voltage sequitur currentem per $90^0$ aut currentis praecedit voltage per $90^0$ .

Nunc $V$ est summa vectorialis $V_R$ et $V_C$ .

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

Impedentia circuitus R-C series est:

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

Tria tensionis et impedentiae ostenduntur in figura.

Ut videtur, vector $V$ sequitur $I$ angulo ø ubi

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

Itaque in circuitu seriei R-C currentus $'I'$ praecedit tensionem alimentariam $'V'$ angulo

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

Formae undarum tensionis et currentis circuiti R-C series ostenduntur in fig.

Potestas in circuitu R-C series

Valorem instantaneum potestatis est productus valorum instantaneorum tensionis et currentis.

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [ubi, \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, quia \,\, curva \,\, cos \,\, est \,\, symmetrice] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

Ita potestas instantanea constat ex duobus partibus.

1. Pars constans = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

2. Pars variabilis = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ quae variatur ad bis frequentiam alimenti.

Valorem medium componentis potestatis variabilis per unum circulum est nullus.

Ita valorem medium potestatis consumptae in circuitu serie RC per unum circulum est

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

Ubi $V$ et $I$ sunt valores RMS tensionis applicatae et currentis in circuitu.

Factor Potentiae in Circuito RC Serie

Considera figuram monstrantem potentiam et impedimentum triangula.

Triangulum Potentiae et Triangulum Impedimenti

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (factor potentiae) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (potentia activa)\,\,} {S \,\, (potentia apparentis)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

Circuito RC Parallelo

In circuitu R-C paralleli, resistor purus habens resistentiam $R$ in ohmis et capacitor purus capacitate capacitatis $C$ in Faradis sunt connecti in parallelum.

In circuitu R-C paralleli, deminutio tensionis est eadem, ideoque tensio applicata aequalis est tensioni trans resistorem et tensioni trans capacitorem. Currentus in circuitu R-C parallelus est summa currentus per resistorem et capacitorem.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

Pro resistentiam, currentem per eam dat lex Ohmi:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

Relatio inter tensionem et currentem pro condensatore est:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

Applicando legem KCL (Legem Kirchhoff de circuito) ad circuitum R-C parallelum

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

Supra positae aequationis est aequatio differentialis primi ordinis circuiti R-C.

Functio transferendi circuiti RC parallelorum:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

Aequationes circuiti RC

Capacitor C agit ut $\frac {1} {sC}$ in dominio frequentiae cum fonte tensionis $\frac {vC(0^-)} {s}$ in serie cum eo ubi $vC (0^-)$ est tensio initialis trans capacitor.

Impedantia: Impedantia complexa $Z_C$ capacitatis C est

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ repraesentat partem imaginariam $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ repraesentat frequentiam angularim sinusoidalem (radii per secundum)

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

Currentus: Currentus ubique in circuitu seriei R-C idem est.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Voltage: Applicando regulam divideris voltantis, voltage trans condensatorum est:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

et voltage trans resistorem est:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

Currentus Circuiti RC

Currentus ubique in circuitu seriei R-C idem est.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

Translatio Functionis Circuiti RC

Translatio functionis ab tensione input ad tensionem super condensatore est

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

Similiter translatio functionis ab tensione input ad tensionem super resistore est

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

Responsum Gradus Circuiti RC

Cum aliquid mutat in circuitu sicut clausura commutatoris tunc etiam tensio et currentis mutantur et se adaptant ad novas conditiones. Si mutatio est gradus subitaneus responsum vocatur responsum gradus.

Responsum totum circuiti est aequale responso coacto addito responso naturali. Haec responsum possunt combinari per principium superpositionis.

Responsum coactum est unum in quo fons alimentationis est accensus, sed conditiones initiales (energiae interne conservatae) assumuntur esse nulla.

Responsum naturale est unum in quo fons alimentationis est extinctus, sed circuitus includit conditiones initiales (voltage initiale in condensatoribus et currentem in inductoribus). Responsum naturale vocatur etiam responsum nullae input quia fons alimentationis est extinctus.

Itaque, responsum totum = responsum coactum + responsum naturale

Quid est Condicio Initialis?

In casu inductor, currentem per eum non potest instantaneo mutari. Id est, currentem per inductor ad instantem $t=0^-$ permanebit idem post transitum ad instantem $t=0^+$ . i.e.,

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

In casu capacitatoris, voltus trans capacitator non potest mutari instantaneo. Hoc significat quod voltus trans capacitator in instanti $t=0^-$ permanebit idem iusto post transitionem in instanti $t=0^+$ . i.e.,

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

Responsus coactus circuiti RC serie ducti

Ponamus capacitator initio plene discaricatum et commutator (K) apertum per tempus longissimum et clausum in $t=0$ .

Force Response Of Driven Series R C Circuit

In $t=0^-$ commutator K est apertus

Hoc est conditio initialis ergo possumus scribere,

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

Quia tensio per capacitorem non potest mutari instantanea.

Pro omnibus $t\geq0$ commutator K est clausus.

Nunc fons tensionis introducitur in circuitum. Ergo applicando KVL ad circuitum, habemus,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(2)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

Nunc i(t) est currus per condensatorem et potest exprimi in terminis voltus trans condensatorem sicut

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

Substitue hoc in aequatione (2), habemus,

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

Separando variabiles, habemus

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

Integrantes utraque partis

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

ubi $K^'$ est constans arbitraria

Ut $K'$ inveniatur: Usando conditionem initialem, id est substituendo aequationem (1) in aequationem (3), habemus,

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

Substituendo valorem K’ in aequationem (3) habemus,

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_s - V_c (t)] - ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([ln[a] - ln[b] = ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Capitis antilogarithmum sumendo, habemus,

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(5)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

Supra positae aequationis solutio ostendit solutionem aequationis differentialis primi ordinis circuiti R-C series.

Responsum praefatum est combinatio responsum stabilis i.e. $V_S$

et responsum transitorium i.e. $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

Responsum Naturale Circuiti RC Series Sine Fonte

Responsum sine fonte est emissio condensatoris per resistorem in serie cum eo.

Naturalis Responsum Circuito Serie R C Sine Fonte

Pro omnia $t>=0^+$ commutator K clauditur

Applicando KVL ad circuitum supradictum, habemus,

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Nunc \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

Substituendo hanc valorem currentis in aequationem (6), habemus,

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

Separando variabiles, habemus

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

Integrantes utrumque latus

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

Ubi $K^'$ est constans arbitraria

Ad inveniendum $K^'$ : Utendo conditione initiale, id est substituendo aequationem (1) in aequationem (7), habemus,

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(8)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

Substituendo valorem $K^'$ in aequationem (7) habemus,

$\begin{align*} ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} ln [V_c (t)] - ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

Capitis antilogarithmum sumendo, habemus,

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

Aequatio supra indicat responsionem naturalem circuiti RC serie.

Nunc, responsum totale = responsum coactum + responsum naturale

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

Ubi, $V_S$ est voltus gradus.

$V_0$ est voltus initialis in condensatore.

Tempus Constantis Circuiti RC

Tempus constantis circuiti R-C potest definiri ut tempus quo tensio in condensatore attingit valorem suum finalem et stabilis.

Unum tempus constantis est tempus necessarium ut tensio ascendat ad 0.632 partem valoris stabilis vel ut amperes decrescant ad 0.368 partem valoris stabilis.

Tempus constantis circuiti R-C est productum resistentiae et capacitatis.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Unitas eius est secundum.

Responsio Frequentialis Circuiti RC

Usando Methodum Impedientiae: Aequatio generalis pro systemate responsionali frequentiali est

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

Nunc appliquemus regulam divisoris potentiae ad circuitum supra

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

Ubi, $Z_C$ = Impedimentum capacitatis

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

Substituamus hoc in aequatione (10), obtinemus,

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

Responsum praecedens est responsus frequentiae circuiti R-C forma complexa.

Aequatio differentialis circuiti R-C

Aequatio differentialis circuiti R-C caricae

Tensio in condensatore datur per

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Nunc currentus per condensatorem datus est

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(12)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Aequatio differentialis circuitus RC dischargendi

Tensio in condensatore datur per

(13)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

Nunc currentis per condensatorem datur per

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(14)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

Circuitus RC Caricandi et Disperdendi

Caricatio Circuiti RC

Figura ostendit circuitum R-C simplicem, in quo condensator (C), in serie cum resistente (R) connectitur ad fontem tensionis DC per commutatorem mechanicum (K). Condensator initio non est caricus. Quando commutator K clauditur, condensator paulatim cariatur per resistantiam donec tensio super condensatore fit aequalis fonti tensionis. Carica in laminis condensatoris datur ut Q = CV.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

Ex aequatione supra, patet quod tensio condensatoris crescere incipit exponentialiter.

Ubi,

$V_C$ est tensio super condensatore
$V$ est tensio fontis.

RC est constantia temporis circuiti R-C pro carica. id est $\tau = R C$

Substituamus diversos valores temporis t in aequationibus (11) et (12), tunc obtinemus tensionem capacitatis caricae, id est

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

et currentis capacitatis caricae

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

Variatio tensio in condensatore $V_C(t)$ et currentis per condensator $i(t)$ ut functionis temporis demonstratur in figura.

Itaque in circuitu R-C carica, si tensio in condensatore crescat exponentialiter, currentis per condensator decrescit exponentialiter eadem ratione. Cum tensio in condensatore ad valorem stationarium pervenit, currentis ad valorem nihili diminuitur.

Circuitus RC Descaricandi

Si condensator plene caricus nunc disiungitur a tensione alimentaria, energia conservata in condensatore durante processum caricae permanebit indefinita in suis laminis, servans tensionem conservatam inter terminales eius ad valorem constantem.

Nunc si bateria substituitur circuito brevi et cum commutator claudetur, condensator descaricabitur per resistorem, habemus circuitum qui dicitur circuitus RC descaricandi.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

Ex aequatione supradicta clare est, voltus condensatoris exponencialiter decrescit. Id est, in circuitu R-C dischargendi, condensator per resistorem R in serie cum eo dischargetur. Tempus constantia circuiti R-C chargendi et circuiti R-C dischargendi idem est et est

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

Substituamus valores diversos temporis t in aequationibus (13) et (14), obtinemus voltum dischargendi condensatoris, videlicet

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

Variatio tensio per condensatorem $V_C(t)$ ut functio temporis ostenditur in figura.

Itaque in circuitu R-C dischargendi, similiter si tensio per condensatorem exponentialiter decrescit, currentis per condensatorem exponentialiter crescit eodem gradu. Quando tensio per condensatorem ad valorem nullum pervenit, currentis ad valorem stabilis pervenit.

Declaratio: Respectare originale, boni scripta merentur communicari, si infringatur ius contactetur ad deletionem.

Donum da et auctorem hortare

Thematibus:

Theoria Circuitus

Circuitus RLC

De expertis

Electrical4u

China

Area Expertiae

Basic Electrical

Articulus professionalis

607