تحلیل مدار RC: سری، موازی، معادلات و تابع انتقال

Electrical4u

ميدان: Electrical Basics

China

چه چیزی مدار RC است؟

مدار RC (که همچنین به عنوان فیلتر RC یا شبکه RC نیز شناخته می‌شود) به معنای مدار مقاومت-خازن است. مدار RC به عنوان یک مدار الکتریکی تعریف می‌شود که از اجزای غیرفعال مدار شامل یک مقاومت (R) و یک خازن (C) تشکیل شده است که توسط یک منبع ولتاژ یا یک منبع جریان پشتیبانی می‌شود.

به دلیل وجود مقاومت در شکل ایده‌آل مدار، مدار RC انرژی مصرف می‌کند، مشابه یک مدار RL یا یک مدار RLC.

این مورد با شکل ایده‌آل یک مدار LC متفاوت است که به دلیل عدم وجود مقاومت، هیچ انرژی مصرف نمی‌کند. اگرچه این فقط در شکل ایده‌آل مدار صدق می‌کند و در عمل، حتی یک مدار LC نیز به دلیل مقاومت غیرصفری اجزا و سیم‌های اتصال، انرژی مصرف می‌کند.

مدار RC سری

در مدار سری RC، مقاومت خالص دارای مقاومت R به اهم و خازن خالص با ظرفیت C به فاراد در سری متصل شده است.

در اینجا $I$ مقدار RMS جریان در مدار است.

$V_R$ ولتاژ روی مقاومت R است.

$V_C$ ولتاژ روی خازن C است.

$V$ مقدار RMS ولتاژ تغذیه است.

شکل نمودار برداری مدار سری RC را نشان می‌دهد.

از آنجا که در مدار سری جریان $'I'$ یکسان است، به عنوان مرجع در نظر گرفته می‌شود.

$V_R = IR$ با فاز جریان $'I'$ همزمان رسم می‌شود زیرا در مقاومت خالص مقاومت ولتاژ و جریان با یکدیگر همزمان هستند.

$V_C=I X_C$ با تأخیر نسبت به جریان $'I'$ با زاویه $90^0$ رسم می‌شود زیرا در یک کندساتور خالص ولتاژ و جریان کندساتور با اختلاف فاز $90^0$ از هم جدا می‌شوند یعنی ولتاژ با تأخیر $90^0$ نسبت به جریان یا جریان با پیشیگیری $90^0$ نسبت به ولتاژ.

اکنون $V$ مجموع برداری از $V_R$ و $V_C$ است.

$\begin{align*} \,\, therefore, \,\, V^2 = {V_R}^2 + {V_C}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} V = {\sqrt{{V_R}^2 + {V_C}^2}} \ & = {\sqrt{{IR}^2 + {IX_C}^2}} \ & = I {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \ & = IZ \ \end{split} \end{align*}$

پس ممانعت دستگاه سری R-C برابر است با

$\begin{align*} Z = {\sqrt{{R}^2 + {X_C}^2}} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, X_C = \frac{1}{{\omega}C} = \frac{1}{2{\pi}fC} \end{align*}$

د ولتاژ او ممانعت الکتریکی د مثلث په شکل کې نښته شوی دی.

په دې ډول، د $V$ وکټر د $I$ ته څخه د فایی ګوندې لري که:

$\begin{align*} tan{\phi} = \frac{IX_C}{IR} \end{align*}$

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

بنابراین در مدار سری R-C جریان $'I'$ از ولتاژ تغذیه $'V'$ با زاویه‌ای

$\begin{align*} {\phi} =tan^-^1 \frac{X_C}{R} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, i.e. \,\ if \,\,V = V_m sin{\omega}t \end{align*}$

$\begin{align*} i = I_m sin({\omega}t + {\phi}) \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, where, \,\, I_m = \frac{V_m}{Z} \end{align*}$

نمودارهای ولتاژ و جریان مدار سری R-C در شکل نشان داده شده است.

توان در مدار سری RC

مقدار لحظه‌ای توان حاصل ضرب مقادیر لحظه‌ای ولتاژ و جریان است.

$\begin{align*} P = V I \end{align*}$

$\begin{align*} = (V_m sin{\omega}t) [I_m sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [2sin{\omega}t * sin({\omega}t + {\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos[{\omega}t-({\omega}t+{\phi})] - cos[{\omega}t+({\omega}t+{\phi})]] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos({-\phi}) - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} [cos{\phi} - cos({2\omega}t+{\phi})] \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, [که در آن، \,\, cos ({-\phi}) = cos {\phi} \,\, چون \,\, منحنی \,\, cos \,\, متقارن است] \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} - \frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi}) \end{align*}$

بنابراین توان لحظه‌ای از دو بخش تشکیل شده است.

۱. بخش ثابت = $\frac{V_m I_m}{2} cos{\phi}$

۲. بخش متغیر = $\frac{V_m I_m}{2} cos({2\omega}t+{\phi})$ که با فرکانس دو برابر ولتاژ تغییر می‌کند.

مقدار متوسط بخش تغییرپذیر توان در طول یک دور کامل صفر است.

بنابراین مقدار متوسط توان مصرفی در یک مدار سری RC در طول یک دور

$\begin{align*} \begin{split} P = \frac{V_m I_m}{2} cos{\phi} \ & = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} cos{\phi} \ & = V I cos{\phi} \ \end{split} \end{align*}$

کجا که $V$ و $I$ مقادیر RMS ولتاژ و جریان اعمال شده در مدار هستند.

فاکتور توان در مدار RC سری

شکل زیر نمایانگر مثلث‌های توان و امپدانس است.

$\begin{align*} \begin{split} \,\, (فاکتور توان) \,\, cos{\phi} = \frac{P \,\, (توان فعال)\,\,} {S \,\, (توان ظاهری)\,\,} \ & = \frac{R} {Z} \ & = \frac{R} {\sqrt{{R}^2 +{X_C}^2}} \ \end{split} \end{align*}$

مدار RC موازی

در مدار موازی R-C مقاومت خالص دارای مقاومت $R$ در اهم و خازن خالص با ظرفیت خازن ظرفیت $C$ در فاراد به صورت موازی متصل شده‌اند.

فروپاشی ولتاژ در مدار موازی RC یکسان است بنابراین ولتاژ اعمال شده برابر با ولتاژ روی مقاومت و ولتاژ روی خازن است. جریان در مدار موازی R-C مجموع جریان از طریق مقاومت و خازن است.

$\begin{align*} V = V_R = V_C \end{align*}$

$\begin{align*} I = I_R + I_C \end{align*}$

برای مقاومت، جریان از طریق آن با قانون اهم داده می‌شود:قانون اهم:

$\begin{align*} I_R = \frac {V_i_n} {R} \end{align*}$

رابطه ولتاژ-جریان برای خازن به صورت زیر است:

$\begin{align*} I_C = C \frac {dV_i_n} {dt} \end{align*}$

با استفاده از قانون جریان کیرشهف (KCL) در مدار موازی R-C

$\begin{align*} I_R + I_C = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{v} {R} +C \frac {dV} {dt} = 0 \end{align*}$

معادله فوق معادله دیفرانسیل مرتبه اول مدار RC است.

تابع تبدیل مدار موازی RC:

$\begin{align*} H(s) = \frac {V_o_u_t} {I_i_n} = \frac {R}{1+RCs} \end{align*}$

معادلات مدار RC

خازن C در حوزه فرکانس به عنوان $\frac {1} {sC}$ رفتار می‌کند با منبع ولتاژ $\frac {vC(0^-)} {s}$ در سری با آن که در آن $vC (0^-)$ ولتاژ اولیه روی خازن است.

مقاومت الکترومغناطیسی: مقاومت الکترومغناطیسی پیچیده، $Z_C$ کندانسور C به صورت زیر است

$\begin{align*} Z_C = \frac {1} {sC} \end{align*}$

$\begin{align*} \,\, Where, \,\, s = j{\omega} \end{align*}$

$\,\,1.\,\, j$ نشان‌دهنده بخش موهومی است $j^2 = -1$

$\,\,2.\,\, \omega$ نشان‌دهنده فرکانس زاویه‌ای سینوسی (رادیان بر ثانیه) است

$\begin{align*} Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{j}{j2\omega C} = -\frac{j}{\omega C} \end{align*}$

جریان: جریان در مدار سری RC در همه جا یکسان است.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

ولتاژ: با استفاده از قاعده تقسیم ولتاژ، ولتاژ روی خازن به صورت زیر است:

$\begin{align*} \begin{split} V_C(s) = \frac {\frac{1}{Cs}}{{R+\frac{1}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac {\frac{1}{Cs}}{{\frac{1+RCs}{Cs}}} V_i_n(s) \ & = \frac{1}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

و ولتاژ روی مقاومت به صورت زیر است:

$\begin{align*} \begin{split} V_R(s) = \frac{R}{R+\frac{1}{Cs}} V_i_n(s) \ & = \frac{R}{\frac{1+RCs}{Cs}} V_i_n(s) \ &= \frac{RCs}{1+RCs}V_i_n(s) \ \end{split} \end{align*}$

جریان مدار RC

جریان در مدار سری RC در همه جا یکسان است.

$\begin{align*} I(s) = \frac{V_i_n(s)}{R+\frac{1}{Cs}} = {\frac{Cs}{1+RCs}}V_i_n(s) \end{align*}$

تابع انتقالی مدار RC

تابع انتقالی از ولتاژ ورودی به ولتاژ روی خازن برابر است با

$\begin{align*} H_C(s) = \frac{V_C(s)}{V_i_n(s)} = \frac{1}{1+RCs} \end{align*}$

به طور مشابه، تابع انتقالی از ولتاژ ورودی به ولتاژ روی مقاومت برابر است با

$\begin{align*} H_R(s) = \frac{V_R(s)}{V_i_n(s)} = \frac{RCs}{1+RCs} \end{align*}$

پاسخ پله‌ای مدار RC

هنگامی که در یک مدار تغییری رخ می‌دهد، مثلاً وقتی یک سوئیچ بسته می‌شود، ولتاژ و جریان نیز تغییر می‌کنند و به شرایط جدید تنظیم می‌شوند. اگر تغییر به صورت یک پله‌ای تند باشد، پاسخ به آن پاسخ پله‌ای نامیده می‌شود.

پاسخ کلی مدار برابر است با پاسخ اجباری به اضافه پاسخ طبیعی. این پاسخ‌ها را می‌توان با استفاده از اصل برهم‌نهی ترکیب کرد.

پاسخ اجباری آن حالت است که منبع تغذیه روشن شده ولی شرایط اولیه (انرژی ذخیره شده داخلی) صفر فرض می‌شود.

پاسخ طبیعی آن حالت است که منبع تغذیه خاموش شده ولی مدار شامل شرایط اولیه (ولتاژ اولیه روی خازن‌ها و جریان در سلف‌ها) است. پاسخ طبیعی همچنین پاسخ بدون ورودی نامیده می‌شود زیرا منبع تغذیه خاموش شده است.

بنابراین، پاسخ کلی = پاسخ اجباری + پاسخ طبیعی

شرایط اولیه چیست؟

در مورد یک سلف، جریان از آن نمی‌تواند به طور فوری تغییر کند. این بدان معناست که جریان از سلف در لحظه $t=0^-$ در لحظه بعد از انتقال در لحظه $t=0^+$ ثابت می‌ماند. یعنی،

$\begin{align*} i (0^-) = I_0 = 0 = i (0^+) \end{align*}$

در مورد خازن، ولتاژ روی خازن نمی‌تواند به طور فوری تغییر کند. این بدان معناست که ولتاژ روی خازن در لحظه $t=0^-$ پس از انتقال در لحظه $t=0^+$ ثابت می‌ماند. یعنی،

$\begin{align*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{align*}$

پاسخ اجباری مدار RC سری مشتق شده

فرض کنید که خازن ابتدا کاملاً خالی شده و قطعکن (K) برای مدت طولانی باز است و در زمان $t=0$ بسته می‌شود.

Force Response Of Driven Series R C Circuit

در $t=0^-$ کلید K باز است

این یک شرط اولیه است بنابراین می‌توانیم بنویسیم،

(1)

$\begin{equation*} V_C (0^-) = V_0 = V = V_C (0^+) \end{equation*}$

چون ولتاژ روی خازن نمی‌تواند به طور فوری تغییر کند.

برای تمام $t\geq0$ کلید K بسته است.

اکنون منبع ولتاژ در مدار معرفی شده است. بنابراین با استفاده از قانون ولتاژ کیرشهف در مدار، داریم،

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) + V_s =0 \end{align*}$

(٢)

$\begin{equation*} R i(t) + V_c(t) = V_s \end{equation*}$

حالاً، i(t) جریان عبوری از خازن است و می‌توان آن را به صورت ولتاژ بر روی خازن بیان کرد.

$\begin{align*} i (t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} \end{align*}$

با جایگذاری این رابطه در معادله (٢)، داریم:

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} + V_c (t) = V_s \end{align*}$

$\begin{align*} RC \frac {dV_c(t)}{dt} = V_s - V_c (t) \end{align*}$

با تفکیک متغیرها، داریم

$\begin{align*} \frac{dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

با انتگرال‌گیری از هر دو طرف

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {[V_s - V_c (t)]} = \int \frac {1} {RC} dt \end{align*}$

(3)

$\begin{equation*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} + K^' \end{equation*}$

که در آن $K^'$ ثابت دلخواه است

برای پیدا کردن $K'$ : با استفاده از شرایط اولیه یعنی جایگذاری معادله (1) در معادله (3)، به دست می‌آوریم،

$\begin{align*} -ln [V_s - 0] = \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(4)

$\begin{equation*} {K^'} = -ln [V_s] \end{equation*}$

با جایگذاری مقدار K’ در معادله (3) به دست می‌آوریم،

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] = \frac {t} {RC} - ln[V_s] \end{align*}$

$\begin{align*} -ln [V_s - V_c (t)] + ln[V_s] = \frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_s - V_c (t)] - \ln[V_s] = -\frac {t} {RC} ([\ln[a] - \ln[b] = \ln \frac{a}{b}]) \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

با گرفتن لگاریتم معکوس، داریم:

$\begin{align*} \frac {V_s - V_c (t)}{V_s} = e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_s - V_c (t) = V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^ {-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(٥)

$\begin{equation*} V_c (t) = V_s (1 - e^ {-\frac {t} {RC}}) V \end{equation*}$

معادله فوق جواب معادله دیفرانسیل مرتبه اول مدار سری RC را نشان می‌دهد.

پاسخ فوق ترکیب پاسخ حالت پایدار یعنی $V_S$

و پاسخ گذرا یعنی $V_s * e^ {-\frac {t} {RC}}$

پاسخ طبیعی مدار سری RC بدون منبع

پاسخ بدون منبع، بارگیری خازن از طریق مقاومت سری با آن است.

برای همه $t>=0^+$ سوئیچ K بسته است

با اعمال قانون ولتاژ کیرشهف به مدار فوق، داریم،

$\begin{align*} -R i(t) - V_c(t) = 0 \end{align*}$

(6)

$\begin{equation*} R i(t) = - V_c(t) \end{equation*}$

$\begin{align*} \,\, Now \,\, i(t) = i_c (t) = C \frac {dV_c(t)} {dt} \end{align*}$

با جایگزینی این مقدار جریان در معادله (6)، داریم،

$\begin{align*} R C \frac {dV_c(t)} {dt} = - V_c (t) \end{align*}$

متغیرها را جدا کرده، داریم

$\begin{align*} \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

هر دو طرف را ادغام می‌کنیم

$\begin{align*} \int \frac {dV_c(t)} {V_c(t)} = \int - \frac {1} {R C} dt \end{align*}$

(7)

$\begin{equation*} ln [{V_c(t)}] = - \frac {1} {R C} + K^' \end{equation*}$

جایی که $K^'$ ثابت دلخواه است

برای پیدا کردن $K^'$ : با استفاده از شرایط اولیه یعنی جایگذاری معادله (۱) در معادله (۷)، خواهیم داشت،

$\begin{align*} ln [V_0] = - \frac {0} {RC} + K^' \end{align*}$

(۸)

$\begin{equation*} {K^'} = ln [V_0] \end{equation*}$

با جایگذاری مقدار $K^'$ در معادله (۷) خواهیم داشت،

$\begin{align*} \ln [V_c (t)] = - \frac {t} {RC} + \ln[V_0] \end{align*}$

$\begin{align*} \ln [V_c (t)] - \ln[V_0] = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

$\begin{align*} \ln \frac {V_c (t)} {V_0} = -\frac {t} {RC} \end{align*}$

با گرفتن لگاریتم معکوس، داریم

$\begin{align*} \frac {V_c (t)} {V_0} = e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

(9)

$\begin{equation*} V_c (t)} = V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{equation*}$

معادله فوق نشان‌دهنده پاسخ طبیعی مدار RC سری است.

حال، پاسخ کلی = پاسخ اجباری + پاسخ طبیعی

$\begin{align*} V_c (t) = V_s (1 - e^{-\frac {t} {RC}})+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s - V_s e^{-\frac {t} {RC}}+ V_0 e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

$\begin{align*} V_c (t) = V_s + (V_0 - V_s) e^{-\frac {t} {RC}} \end{align*}$

که در آن، $V_S$ ولتاژ پله است.

$V_0$ ولتاژ اولیه روی خازن است.

ثابت زمانی مدار RC

ثابت زمانی یک مدار R-C را می‌توان به عنوان زمانی تعریف کرد که طی آن ولتاژ روی خازن به مقدار نهایی و پایدار خود می‌رسد.

یک ثابت زمانی زمان لازم برای افزایش ولتاژ به ۰.۶۳۲ برابر مقدار پایدار یا زمان لازم برای کاهش جریان به ۰.۳۶۸ برابر مقدار پایدار است.

ثابت زمانی مدار R-C حاصل ضرب مقاومت و ظرفیت است.

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

واحد آن ثانیه است.

پاسخ فرکانسی مدار RC

با استفاده از روش امپدانس: معادله عمومی برای سیستم پاسخ فرکانسی

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {Y(\omega)} {X(\omega)} = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} \end{align*}$

حالا قاعده تقسیم پتانسیل را به مدار بالا اعمال کنید

(10)

$\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_c} {Z_c + R} \end{equation*}$

که در آن، $Z_C$ = مانع ظرفیتی است

$\begin{align*} Z_c = \frac {1} {j\omega C} \end{align*}$

این را در معادله (10) جایگزین کنید، داریم،

$\begin{align*} V_o_u_t = V_i_n \frac {\frac{1}{j\omega C}}{{\frac{1}{j\omega C} + R}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} =\frac {\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1+j\omega RC}{j\omega C}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

$\begin{align*} H (\omega) = \frac {V_o_u_t} {V_i_n} = \frac {1} {1+j\omega R C} \end{align*}$

پاسخ بالا پاسخ فرکانسی یک مدار RC در فرم مختلط است.

معادله دیفرانسیل مدار RC

معادله دیفرانسیل مدار شارژ RC

ولتاژ روی خازن به صورت زیر محاسبه می‌شود

(11)

$\begin{equation*} V_c(t) = V - V e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

حالا جریان از طریق خازن به صورت زیر بیان می‌شود

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V - V e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [0 - V (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [- V (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(۱۲)

$\begin{equation*} i(t) = \frac{V}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

معادله دیفرانسیل مدار RC خروجی

ولتاژ روی کندانسور با توجه به فرمول زیر محاسبه می‌شود

(۱۳)

$\begin{equation*} V_c(t) = V_0 e^{-\frac {t} {R C}} V \end{equation*}$

اکنون جریان عبوری از کندانسور با توجه به فرمول زیر محاسبه می‌شود

$\begin{align*} i(t) = i_c(t) = C \frac {dV_c(t)}{dt} = C \frac {d}{dt} [V_0 e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-t}{RC})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = C [V_0 (\frac{-1}{R})e^ {\frac{-t}{RC}}] \end{align*}$

$\begin{align*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{RC}} \end{align*}$

(١٤)

$\begin{equation*} i(t) = -\frac{V_0}{R}e^ {\frac{-t}{\tau}} A \end{equation*}$

مدار RC در حالت شارژ و دیشارژ

شارژ مدار RC

شکل مدار ساده RC را نشان می‌دهد که در آن خازن (C) با مقاومت (R) به صورت سری متصل شده و از طریق یک کلید مکانیکی (K) به منبع ولتاژ DC متصل است. خازن در ابتدا بدون بار است. وقتی کلید K بسته می‌شود، خازن از طریق مقاومت تدریجاً شارژ می‌شود تا ولتاژ روی خازن به مقدار ولتاژ منبع برسد. بار روی صفحات خازن به صورت Q = CV محاسبه می‌شود.

$\begin{align*} V_c(t) = V (1 - e^{-\frac {t} {R C}}) V \end{align*}$

از معادله فوق مشخص است که ولتاژ خازن به صورت نمایی افزایش می‌یابد.

که در آن،

$V_C$ ولتاژ روی خازن است
$V$ ولتاژ منبع است.

RC ثابت زمانی مدار شارژ RC است. یعنی $\tau = R C$

بیایید مقادیر مختلف زمان t را در معادلات (11) و (12) جایگزین کنیم، ولت‌های شارژ شدن خازن را بدست می‌آوریم، یعنی

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^1 = (0.632) V \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^2 = (0.8646) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^4 = (0.9816) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V - V * e^-^6 = (0.9975) V \end{align*}$

و جریان شارژ شدن خازن

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} * e^-^1 = \frac {V}{R}(0.368) A \,\, (where, e = 2.718) \,\, \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^2 = \frac {V}{R}(0.1353) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^4 = \frac {V}{R} (0.0183) A \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, i(t) = \frac {V}{R} e^-^6 = \frac {V}{R}(0.0024) A \end{align*}$

تغییر ولتاژ روی خازن $V_C(t)$ و جریان از طریق خازن $i(t)$ به عنوان تابع زمان در شکل نشان داده شده است.

بنابراین در مدار شارژ R-C، اگر ولتاژ روی خازن به صورت نمایی افزایش یابد، جریان از طریق خازن با همان نرخ به صورت نمایی کاهش می‌یابد. وقتی ولتاژ روی خازن به مقدار پایدار خود می‌رسد، جریان به صفر می‌رسد.

مدار رها شدن RC

اگر خازن کاملاً شارژ شده از ولتاژ منبع برق جدا شود، انرژی ذخیره شده در خازن در طول فرآیند شارژ، به طور دائمی روی صفحات آن باقی خواهد ماند و ولتاژ ذخیره شده در دو سر آن در مقدار ثابتی خواهد ماند.

حال اگر منبع برق با یک مدار کوتاه شده جایگزین شود و قطبیده بسته شود، خازن از طریق مقاومت خالی می‌شود و حالا ما یک مدار به نام مدار رها شدن RC داریم.

$\begin{align*} V_c(t) = V_0 e^{\frac {-t}{RC}} V \end{align*}$

از معادله بالا مشخص است که ولتاژ خازن به صورت نمایی کاهش می‌یابد. این بدان معناست که در فرآیند بارگیری مدار R-C، خازن از طریق مقاومت R سری با آن بارگیری می‌شود. حال زمان ثابت مدار شارده R-C و مدار بارگیری R-C یکسان است و برابر است با

$\begin{align*} \tau = R C \end{align*}$

با جایگذاری مقادیر مختلف زمان t در معادلات (13) و (14)، ولتاژ بارگیری خازن به دست می‌آید، یعنی

$\begin{align*} t = \tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^1 = V_0 (0.368) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 2\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^2 = V_0 (0.1353) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 4\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^4 = V_0 (0.0183) V \end{align*}$

$\begin{align*} t = 6\tau \,\, then \,\, V_c(t) = V_0 * e^-^6 = V_0 (0.0024) V \end{align*}$

تغییر ولتاژ در اطراف کندانسور $V_C(t)$ به عنوان تابع زمان در شکل نشان داده شده است.

بنابراین در مدار رها شدن R-C، به طور مشابه اگر ولتاژ در اطراف کندانسور به صورت نمایی کاهش یابد، جریان از طریق کندانسور با همان نرخ به صورت نمایی افزایش می‌یابد. هنگامی که ولتاژ در اطراف کندانسور به مقدار صفر برسد، جریان به مقدار پایدار خود می‌رسد.

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوبی که ارزش به اشتراک گذاری دارند، در صورت وجود نقض حق نشر لطفاً تماس بگیرید و حذف کنید.

نوروغ و مصنف ته هڅودئ!

موضوعات:

نظریه مدار

مدار RLC

دربارې متخصصان

Electrical4u

China