Was ist das Nortonsche Theorem und wie findet man den Norton-äquivalenten Schaltkreis

Feld: Grundlagen der Elektrotechnik

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Was ist das Norton-Theorem? (Norton-Äquivalentkreis)

Das Norton-Theorem (auch bekannt als Mayer–Norton-Theorem) besagt, dass es möglich ist, jeden linearen Schaltkreis auf einen äquivalenten Schaltkreis mit einer einzigen Stromquelle und einem äquivalenten parallel geschalteten Widerstand zu vereinfachen, der an eine Last angeschlossen ist. Der vereinfachte Schaltkreis wird als Norton-Äquivalentkreis bezeichnet.

Formuliert man das Norton-Theorem präziser, lautet es:

„Ein Schaltkreis mit beliebigen linearen bilateralen Elementen und aktiven Quellen kann durch ein einfaches Zweipolnetzwerk ersetzt werden, das aus einem Impedanz und einer Stromquelle besteht, unabhängig von der Komplexität des Netzwerks.“

Das Norton-Theorem ist ein Pendant zum Thevenin-Theorem. Es wird in der Schaltkreisanalyse häufig verwendet, um komplexe Netzwerke zu vereinfachen und den Anfangszustand und die stationäre Antwort des Schaltkreises zu untersuchen.

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Norton-Theorem

Wie in der obigen Abbildung gezeigt, wird jedes komplexe bilaterale Netzwerk in einen einfachen Norton-Äquivalentkreis vereinfacht.

Der Norton-Äquivalentkreis besteht aus einer äquivalenten Impedanz, die parallel zu einer Stromquelle und einer Last Widerstand geschaltet ist.

Die konstante Stromquelle, die im Norton-Äquivalentkreis verwendet wird, wird als Norton-Strom IN oder Kurzschlussstrom ISC bezeichnet.

Der Norton-Satz wurde 1926 von Hans Ferdinand Mayer und Edward Lawry Norton hergeleitet.

Norton-Äquivalenzformel

Wie in dem Norton-Äquivalenzschaltkreis gezeigt, wird der Norton-Strom in zwei Pfade geteilt. Ein Pfad führt durch den äquivalenten Widerstand und der zweite Pfad durch den Lastwiderstand.

Daher kann der Strom, der durch den Lastwiderstand fließt, mit der Stromteilerregel abgeleitet werden. Die Formel für den Norton-Satz lautet:

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_L + R_{EQ}} \times I_N$

Wie man einen Norton-Äquivalenzschaltkreis findet

Jedes komplexe bilaterale Netzwerk wird durch einen einfachen Norton-Äquivalenzschaltkreis ersetzt. Dieser besteht aus:

Norton-äquivalenter Widerstand
Norton-äquivalenter Strom
Lastwiderstand

Norton-äquivalenter Widerstand

Der Norton-äquivalente Widerstand ist ähnlich dem Thevenin-äquivalenten Widerstand. Um den Norton-äquivalenten Widerstand zu berechnen, müssen alle aktiven Quellen des Netzes entfernt werden.

Die Bedingung ist jedoch, dass alle Quellen unabhängige Quellen sein müssen. Wenn das Netzwerk abhängige Quellen enthält, müssen andere Methoden zur Bestimmung des Norton-äquivalenten Widerstands angewendet werden.

Falls das Netzwerk nur aus unabhängigen Quellen besteht, werden alle Quellen aus dem Netzwerk entfernt, indem die Spannungsquelle kurzgeschlossen und die Stromquelle offen geschaltet wird.

Beim Berechnen des Norton-äquivalenten Widerstands wird der Lastwiderstand offen geschaltet. Und man findet die offene Schaltungsspannung zwischen den Lastanschlüssen.

Manchmal wird der Norton-Widerstand auch als Thevenin-äquivalenter Widerstand oder offener Schaltkreiswiderstand bezeichnet.

Lassen Sie uns dies an einem Beispiel verstehen.

Prüfen Sie zunächst, ob das Netzwerk abhängige Quellen enthält? In diesem Fall sind alle Quellen unabhängige Quellen: eine Spannungsquelle von 20V und eine Stromquelle von 10A.

Entfernen Sie nun beide Quellen, indem Sie die Spannungsquelle kurzschließen und die Stromquelle offen schalten. Und öffnen Sie die Lastanschlüsse.

Finden Sie nun die offene Schaltungsspannung, indem Sie Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen herstellen.

Die Widerstände von 6Ω und 4Ω sind in Reihe. Daher beträgt der Gesamtwiderstand 10Ω.

企业微信截图_17102258034738.png — Äquivalenter Widerstand

企业微信截图_17102258117375.png — Äquivalenter Widerstand

Beide 10Ω-Widerstände sind parallel. Daher beträgt der äquivalente Widerstand REQ = 5Ω.

Norton-äquivalenter Strom

Um den Norton-äquivalenten Strom zu berechnen, wird der Lastwiderstand kurzgeschlossen. Und man findet den durch den kurzgeschlossenen Zweig fließenden Strom.

Daher wird der Norton-Strom oder der Norton-äquivalente Strom auch als Kurzschlussstrom bezeichnet.

Entfernen Sie im obigen Beispiel den Lastwiderstand und schalten Sie den Lastzweig kurz.

In dem obigen Netzwerk wird der Zweig mit der Spannungsquelle vernachlässigt, da es sich um einen redundanten Zweig handelt. Das bedeutet, dass es ein paralleler Zweig eines kurzgeschlossenen Zweigs ist.

$I_1 = 10A$

Wenden Sie KVL in Schleife-2 an; $10I_2 - 6I_1 = 0$

$10I_2 - 60 = 0$

$10I_2 = 60$

$I_2 = I_{N} = 6A$

Der durch die Last fließende Strom ist IL. Gemäß der Stromteilerregel;

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_{EQ} + R_L} \times I_{N}$

$I_L = \frac{5}{5 + 5} \times 6$

$I_L = 3A$

Norton-Äquivalenter Widerstand mit abhängiger Quelle

Um den Norton-äquivalenten Widerstand für einen Schaltkreis mit einer abhängigen Quelle zu berechnen, müssen wir die Leerlaufspannung (VOC) über den Lastanschlüssen berechnen.

Die Leerlaufspannung ist ähnlich der Thevenin-äquivalenten Spannung.

Nachdem die Thevenin-äquivalente Spannung und der Norton-Strom gefunden wurden, setzen Sie diesen Wert in die folgende Gleichung ein.

$R_{EQ} = R_N = \frac{V_{TH}}{I_N} = \frac{V_{OC}}{I_{SC}}$

Beispiele für Norton-äquivalente Schaltungen

Beispiel-1 Finden Sie die Norton-äquivalente Schaltung über die Anschlüsse AB.

Finden Sie die Norton-äquivalente Schaltung über die Anschlüsse AB im gegebenen aktiven linearen Netzwerk, das in der folgenden Abbildung dargestellt ist.

Beispiel für eine Norton-äquivalente Schaltung

Schritt-1 Finden Sie den Norton-äquivalenten Strom (IN). Um IN zu berechnen, müssen wir die Anschlüsse AB kurzschließen.

Wenden Sie KVL im Kreis-1 an;

( $\begin{equation*} 60 = 10I_1 - 5I_2 \end{equation*}$

Wenden Sie KVL in Schleife-2 an;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20I_3$

Vom Stromquelle;

$I_3 = 2A$

Daher;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20(2)$

$\begin{equation*} 40 = -5I_1 + 40I_2 \end{equation*}$

Durch Lösen der Gleichungen 1 und 2 können wir den Wert des Stroms I2 finden, der identisch mit dem Norton-Strom (IN) ist.

$I_2 = I_N = 4A$

Schritt 2 Bestimmen Sie den äquivalenten Widerstand (REQ). Dafür wird die Stromquelle offen geschaltet und die Spannungsquelle kurzgeschlossen.

$20 + 15 + 2.5 = 37.5 \Omega$

Schritt 3 Setzen Sie den Wert des Norton-Stroms und des äquivalenten Widerstands in das Norton-äquivalente Schaltbild ein.

Beispiel-1 Norton-Äquivalentes Schaltkreis

Beispiel-2 Finden Sie den Norton- und Thevenin-äquivalenten Schaltkreis für das gegebene Netzwerk

Beispiel-2 Finden Sie den Norton-äquivalenten Schaltkreis mit abhängiger Quelle

Schritt-1 Finden Sie den Norton-Strom (IN). Dafür Kurzschließen Sie die Anschlüsse AB.

Wenden Sie KVL auf den Loop-1 an;

$20 + 4i = 14I_1 - 6I_2$

$i = I_1 - I_2$

$20 + 4(I_1 - I_2) = 14I_1 - 6I_2$

$20 + 4I_1 - 4I_2 = 14I_1 - 6I_2$

(3) $\begin{equation*} 20 = 10I_1 - 2I_2 \end{equation*}$

Jetzt wenden wir die KVL auf den Schleifen-2 an

$18I_2 - 6I_1 = 0$

$6I_1 = 18I_2$

$I_1 = 3I_2$

Setzen Sie diesen Wert in Gleichung-3 ein;

$20 = 10(3I_2) - 2I_2$

$20 = 28I_2$

$I_2 = I_N = 0.7142 A$

Schritt-2 Das Netzwerk besteht aus einer abhängigen Spannungsquelle. Daher kann der äquivalente Widerstand nicht direkt ermittelt werden.

Um den äquivalenten Widerstand zu finden, müssen wir eine Leerlaufspannung (Thevenin-Spannung) bestimmen. Dazu öffnen wir die Enden AB. Aufgrund des offenen Stromkreises ist der durch den 12Ω-Widerstand fließende Strom null.

Daher können wir den 12Ω-Widerstand vernachlässigen.

$20 + 4i = 14i$

$i = 2A$

Die Spannung über dem 6Ω-Widerstand entspricht der Spannung an den Enden AB.

$V_{OC} = V_{TH} = 6 \times 2$

$V_{TH} = 12V$

Schritt-3 Bestimmen Sie den äquivalenten Widerstand;

$R_{EQ} = \frac{V_{TH}}{I_N}$

$R_{EQ} = \frac{12}{0.714}$

$R_{EQ} = 16.8 \Omega$

Schritt-4 Tragen Sie den Wert des Norton-Stroms und des äquivalenten Widerstands in das Norton-äquivalente Schaltkreis ein.

Beispiel-2 Norton-äquivalenter Schaltkreis

Schritt-5 Tragen Sie den Wert der Thevenin-Spannung und des äquivalenten Widerstands in den Thevenin-äquivalenten Schaltkreis ein.

Norton- und Thevenin-Äquivalent-Schaltungen

Die Norton-äquivalente Schaltung ist ein dualer Netzwerk der Thevenin-äquivalenten Schaltung. Die Norton- und Thevenin-Theoreme werden häufig zur Lösung komplexer Schaltungen in der Netzwerkanalyse verwendet.

Wie wir gesehen haben, besteht die Norton-äquivalente Schaltung aus einer Norton-Stromquelle und die Thevenin-äquivalente Schaltung aus einer Thevenin-Spannungsquelle.

Der äquivalente Widerstand ist in beiden Fällen identisch. Um eine Norton- in eine Thevenin-äquivalente Schaltung umzuwandeln, wird eine Quellen-Umformung verwendet.

Im obigen Beispiel kann die Norton-Stromquelle und der parallele äquivalente Widerstand in eine Spannungsquelle und einen in Serie geschalteten Widerstand umgewandelt werden.

Der Wert der Spannungsquelle beträgt:

$V_{TH} = \frac{I_N}{R_{EQ}}$

Und Sie erhalten die genaue Thevenin-äquivalente Schaltung.

Norton- und Thevenin-Äquivalentkreise

Quelle: Electrical4u.

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