Що таке теорема Нортона та як знайти еквівалентний контур Нортона

Поле: Основи електротехніки

China

Що таке теорема Нортона? (Еквівалентна схема Нортона)

Теорема Нортона (також відома як теорема Майєра-Нортона) стверджує, що можливо спростити будь-яку лінійну схему до еквівалентної схеми з одним джерелом струму та еквівалентним паралельним опором, підключеним до навантаження. Спрощена схема відома як еквівалентна схема Нортона.

Більш формально, теорему Нортона можна сформулювати так:

“Схема, що має будь-які лінійні двосторонні елементи та активні джерела, може бути замінена простим двотермінальним мережевим елементом, що складається з імпедансу та джерела струму, незалежно від складності мережі.”

Теорема Нортона є паралельною до теореми Тевеніна. Вона широко використовується для аналізу схем, щоб спростити складні мережі та вивчити початкові умови та стаціонарну відповідь схеми.

企业微信截图_17102256417070.png 企业微信截图_17102256537679.png

Теорема Нортона

Як показано на рисунку вище, будь-яка складна двостороння мережа спроститься до простого еквівалентного схеми Нортона.

Еквівалентна схема Нортона складається з еквівалентного імпедансу, підключеного паралельно до джерела струму та навантаження опору.

Постійне джерело струму, використане в еквівалентній схемі Нортона, відоме як струм Нортона IN або струм короткого замикання ISC.

Теорему Нортона вивели Ганс Фердинанд Майєр і Едвард Лорі Нортон у 1926 році.

Формула еквіваленту Нортона

Як показано на еквівалентній схемі Нортона, потік Нортона розподіляється на два шляхи. Один шлях проходить через еквівалентне опір, а другий — через опір навантаження.

Тому, потік, що проходить через опір навантаження, можна отримати за правилом розподілу потоку. І формула теореми Нортона така;

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_L + R_{EQ}} \times I_N$

Як знайти еквівалентну схему Нортона

Любую складну двосторонню мережу замінюють простішою еквівалентною схемою Нортона. Вона складається з;

Еквівалентний опір Нортона
Еквівалентний струм Нортона
Опір навантаження

Еквівалентний опір Нортона

Еквівалентний опір Нортона подібний до еквівалентного опору Теодена. Для обчислення еквівалентного опору Нортона потрібно видалити всі активні джерела мережі.

Але умова полягає в тому, що всі джерела мають бути незалежними. Якщо мережа містить залежні джерела, вам потрібно буде використовувати інші методи для знаходження еквівалентного опору Нортона.

У випадку, коли мережа складається лише з незалежних джерел, всі джерела видаляються з мережі шляхом короткозамкнення напруги і розімкнення джерела струму.

При обчисленні еквівалентного опору Нортона, опір навантаження розімкнений. І знайдіть напругу при розімкненні між кінцями навантаження.

Іноді, опір Нортона також називають еквівалентним опором Теvenіна або опором при розімкненні.

Розглянемо це на прикладі.

Спочатку перевірте, чи має мережа будь-яких залежних джерел? У цьому випадку, всі джерела є незалежними; 20В джерело напруги і 10А джерело струму.

Тепер, видаліть обидва джерела шляхом короткозамкнення джерела напруги і розімкнення джерела струму. І розімкніть кінці навантаження.

Тепер, знайдіть напругу при розімкненні, утворивши послідовні та паралельні з'єднання опорів.

Опори 6Ω і 4Ω у послідовному з'єднанні. Тому, загальний опір становить 10Ω.

企业微信截图_17102258034738.png — Еквівалентний опір

企业微信截图_17102258117375.png — Еквівалентний опір

Обидва 10Ω опори у паралельному з'єднанні. Тому, еквівалентний опір REQ = 5Ω.

Еквівалентний струм Нортона

Для обчислення еквівалентного струму Нортона, опір навантаження короткозамкнено. І знайдіть струм, що проходить через короткозамкнутий промінь.

Таким чином, еквівалентний струм Нортона також називають струмом при короткому замиканні.

У вищезазначеному прикладі видаліть опір навантаження та замкніть коротким шляхом гілку навантаження.

У даній мережі гілка, що містить джерело напруги, ігнорується, оскільки це зайва гілка. Це означає, що це паралельна гілка короткозамкненої гілки.

$I_1 = 10A$

Застосуйте закон Кірхгофа для контура-2; $10I_2 - 6I_1 = 0$

$10I_2 - 60 = 0$

$10I_2 = 60$

$I_2 = I_{N} = 6A$

Струм, що проходить через навантаження, це IL. Згідно з правилом розподілу струму;

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_{EQ} + R_L} \times I_{N}$

$I_L = \frac{5}{5 + 5} \times 6$

$I_L = 3A$

Еквівалентне опору Нортона з залежним джерелом

Для обчислення еквівалентного опору Нортона для кола з залежним джерелом, потрібно обчислити відкрите напругу (VOC) на кінцевих точках навантаження.

Відкрита напруга подібна до еквівалентної напруги Теодена.

Після знаходження еквівалентної напруги Теодена та струму Нортона, це значення вставляється у наступне рівняння.

$R_{EQ} = R_N = \frac{V_{TH}}{I_N} = \frac{V_{OC}}{I_{SC}}$

Приклади еквівалентних схем Нортона

Приклад-1 Знайти еквівалентну схему Нортона на кінцевих точках AB.

Знайдіть еквівалентну схему Нортона на кінцевих точках AB у заданій активній лінійній мережі, показаній на нижньому рисунку.

Крок-1 Знайдіть еквівалентний струм Нортона (IN). Для обчислення IN, нам потрібно замкнути кінцеві точки AB.

Застосуйте закон Кірхгофа для напруги в контурі-1;

( $\begin{equation*} 60 = 10I_1 - 5I_2 \end{equation*}$

Застосуйте KVL у контурі-2;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20I_3$

З джерела струму;

$I_3 = 2A$

Отже;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20(2)$

$\begin{equation*} 40 = -5I_1 + 40I_2 \end{equation*}$

Розв'язуючи рівняння 1 і 2, ми можемо знайти значення струму I2, яке дорівнює струму Нортона (IN).

$I_2 = I_N = 4A$

Крок-2 Знайдіть еквівалентне опір (REQ). Для цього, джерело струму відкрите, а джерело напруги короткозамкнене.

$20 + 15 + 2.5 = 37.5 \Omega$

Крок-3 Введіть значення струму Нортона та еквівалентного опору у еквівалентну схему Нортона.

Приклад-1 Еквівалентна схема Нортона

Приклад-2 Знайти еквівалентні схеми Нортона та Тевеніна для заданої мережі

Приклад-2 Знайти еквівалентну схему Нортона з залежним джерелом

Крок-1 Знайти струм Нортона (IN). Для цього замкніть кінці AB.

Застосуйте закон Кірхгофа до контура-1;

$20 + 4i = 14I_1 - 6I_2$

$i = I_1 - I_2$

$20 + 4(I_1 - I_2) = 14I_1 - 6I_2$

$20 + 4I_1 - 4I_2 = 14I_1 - 6I_2$

(3) $\begin{equation*} 20 = 10I_1 - 2I_2 \end{equation*}$

Тепер застосуємо KVL до контуру-2

$18I_2 - 6I_1 = 0$

$6I_1 = 18I_2$

$I_1 = 3I_2$

Підставте це значення в рівняння-3;

$20 = 10(3I_2) - 2I_2$

$20 = 28I_2$

$I_2 = I_N = 0.7142 A$

Крок-2 Мережа містить залежний джерело напруги. Тому еквівалентне опор не можна знайти безпосередньо.

Для знаходження еквівалентного опору нам потрібно знайти напругу відкритого контуру (напругу Теодена). Для цього відкрийте кінці AB. Через відкритий контур струм, що проходить через опір 12Ω, дорівнює нулю.

Тому ми можемо знехтувати опором 12Ω.

$20 + 4i = 14i$

$i = 2A$

Напруга на опорі 6Ω дорівнює напрузі на кінцях AB.

$V_{OC} = V_{TH} = 6 \times 2$

$V_{TH} = 12V$

Крок-3 Знайдіть еквівалентне опору;

$R_{EQ} = \frac{V_{TH}}{I_N}$

$R_{EQ} = \frac{12}{0.714}$

$R_{EQ} = 16.8 \Omega$

Крок-4 Вставте значення струму Нортона та еквівалентного опору в еквівалентну схему Нортона.

Крок-5 Вставте значення напруги Теодена та еквівалентного опору в еквівалентну схему Теодена.

еквівалентна схема Тевеніна — Еквівалентна схема Тевеніна

Еквівалентні схеми Нортона і Тевеніна

Еквівалентна схема Нортона є двоїстою мережею еквівалентної схеми Тевеніна. Теореми Нортона і Тевеніна широко використовуються для розв'язання складних схем у аналізі мереж.

Як ми бачили, еквівалентна схема Нортона складається з джерела струму Нортона, а еквівалентна схема Тевеніна — з джерела напруги Тевеніна.

Еквівалентний опір однаковий в обох випадках. Для перетворення еквівалентної схеми Нортона на еквівалентну схему Тевеніна використовується перетворення джерел.

У вищезазначеному прикладі, джерело струму Нортона та паралельний еквівалентний опір можна перетворити на джерело напруги та опір, з'єднані послідовно.

Значення джерела напруги буде:

$V_{TH} = \frac{I_N}{R_{EQ}}$

І ви отримаєте точну еквівалентну схему Тевеніна.

Скріншот корпоративного WeChat_17102276319087.png

Скріншот корпоративного WeChat_17102276369673.png

Еквівалентні схеми Нортона та Теодена

Джерело: Electrical4u.

Заява: Поважайте оригінал, добри статті варто поширити, якщо є порушення авторських прав, будь ласка, зверніться для видалення.