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ノートンの定理とは何かそしてノートン等価回路を見つける方法

フィールド: 基本電気

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ノートンの定理とは？（ノートン等価回路）

ノートンの定理（メイヤー・ノートンの定理とも呼ばれる）は、任意の線形回路を単一の電流源と等価な並列抵抗で構成される等価回路に簡略化することができるという定理です。この簡略化された回路はノートン等価回路として知られています。

より正式には、ノートンの定理は以下のようになります：

「任意の線形双方向要素とアクティブソースを持つ回路は、インピーダンスと電流源で構成される単純な二端子ネットワークに置き換えることができる。これはネットワークの複雑さに関係ない。」

ノートンの定理は、テブナンの定理と並行しています。そして、複雑なネットワークを簡略化し、回路の初期条件と定常応答を研究するために広く使用されています。

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ノートンの定理

上記の図に示すように、任意の複雑な双方向ネットワークは単純なノートン等価回路に簡略化されます。

ノートン等価回路は、等価インピーダンスが電流源と負荷抵抗と並列に接続されています。

ノートン等価回路で使用される一定の電流源は、ノートン電流INまたは短絡電流ISCとして知られています。

ノートンの定理は、ハンス・フェルディナント・マイヤーとエドワード・ローリー・ノートンによって1926年に導出されました。

ノートン等価回路の公式

ノートン等価回路では、ノートン電流が2つの経路に分かれます。1つは等価抵抗を通る経路で、もう1つは負荷抵抗を通る経路です。

したがって、負荷抵抗を通る電流は、電流分配則によって導出することができます。そして、ノートンの定理の公式は以下の通りです。

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_L + R_{EQ}} \times I_N$

ノートン等価回路の求め方

複雑な双方向ネットワークは、単純なノートン等価回路に置き換えることができます。それは以下の要素で構成されます。

ノートン等価抵抗
ノートン等価電流
負荷抵抗

ノートン等価抵抗

ノートン等価抵抗は、テブナン等価抵抗と同様です。ノートン等価抵抗を計算するには、ネットワーク内のすべてのアクティブソースを取り除く必要があります。

ただし、全てのソースが独立ソースであることが条件です。ネットワークに従属ソースが含まれている場合は、他の方法を使用してノートン等価抵抗を見つける必要があります。

ネットワークが独立した電源のみで構成されている場合、すべての電源は電圧源をショート回路し、電流源を開回路することでネットワークから取り除かれます。

ノートン等価抵抗を計算する際には、負荷抵抗は開回路されます。そして、負荷端子間の開回路電圧を見つけます。

時折、ノートン抵抗はテブナン等価抵抗または開回路抵抗とも呼ばれます。

例を用いて理解しましょう。

ノートン等価抵抗

まず、ネットワークに従属源があるか確認します。この場合、すべての電源は独立源であり、20Vの電圧源と10Aの電流源です。

次に、電圧源をショート回路し、電流源を開回路することで両方の電源を取り除きます。そして、負荷端子を開回路します。

次に、抵抗の直列並列接続により開回路電圧を求めます。

抵抗6Ωと4Ωは直列です。そのため、合計抵抗は10Ωです。

企业微信截图_17102258034738.png — 等価抵抗

企业微信截图_17102258117375.png — 等価抵抗

両方の10Ω抵抗は並列です。よって、等価抵抗REQ = 5Ωです。

ノートン等価電流

ノートン等価電流を計算するためには、負荷抵抗をショート回路し、ショート回路された枝を通る電流を見つけます。

したがって、ノートン電流またはノートン等価電流はショート回路電流とも呼ばれます。

上記の例では、負荷抵抗を取り除き、負荷ブランチをショートサーキットにします。

ノートン等価電流

上記のネットワークでは、電圧源を含むブランチは冗長なブランチであるため無視されます。これはショートサーキットされたブランチの並列ブランチであることを意味します。

$I_1 = 10A$

ループ2でKVLを適用します。 $10I_2 - 6I_1 = 0$

$10I_2 - 60 = 0$

$10I_2 = 60$

$I_2 = I_{N} = 6A$

ノートン等価回路

負荷を通過する電流はILです。電流分配規則により；

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_{EQ} + R_L} \times I_{N}$

$I_L = \frac{5}{5 + 5} \times 6$

$I_L = 3A$

従属源を含むノートン等価抵抗

従属源を含む回路のノートン等価抵抗を計算するには、負荷端子間の開回路電圧（VOC）を計算する必要があります。

開回路電圧はテブナン等価電圧と似ています。

テブナン等価電圧とノートン電流を見つけてから、以下の式にこれらの値を代入します。

$R_{EQ} = R_N = \frac{V_{TH}}{I_N} = \frac{V_{OC}}{I_{SC}}$

ノートン等価回路の例

例1 端子AB間のノートン等価回路を見つけます。

下図に示すアクティブ線形ネットワークの端子AB間のノートン等価回路を見つけます。

ノートン等価回路の例

ステップ1 ノートン等価電流（IN）を見つけます。INを計算するには、端子ABをショートサーキットにする必要があります。

ループ1でKVLを適用します。

( $\begin{equation*} 60 = 10I_1 - 5I_2 \end{equation*}$

ループ2にKVLを適用する;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20I_3$

電流源から;

$I_3 = 2A$

したがって;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20(2)$

$\begin{equation*} 40 = -5I_1 + 40I_2 \end{equation*}$

方程式1と2を解くことで、電流I2の値を見つけることができます。これはノートン電流（IN）と同じです。

$I_2 = I_N = 4A$

ステップ2 等価抵抗（REQ）を見つける。そのために、電流源はオープン回路にし、電圧源はショート回路にする。

$20 + 15 + 2.5 = 37.5 \Omega$

ステップ3 ノートン電流と等価抵抗の値をノートン等価回路に入れます。

Example-1 ノートン等価回路

Example-2 与えられたネットワークのノートンとテブナン等価回路を見つける

Example-2 依存電源を含むノートン等価回路を見つける

ステップ1 ノートン電流（IN）を見つける。そのためには端子ABをショートする。

ループ1にKVLを適用する；

$20 + 4i = 14I_1 - 6I_2$

$i = I_1 - I_2$

$20 + 4(I_1 - I_2) = 14I_1 - 6I_2$

$20 + 4I_1 - 4I_2 = 14I_1 - 6I_2$

(3) $\begin{equation*} 20 = 10I_1 - 2I_2 \end{equation*}$

次に、ループ2にKVLを適用する

$18I_2 - 6I_1 = 0$

$6I_1 = 18I_2$

$I_1 = 3I_2$

この値を式-3に代入します。

$20 = 10(3I_2) - 2I_2$

$20 = 28I_2$

$I_2 = I_N = 0.7142 A$

ステップ2 このネットワークには依存電圧源が含まれています。したがって、等価抵抗は直接求めることはできません。

等価抵抗を見つけるには、開回路電圧（テブナン電圧）を見つけなければなりません。そのため、端子ABを開回路にします。開回路のため、12Ωの抵抗を通る電流はゼロです。

したがって、12Ωの抵抗を無視することができます。

$20 + 4i = 14i$

$i = 2A$

6Ωの抵抗にかかる電圧は、端子AB間の電圧と同じです。

$V_{OC} = V_{TH} = 6 \times 2$

$V_{TH} = 12V$

ステップ3 等価抵抗を見つける;

$R_{EQ} = \frac{V_{TH}}{I_N}$

$R_{EQ} = \frac{12}{0.714}$

$R_{EQ} = 16.8 \Omega$

ステップ4 ノートン電流と等価抵抗の値をノートン等価回路に入れる。

例2 ノートン等価回路

ステップ5 シューティン電圧と等価抵抗の値をシューティン等価回路に入れる。

thevenin equivalent circuit — テブナン等価回路

ノートンとテブナン等価回路

ノートン等価回路はテブナン等価回路の双対ネットワークです。ノートンとテブナンの定理は、ネットワーク解析において複雑な回路を解くために広く使用されています。

これまで見てきたように、ノートン等価回路はノートン電流源で構成され、テブナン等価回路はテブナン電圧源で構成されます。

両方の場合において等価抵抗は同じです。ノートンからテブナン等価回路に変換するには、ソース変換が使用されます。

上記の例では、ノートン電流源と並列等価抵抗は電圧源と直列接続された抵抗に変換することができます。

電圧源の値は以下の通りです。

$V_{TH} = \frac{I_N}{R_{EQ}}$

そして、正確なテブナン等価回路を得ることができます。

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ノートンとテブナンの等価回路

出典: Electrical4u.

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