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노튼의 정리와 노튼 등가 회로 찾기 방법

필드: 기본 전기학

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노턴 정리란? (노턴 등가 회로)

노턴 정리(메이어-노턴 정리라고도 함)는 모든 선형 회로를 단일 전류 소스와 동등한 병렬 저항으로 구성된 등가 회로로 간소화할 수 있음을 설명합니다. 간소화된 회로는 노턴 등가 회로로 알려져 있습니다.

좀 더 공식적으로 말하면, 노턴 정리는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

“어떤 선형 양방향 요소와 활성 소스를 가진 회로는 복잡성에 관계없이 임피던스와 전류 소스로 구성된 단순한 두단자 네트워크로 대체될 수 있다.”

노턴 정리는 테브난 정리와 유사하며, 복잡한 네트워크를 간소화하고 회로의 초기 상태와 정상 상태 응답을 연구하는 데 널리 사용됩니다.

企业微信截图_17102256417070.png 企业微信截图_17102256537679.png

노턴 정리

위 그림에서 보듯이, 어떤 복잡한 양방향 네트워크라도 간단한 노턴 등가 회로로 간소화됩니다.

노턴 등가 회로는 임피던스와 전류 소스, 그리고 부하 저항으로 구성됩니다.

노턴 등가 회로에서 사용되는 일정 전류 소스는 노턴 전류 IN 또는 단락 전류 ISC로 알려져 있습니다.

노턴 정리는 1926년 한스 페르디난트 마이어와 에드워드 로리 노턴에 의해 도출되었습니다.

노턴 등가 공식

노턴 등가 회로에서 보듯이, 노턴 전류는 두 경로로 나뉩니다. 하나의 경로는 등가 저항을 통과하고, 다른 경로는 부하 저항을 통과합니다.

따라서, 부하 저항을 통과하는 전류는 전류 분배 법칙으로부터 도출될 수 있습니다. 그리고 노턴 정리의 공식은 다음과 같습니다;

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_L + R_{EQ}} \times I_N$

노턴 등가 회로 찾기

어떠한 복잡한 양방향 네트워크도 간단한 노턴 등가 회로로 대체됩니다. 이는 다음과 같이 구성됩니다;

노턴 등가 저항
노턴 등가 전류
부하 저항

노턴 등가 저항

노턴 등가 저항은 테브난 등가 저항과 유사합니다. 노턴 등가 저항을 계산하기 위해서는 네트워크의 모든 활성 소스를 제거해야 합니다.

그러나 조건은 모든 소스가 독립적인 소스여야 한다는 것입니다. 네트워크에 종속적인 소스가 있다면, 노턴 등가 저항을 찾기 위해 다른 방법을 사용해야 합니다.

네트워크가 독립적인 소스들로만 구성된 경우, 모든 소스는 전압 소스를 단락시키고 전류 소스를 오픈-서킷하여 네트워크에서 제거됩니다.

노튼 등가 저항을 계산할 때, 부하 저항은 오픈-서킷됩니다. 그리고 부하 단자 사이의 오픈-서킷 전압을 찾습니다.

때때로, 노튼 저항은 테브난 등가 저항 또는 오픈-서킷 저항으로도 알려져 있습니다.

예제를 통해 이해해보겠습니다.

노튼 등가 저항

먼저, 네트워크에 종속적인 소스가 있는지 확인하세요. 이 경우, 모든 소스는 독립적인 소스입니다: 20V 전압 소스와 10A 전류 소스.

이제, 전압 소스를 단락시키고 전류 소스를 오픈-서킷하여 두 소스를 제거하고, 부하 단자를 오픈합니다.

이제, 저항들의 직렬 및 병렬 연결을 통해 오픈-서킷 전압을 찾아봅니다.

저항 6Ω와 4Ω는 직렬입니다. 따라서 총 저항은 10Ω입니다.

企业微信截图_17102258034738.png — 등가 저항

企业微信截图_17102258117375.png — 등가 저항

두 개의 10Ω 저항은 병렬입니다. 따라서 등가 저항 REQ = 5Ω입니다.

노튼 등가 전류

노튼 등가 전류를 계산하려면, 부하 저항은 단락되며, 단락된 가지를 통과하는 전류를 찾습니다.

따라서, 노튼 전류 또는 노튼 등가 전류는 단락 전류로도 알려져 있습니다.

위 예제에서 부하 저항을 제거하고 부하 가지를 단락시킵니다.

노턴 등가 전류

위 네트워크에서 전압 소스가 포함된 가지는 중복 가지이므로 무시됩니다. 이는 단락된 가지의 병렬 가지입니다.

$I_1 = 10A$

루프-2에 KVL 적용; $10I_2 - 6I_1 = 0$

$10I_2 - 60 = 0$

$10I_2 = 60$

$I_2 = I_{N} = 6A$

노턴 등가 회로

부하를 통과하는 전류는 IL입니다. 전류 분배 법칙에 따르면;

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_{EQ} + R_L} \times I_{N}$

$I_L = \frac{5}{5 + 5} \times 6$

$I_L = 3A$

종속 소스가 있는 노턴 등가 저항

종속 소스를 가진 회로의 노턴 등가 저항을 계산하려면 부하 단자 간의 개방 회로 전압(V_OC)을 계산해야 합니다.

개방 회로 전압은 테브난 등가 전압과 유사합니다.

테브난 등가 전압과 노턴 전류를 찾은 후 아래 식에 이 값을 대입합니다.

$R_{EQ} = R_N = \frac{V_{TH}}{I_N} = \frac{V_{OC}}{I_{SC}}$

노턴 등가 회로 예제

예제-1 단자 AB 간의 노턴 등가 회로를 찾습니다.

아래 그림에서 주어진 활성 선형 네트워크의 단자 AB 간의 노턴 등가 회로를 찾으십시오.

노턴 등가 회로 예제

단계 1 노턴 등가 전류(I_N)를 찾습니다. I_N을 계산하려면 단자 AB를 단락시켜야 합니다.

루프-1에 KVL을 적용합니다;

( $\begin{equation*} 60 = 10I_1 - 5I_2 \end{equation*}$

루프-2에 KVL 적용;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20I_3$

전류 소스로부터;

$I_3 = 2A$

따라서;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20(2)$

$\begin{equation*} 40 = -5I_1 + 40I_2 \end{equation*}$

식 1과 2를 풀면 전류 I2의 값을 찾을 수 있으며 이는 노턴 전류 (IN)와 같습니다.

$I_2 = I_N = 4A$

단계 2 등가 저항 (REQ)을 찾습니다. 이를 위해 전류 소스는 오픈 서킷되고 전압 소스는 숏 서킷됩니다.

$20 + 15 + 2.5 = 37.5 \Omega$

단계 3 노턴 등가 회로에 노턴 전류와 등가 저항의 값을 대입합니다.

예제-1 노턴 등가 회로

예제-2 주어진 네트워크에 대한 노턴 및 테브난 등가 회로 찾기

예제-2 종속 소스를 사용한 노턴 등가 회로 찾기

단계-1 노턴 전류 (IN)를 찾습니다. 이를 위해 단자 AB를 단락합니다.

루프-1에 KVL을 적용합니다;

$20 + 4i = 14I_1 - 6I_2$

$i = I_1 - I_2$

$20 + 4(I_1 - I_2) = 14I_1 - 6I_2$

$20 + 4I_1 - 4I_2 = 14I_1 - 6I_2$

(3) $\begin{equation*} 20 = 10I_1 - 2I_2 \end{equation*}$

이제 루프-2에서 KVL을 적용합니다

$18I_2 - 6I_1 = 0$

$6I_1 = 18I_2$

$I_1 = 3I_2$

이 값을 식-3에 대입하세요.

$20 = 10(3I_2) - 2I_2$

$20 = 28I_2$

$I_2 = I_N = 0.7142 A$

단계 2 네트워크는 종속 전압 소스를 포함하고 있습니다. 따라서 동등한 저항을 직접 찾을 수 없습니다.

등가 저항을 찾기 위해서는 개방 회로 전압(Thevenin 전압)을 찾아야 합니다. 이를 위해 AB 단자를 개방합니다. 그리고 개방 회로로 인해 12Ω 저항을 통과하는 전류는 0이 됩니다.

따라서 12Ω 저항은 무시할 수 있습니다.

$20 + 4i = 14i$

$i = 2A$

6Ω 저항을 가로지르는 전압은 AB 단자 간의 전압과 같습니다.

$V_{OC} = V_{TH} = 6 \times 2$

$V_{TH} = 12V$

단계 3 동등한 저항 찾기;

$R_{EQ} = \frac{V_{TH}}{I_N}$

$R_{EQ} = \frac{12}{0.714}$

$R_{EQ} = 16.8 \Omega$

단계 4 노턴 전류와 동등한 저항의 값을 노턴 등가 회로에 입력합니다.

예제 2 노턴 등가 회로

단계 5 테브난 전압과 동등한 저항의 값을 테브난 등가 회로에 입력합니다.

thevenin equivalent circuit — Thevenin Equivalent Circuit

Norton and Thevenin Equivalent Circuits

노튼 등가 회로는 테브난 등가 회로의 쌍대 네트워크입니다. 노튼과 테브난 정리는 복잡한 회로를 분석할 때 널리 사용됩니다.

우리가 보았듯이, 노튼 등가 회로는 노튼 전류 소스와 테브난 등가 회로는 테브난 전압 소스로 구성됩니다.

두 경우 모두 동일한 등가 저항을 가집니다. 노튼을 테브난 등가 회로로 변환하려면, 소스 변환이 사용됩니다.

위 예제에서, 노튼 전류 소스와 병렬 등가 저항은 전압 소스와 직렬로 연결된 저항으로 변환될 수 있습니다.

전압 소스의 값은 다음과 같습니다.

$V_{TH} = \frac{I_N}{R_{EQ}}$

그러면 정확한 테브난 등가 회로를 얻게 됩니다.

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노턴 및 테브난 등가 회로

출처: Electrical4u.

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