چیست قضیه نورتون و چگونه مدار معادل نورتون را پیدا کنیم

فیلد: مقدماتی برق

China

Norton Theorem چیست؟ (مدار معادل نورتون)

قضیه نورتون (که به عنوان قضیه مایر-نورتون نیز شناخته می‌شود) بیان می‌کند که ممکن است هر مدار خطی را به یک مدار معادل با یک منبع جریان واحد و مقاومت موازی معادل متصل به بار ساده کنیم. این مدار ساده شده به عنوان مدار معادل نورتون شناخته می‌شود.

به طور رسمی‌تر، قضیه نورتون می‌تواند به صورت زیر بیان شود:

"هر مدار دارای عناصر دوطرفه خطی و منابع فعال می‌تواند با یک شبکه دوطرفه ساده شامل یک امپدانس و یک منبع جریان جایگزین شود، صرف نظر از پیچیدگی شبکه."

قضیه نورتون موازی با قضیه تونن است. و به طور گسترده در تحلیل مدار برای ساده‌سازی شبکه‌های پیچیده و مطالعه شرایط اولیه و پاسخ حالت ماندگار مدار استفاده می‌شود.

企业微信截图_17102256417070.png 企业微信截图_17102256537679.png

قضیه نورتون

همانطور که در شکل بالا نشان داده شده است، هر شبکه دوطرفه پیچیده به یک مدار معادل نورتون ساده می‌شود.

مدار معادل نورتون شامل یک امپدانس معادل متصل به موازی با یک منبع جریان و مقاومت بار مقاومت است.

منبع جریان ثابت استفاده شده در مدار معادل نورتون به عنوان جریان نورتون IN یا جریان خالی ISC شناخته می‌شود.

قضیه نورتون در سال ۱۹۲۶ توسط هانس فردیناند مایر و ادوارد لاری نورتون استخراج شد.

فرمول معادل نورتون

همانطور که در مدار معادل نورتون نشان داده شده است، جریان نورتون به دو مسیر تقسیم می‌شود. یک مسیر از طریق مقاومت معادل عبور می‌کند و مسیر دیگر از طریق مقاومت بار عبور می‌کند.

بنابراین، جریان عبوری از طریق مقاومت بار می‌تواند با استفاده از قاعده تقسیم جریان محاسبه شود. و فرمول قضیه نورتون به صورت زیر است؛

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_L + R_{EQ}} \times I_N$

چگونه مدار معادل نورتون را پیدا کنیم

هر شبکه دوطرفه پیچیده با یک مدار معادل نورتون ساده جایگزین می‌شود. و آن شامل است؛

مقاومت معادل نورتون
جریان معادل نورتون
مقاومت بار

مقاومت معادل نورتون

مقاومت معادل نورتون مشابه با مقاومت معادل تئونین است. برای محاسبه مقاومت معادل نورتون، باید تمام منابع فعال شبکه حذف شوند.

اما شرط این است که؛ تمام منابع باید منابع مستقل باشند. اگر شبکه شامل منبع یا منابع وابسته باشد، باید از روش‌های دیگری برای یافتن مقاومت معادل نورتون استفاده کنید.

در صورتی که شبکه تنها شامل منابع مستقل است، تمامی منابع از طریق کوتاه‌سازی ولتاژ و بازسازی منبع جریان از شبکه حذف می‌شوند.

در زمان محاسبه مقاومت معادل نورتن، مقاومت بار بازسازی می‌شود. سپس ولتاژ باز بین دو سر بار محاسبه می‌شود.

گاهی اوقات، مقاومت نورتن به عنوان مقاومت معادل تونن یا مقاومت باز شناخته می‌شود.

با یک مثال درک کنیم.

ابتدا بررسی کنید آیا شبکه منبع وابسته دارد؟ در این مورد، تمامی منابع منابع مستقل هستند؛ یک منبع ولتاژ ۲۰ ولتی و یک منبع جریان ۱۰ آمپری.

حالا، هر دو منبع را با کوتاه‌سازی منبع ولتاژ و بازسازی منبع جریان حذف کنید. و دو سر بار را باز کنید.

حالا، ولتاژ باز را با ایجاد اتصال‌های سری و موازی مقاومت‌ها پیدا کنید.

مقاومت‌های ۶ اهم و ۴ اهم در سری هستند. بنابراین، مقاومت کل ۱۰ اهم است.

企业微信截图_17102258034738.png — مقاومت معادل

企业微信截图_17102258117375.png — مقاومت معادل

هر دو مقاومت ۱۰ اهم در موازی هستند. بنابراین، مقاومت معادل REQ = ۵ اهم است.

جریان معادل نورتن

برای محاسبه جریان معادل نورتن، مقاومت بار کوتاه‌سازی می‌شود. و جریان عبوری از شاخه کوتاه‌شده پیدا می‌شود.

بنابراین، جریان نورتن یا جریان معادل نورتن به عنوان جریان کوتاه‌سازی شناخته می‌شود.

در مثال بالا، مقاومت بار را حذف کرده و شاخه بار را کوتاه‌مدار کنید.

در شبکه فوق، شاخه حاوی منبع ولتاژ را نادیده گرفته‌ایم زیرا این شاخه غیر ضروری است. به عبارت دیگر، این یک شاخه موازی با یک شاخه کوتاه‌مدار است.

$I_1 = 10A$

قانون ولتاژ کیرشهف را در حلقه ۲ اعمال کنید؛ $10I_2 - 6I_1 = 0$

$10I_2 - 60 = 0$

$10I_2 = 60$

$I_2 = I_{N} = 6A$

جریان عبوری از بار $I_L$ است. بر اساس قاعده تقسیم جریان؛

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_{EQ} + R_L} \times I_{N}$

$I_L = \frac{5}{5 + 5} \times 6$

$I_L = 3A$

مقاومت معادل نورتون با منبع وابسته

برای محاسبه مقاومت معادل نورتون در مداری که دارای منبع وابسته است، باید ولتاژ باز (VOC) را در انتهای بار محاسبه کنیم.

ولتاژ باز مشابه ولتاژ معادل تئونین است.

پس از پیدا کردن ولتاژ معادل تئونین و جریان نورتون؛ این مقادیر را در معادله زیر قرار دهید.

$R_{EQ} = R_N = \frac{V_{TH}}{I_N} = \frac{V_{OC}}{I_{SC}}$

نمونه‌های مدار معادل نورتون

مثال ۱ مدار معادل نورتون را در انتهای AB پیدا کنید.

مدار معادل نورتون را در انتهای AB در شبکه خطی فعال زیر پیدا کنید.

گام ۱ جریان معادل نورتون (IN) را پیدا کنید. برای محاسبه IN، باید انتهای AB را کوتاه کنیم.

قانون ولتاژ کیرشهف را در حلقه ۱ اعمال کنید؛

( $\begin{equation*} 60 = 10I_1 - 5I_2 \end{equation*}$

کی‌ال‌وی‌ال را در حلقه دوم اعمال کنید؛

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20I_3$

از منبع جریان؛

$I_3 = 2A$

بنابراین؛

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20(2)$

$\begin{equation*} 40 = -5I_1 + 40I_2 \end{equation*}$

با حل معادلات ۱ و ۲ می‌توانیم مقدار جریان I2 را که با جریان نورتون (IN) یکسان است، پیدا کنیم.

$I_2 = I_N = 4A$

گام دوم محاسبه مقاومت معادل (REQ). برای این منظور، منبع جریان باز شده و منبع ولتاژ خرد شده است.

$20 + 15 + 2.5 = 37.5 \Omega$

گام سوم قرار دادن مقدار جریان نورتون و مقاومت معادل در مدار معادل نورتون.

مثال-۱ دایره نورتون معادل

مثال-۲ یافتن دایره‌های معادل نورتون و تونن برای شبکه داده شده

مثال-۲ یافتن دایره نورتون معادل با منبع وابسته

گام-۱ یافتن جریان نورتون (IN). برای این کار، اتصال کوتاه بین نقاط AB.

KVL را به حلقه-۱ اعمال کنید؛

$20 + 4i = 14I_1 - 6I_2$

$i = I_1 - I_2$

$20 + 4(I_1 - I_2) = 14I_1 - 6I_2$

$۲۰ + ۴I_۱ - ۴I_۲ = ۱۴I_۱ - ۶I_۲$

(۳) $\begin{equation*} ۲۰ = ۱۰I_۱ - ۲I_۲ \end{equation*}$

حالا، KVL را در حلقه دوم اعمال کنید

$۱۸I_۲ - ۶I_۱ = ۰$

$۶I_۱ = ۱۸I_۲$

$I_1 = 3I_2$

این مقدار را در معادله-۳ قرار دهید؛

$20 = 10(3I_2) - 2I_2$

$20 = 28I_2$

$I_2 = I_N = 0.7142 A$

مرحله-۲ شبکه شامل منبع ولتاژ وابسته است. بنابراین، مقاومت معادل مستقیماً پیدا نمی‌شود.

برای یافتن مقاومت معادل، باید ولتاژ باز (ولتاژ تئونین) را پیدا کنیم. برای این منظور، انتهای AB را باز می‌کنیم. و به دلیل وجود مدار باز، جریان عبوری از مقاومت ۱۲Ω صفر است.

بنابراین، می‌توانیم مقاومت ۱۲Ω را نادیده بگیریم.