Что такое теорема Нортона и как найти эквивалентную схему Нортона

Поле: Основы электротехники

China

Что такое теорема Нортона? (Эквивалентная схема Нортона)

Теорема Нортона (также известная как теорема Майера-Нортона) утверждает, что любую линейную цепь можно упростить до эквивалентной цепи с одним источником тока и эквивалентным параллельным сопротивлением, подключенным к нагрузке. Упрощенная цепь называется эквивалентной схемой Нортона.

Более формально, теорему Нортона можно сформулировать следующим образом:

“Цепь, содержащая любые линейные двусторонние элементы и активные источники, может быть заменена простой двухполюсной сетью, состоящей из импеданса и источника тока, независимо от сложности сети.”

Теорема Нортона является параллелью теореме ТеVENIN. Она широко используется в анализе цепей для упрощения сложных сетей и изучения начального состояния и установившегося режима цепи.

企业微信截图_17102256417070.png 企业微信截图_17102256537679.png

Теорема Нортона

Как показано на рисунке выше, любая сложная двусторонняя сеть упрощается до простой эквивалентной схемы Нортона.

Эквивалентная схема Нортона состоит из эквивалентного импеданса, соединенного параллельно с источником тока и нагрузкой сопротивления.

Постоянный источник тока, используемый в эквивалентной схеме Нортона, называется током Нортона IN или током короткого замыкания ISC.

Теорема Нортона была выведена Хансом Фердинандом Майером и Эдвардом Лоури Нортоном в 1926 году.

Формула эквивалентного источника Нортона

Как показано в эквивалентной схеме Нортона, нортоновский ток делится на два пути. Один путь проходит через эквивалентное сопротивление, а второй — через сопротивление нагрузки.

Следовательно, ток, проходящий через сопротивление нагрузки, может быть выведен по правилу деления тока. И формула теоремы Нортона следующая;

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_L + R_{EQ}} \times I_N$

Как найти эквивалентную схему Нортона

Любую сложную двустороннюю сеть можно заменить простой эквивалентной схемой Нортона. Она состоит из;

Эквивалентное сопротивление Нортона
Эквивалентный ток Нортона
Сопротивление нагрузки

Эквивалентное сопротивление Нортона

Эквивалентное сопротивление Нортона аналогично эквивалентному сопротивлению Теодора. Для расчета эквивалентного сопротивления Нортона необходимо удалить все активные источники сети.

Однако условие заключается в том, что все источники должны быть независимыми. Если сеть содержит зависимые источники, вам нужно использовать другие методы для нахождения эквивалентного сопротивления Нортона.

В случае, если сеть состоит только из независимых источников, все источники удаляются из сети путем замыкания источника напряжения и размыкания источника тока.

При расчете эквивалентного сопротивления Нортона, сопротивление нагрузки размыкается. Затем определяется напряжение при разомкнутой цепи между выводами нагрузки.

Иногда эквивалентное сопротивление Нортона также называют эквивалентным сопротивлением Теvenin или сопротивлением при разомкнутой цепи.

Рассмотрим пример.

Сначала проверьте, содержит ли сеть какие-либо зависимые источники? В данном случае все источники являются независимыми: источник напряжения 20 В и источник тока 10 А.

Теперь удалите оба источника, замкнув источник напряжения и разомкнув источник тока. Разомкните выводы нагрузки.

Теперь найдите напряжение при разомкнутой цепи, соединив сопротивления последовательно и параллельно.

Сопротивления 6 Ом и 4 Ом находятся в последовательном соединении. Таким образом, общее сопротивление составляет 10 Ом.

企业微信截图_17102258034738.png — Эквивалентное сопротивление

企业微信截图_17102258117375.png — Эквивалентное сопротивление

Оба сопротивления 10 Ом находятся в параллельном соединении. Таким образом, эквивалентное сопротивление REQ = 5 Ом.

Эквивалентный ток Нортона

Для расчета эквивалентного тока Нортона, сопротивление нагрузки замыкается. Затем определяется ток, проходящий через замкнутую ветвь.

Таким образом, эквивалентный ток Нортона также известен как ток короткого замыкания.

В приведенном выше примере удалите нагрузочное сопротивление и замкните ветвь нагрузки.

В данной сети ветвь, содержащая источник напряжения, игнорируется, так как это избыточная ветвь. Это означает, что это параллельная ветвь короткозамкнутой ветви.

$I_1 = 10A$

Примените КЗХ во втором контуре; $10I_2 - 6I_1 = 0$

$10I_2 - 60 = 0$

$10I_2 = 60$

$I_2 = I_{N} = 6A$

Сила тока, проходящая через нагрузку, это IL. Согласно правилу делителя тока;

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_{EQ} + R_L} \times I_{N}$

$I_L = \frac{5}{5 + 5} \times 6$

$I_L = 3A$

Эквивалентное сопротивление Нортона с зависимым источником

Для расчета эквивалентного сопротивления Нортона для цепи, содержащей зависимый источник, необходимо вычислить напряжение при разомкнутой цепи (VOC) на выводах нагрузки.

Напряжение при разомкнутой цепи аналогично эквивалентному напряжению ТеVENIN.

После нахождения эквивалентного напряжения ТеVENIN и тока Нортона; подставьте это значение в приведенное ниже уравнение.

$R_{EQ} = R_N = \frac{V_{TH}}{I_N} = \frac{V_{OC}}{I_{SC}}$

Примеры эквивалентных цепей Нортона

Пример-1 Найдите эквивалентную цепь Нортона на выводах AB.

Найдите эквивалентную цепь Нортона на выводах AB в данной активной линейной сети, показанной на следующем рисунке.

Шаг-1 Найдите эквивалентный ток Нортона (IN). Для расчета IN, нам нужно замкнуть выводы AB.

Примените КЗВ к контуру-1;

( $\begin{equation*} 60 = 10I_1 - 5I_2 \end{equation*}$

Применим KVL в петле-2;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20I_3$

Из источника тока;

$I_3 = 2A$

Следовательно;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20(2)$

$\begin{equation*} 40 = -5I_1 + 40I_2 \end{equation*}$

Решив уравнения 1 и 2, мы можем найти значение тока I2, которое равно току Нортона (IN).

$I_2 = I_N = 4A$

Шаг-2 Найдите эквивалентное сопротивление (REQ). Для этого источник тока отключается, а источник напряжения замыкается.

$20 + 15 + 2.5 = 37.5 \Omega$

Шаг-3 Подставьте значение тока Нортона и эквивалентного сопротивления в эквивалентную схему Нортона.

Пример-1 Эквивалентная схема Нортона

Пример-2 Найдите эквивалентные схемы Нортона и ТеVENина для заданной сети

Пример-2 Найти эквивалентную схему Нортона с зависимым источником

Шаг-1 Найдите ток Нортона (IN). Для этого замкните терминалы AB.

Примените закон Кирхгофа к петле-1;

$20 + 4i = 14I_1 - 6I_2$

$i = I_1 - I_2$

$20 + 4(I_1 - I_2) = 14I_1 - 6I_2$

$20 + 4I_1 - 4I_2 = 14I_1 - 6I_2$

(3) $\begin{equation*} 20 = 10I_1 - 2I_2 \end{equation*}$

Теперь применим KVL к петле-2

$18I_2 - 6I_1 = 0$

$6I_1 = 18I_2$

$I_1 = 3I_2$

Подставьте это значение в уравнение-3;

$20 = 10(3I_2) - 2I_2$

$20 = 28I_2$

$I_2 = I_N = 0.7142 A$

Шаг-2 Сеть состоит из зависимого источника напряжения. Поэтому эквивалентное сопротивление не может быть найдено напрямую.

Для нахождения эквивалентного сопротивления нам нужно найти напряжение при разомкнутой цепи (напряжение ТеVENIN). Для этого размыкаем терминалы AB. Из-за разомкнутой цепи ток, протекающий через резистор 12 Ом, равен нулю.

Таким образом, мы можем пренебречь резистором 12 Ом.

$20 + 4i = 14i$

$i = 2A$

Напряжение на резисторе 6 Ом равно напряжению на терминалах AB.

$V_{OC} = V_{TH} = 6 \times 2$

$V_{TH} = 12V$

Шаг-3 Найдите эквивалентное сопротивление;

$R_{EQ} = \frac{V_{TH}}{I_N}$

$R_{EQ} = \frac{12}{0.714}$

$R_{EQ} = 16.8 \Omega$

Шаг-4 Подставьте значение тока Нортона и эквивалентного сопротивления в эквивалентную схему Нортона.

Шаг-5 Подставьте значение напряжения ТеVENIN и эквивалентного сопротивления в эквивалентную схему Теvenin.

Эквивалентные схемы Нортона и ТеVENIN

Эквивалентная схема Нортона является двойственной эквивалентной схеме ТеVENIN. Теоремы Нортона и ТеVENIN широко используются для решения сложных цепей в анализе сетей.

Как мы видели, эквивалентная схема Нортона состоит из источника тока Нортона, а эквивалентная схема ТеVENIN состоит из источника напряжения ТеVENIN.

Эквивалентное сопротивление одинаково в обоих случаях. Для преобразования эквивалентной схемы Нортона в эквивалентную схему ТеVENIN используется преобразование источников.

В приведенном выше примере источник тока Нортона и параллельное эквивалентное сопротивление можно преобразовать в источник напряжения и сопротивление, соединенные последовательно.

Значение источника напряжения будет следующим:

$V_{TH} = \frac{I_N}{R_{EQ}}$

И вы получите точную эквивалентную схему ТеVENIN.

Скриншот корпоративного WeChat_17102276319087.png

Скриншот корпоративного WeChat_17102276369673.png

Эквивалентные схемы Нортона и Теvenin

Источник: Electrical4u.

Заявление: Уважайте оригинальный материал, хорошие статьи стоит делиться, если есть нарушение авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.