Wat is Norton's Theorem en hoe vind je het Norton-equivalente circuit

Veld: Basis Elektrotechniek

China

Wat is de stelling van Norton? (Norton-equivalente schakeling)

De stelling van Norton (ook bekend als de stelling van Mayer-Norton) stelt dat elke lineaire schakeling kan worden vereenvoudigd tot een equivalente schakeling met één stroombron en een equivalente parallelle weerstand verbonden aan een belasting. De vereenvoudigde schakeling wordt de Norton-equivalente schakeling genoemd.

Formeler gesteld luidt de stelling van Norton als volgt:

“Een schakeling met willekeurige lineaire bilaterale elementen en actieve bronnen kan worden vervangen door een eenvoudig twee-terminale netwerk bestaande uit een impedantie en een stroombron, ongeacht de complexiteit van het netwerk.”

De stelling van Norton is analoog aan de stelling van Thevenin. Hij wordt breed gebruikt in schakelingsanalyse om complexe netwerken te vereenvoudigen en om de beginconditie en de stabiele toestand van de schakeling te bestuderen.

企业微信截图_17102256417070.png 企业微信截图_17102256537679.png

Stelling van Norton

Zoals in de bovenstaande figuur getoond, wordt elk complex bilateraal netwerk vereenvoudigd tot een eenvoudige Norton-equivalente schakeling.

De Norton-equivalente schakeling bestaat uit een equivalente impedantie verbonden parallel met een stroombron en een belastingsweerstand.

De constante stroombron die in de Norton-equivalente schakeling wordt gebruikt, staat bekend als de Norton-stroom IN of kortsluitstroom ISC.

De stelling van Norton werd in 1926 afgeleid door Hans Ferdinand Mayer en Edward Lawry Norton.

Norton Equivalent Formule

Zoals te zien is in het equivalente Norton-circuit, wordt de Norton-stroom verdeeld over twee paden. Het ene pad gaat door de equivalente weerstand en het tweede pad gaat door de belastingsweerstand.

Daarom kan de stroom die door de belastingsweerstand loopt worden afgeleid met behulp van de stroomdelerregel. En de formule voor de stelling van Norton is;

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_L + R_{EQ}} \times I_N$

Hoe vind je het equivalente Norton-circuit

Elk complex bilateraal netwerk wordt vervangen door een eenvoudig equivalente Norton-circuit. En het bestaat uit;

Equivalente Norton-weerstand
Equivalente Norton-stroom
Belastingsweerstand

Equivalente Norton-weerstand

De equivalente Norton-weerstand is vergelijkbaar met de equivalente Thevenin-weerstand. Om de equivalente Norton-weerstand te berekenen, moeten alle actieve bronnen van het netwerk worden verwijderd.

Maar de voorwaarde is; alle bronnen moeten onafhankelijke bronnen zijn. Als het netwerk afhankelijke bronnen bevat, moet je andere methoden gebruiken om de equivalente Norton-weerstand te vinden.

Indien het netwerk alleen bestaat uit onafhankelijke bronnen, worden alle bronnen verwijderd uit het netwerk door de spanningsbron te kortsluiten en de stroombron te openen.

Bij het berekenen van de Norton-equivalente weerstand wordt de belastingweerstand opengekort. Vind vervolgens de open-kortsluitingspanning tussen de belastingsluitpunten.

Soms wordt de Norton-weerstand ook wel de Thevenin-equivalente weerstand of open-kortsluitingsweerstand genoemd.

Laten we dit verduidelijken met een voorbeeld.

Controleer eerst of het netwerk afhankelijke bronnen bevat. In dit geval zijn alle bronnen onafhankelijk: een 20V spanningsbron en een 10A stroombron.

Verwijder nu beide bronnen door de spanningsbron te kortsluiten en de stroombron te openen. Open vervolgens de belastingsluitpunten.

Bepaal nu de open-kortsluitingspanning door reeksen en parallelle verbindingen van weerstanden te maken.

De weerstanden van 6Ω en 4Ω staan in serie. De totale weerstand is dus 10Ω.

企业微信截图_17102258034738.png — Equivalente weerstand

企业微信截图_17102258117375.png — Equivalente weerstand

Beide 10Ω weerstanden staan parallel. De equivalente weerstand REQ is dus 5Ω.

Norton-equivalente stroom

Om de Norton-equivalente stroom te berekenen, wordt de belastingsweerstand gekortsloten. Bepaal vervolgens de stroom die door de gekortsloten tak loopt.

De Norton-stroom of Norton-equivalente stroom staat ook bekend als de kortsluitstroom.

In het bovenstaande voorbeeld, verwijder de belastingweerstand en sluit de belastingschakel kort.

In het bovenstaande netwerk wordt de vertakking die de spanningsbron bevat genegeerd, omdat het een overbodige vertakking is. Dit betekent dat het een parallelle vertakking van een kortgesloten vertakking is.

$I_1 = 10A$

Pas KVL toe in lus-2; $10I_2 - 6I_1 = 0$

$10I_2 - 60 = 0$

$10I_2 = 60$

$I_2 = I_{N} = 6A$

De stroom door de belasting is IL. Volgens de current divider rule;

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_{EQ} + R_L} \times I_{N}$

$I_L = \frac{5}{5 + 5} \times 6$

$I_L = 3A$

Norton Equivalent Resistance with Dependent Source

Om de Norton-equivalente weerstand te berekenen voor een circuit met een afhankelijke bron, moeten we de open-circuit spanning (VOC) over de ladingaansluitingen bepalen.

De open-circuit spanning is vergelijkbaar met de Thevenin-equivalente spanning.

Na het vinden van de Thevenin-equivalente spanning en de Norton-stroom; plaats deze waarden in de onderstaande formule.

$R_{EQ} = R_N = \frac{V_{TH}}{I_N} = \frac{V_{OC}}{I_{SC}}$

Norton Equivalent Circuit Examples

Example-1 Find the Norton Equivalent Circuit Across Terminals AB.

Bepaal het Norton-equivalente circuit over de aansluitingen AB in het gegeven actieve lineaire netwerk, zoals getoond in de onderstaande figuur.

Stap-1 Bepaal de Norton-equivalente stroom (IN). Om IN te berekenen, moeten we de aansluitingen AB kortsluiten.

Pas KVL toe in lus-1;

( $\begin{equation*} 60 = 10I_1 - 5I_2 \end{equation*}$

Pas KVL toe in lus-2;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20I_3$

Van de stroombron;

$I_3 = 2A$

Daarom;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20(2)$

$\begin{equation*} 40 = -5I_1 + 40I_2 \end{equation*}$

Door vergelijking 1 en 2 op te lossen, kunnen we de waarde van de stroom I2 vinden, die hetzelfde is als de Norton-stroom (IN).

$I_2 = I_N = 4A$

Stap-2 Bepaal de equivalente weerstand (REQ). Daartoe wordt de stroombron opengelegd en de spanningbron kortgesloten.

$20 + 15 + 2.5 = 37.5 \Omega$

Stap-3 Plaats de waarden van de Norton-stroom en de equivalente weerstand in het Norton-equivalente circuit.

Voorbeeld-1 Norton Equivalent Circuit

Voorbeeld-2 Bepaal de Norton en Thevenin equivalent circuit voor het gegeven netwerk

Voorbeeld-2 Bepaal de Norton Equivalent Circuit met een afhankelijke bron

Stap-1 Bepaal de Norton stroom (IN). Sluit hiervoor de terminals AB kort.

Pas KVL toe op lus-1;

$20 + 4i = 14I_1 - 6I_2$

$i = I_1 - I_2$

$20 + 4(I_1 - I_2) = 14I_1 - 6I_2$

$20 + 4I_1 - 4I_2 = 14I_1 - 6I_2$

(3) $\begin{equation*} 20 = 10I_1 - 2I_2 \end{equation*}$

Nu, pas KVL toe op lus-2

$18I_2 - 6I_1 = 0$

$6I_1 = 18I_2$

$I_1 = 3I_2$

Plaats deze waarde in vergelijking-3;

$20 = 10(3I_2) - 2I_2$

$20 = 28I_2$

$I_2 = I_N = 0.7142 A$

Stap-2 Het netwerk bestaat uit een afhankelijke spanningbron. Daarom kan de equivalente weerstand niet direct worden gevonden.

Om de equivalente weerstand te vinden, moeten we een open-circuit spanning (Thevenin-spanning) vinden. Daarvoor openen we de terminals AB. Vanwege het open circuit is de stroom door de 12Ω weerstand nul.

Dus, we kunnen de 12Ω weerstand negeren.

$20 + 4i = 14i$

$i = 2A$

De spanning over de 6Ω weerstand is gelijk aan de spanning over de terminals AB.

$V_{OC} = V_{TH} = 6 \times 2$

$V_{TH} = 12V$

Stap-3 Zoek de equivalente weerstand;

$R_{EQ} = \frac{V_{TH}}{I_N}$

$R_{EQ} = \frac{12}{0.714}$

$R_{EQ} = 16.8 \Omega$

Stap-4 Plaats de waarde van de Norton-stroom en de equivalente weerstand in het Norton-equivalente circuit.

Stap-5 Plaats de waarde van de Thevenin-spanning en de equivalente weerstand in het Thevenin-equivalente circuit.

Norton en Thevenin Equivalent Circuits

De Norton equivalent circuit is het duale netwerk van de Thevenin equivalent circuit. De stellingen van Norton en Thevenin worden wijdverspreid gebruikt om complexe circuits in netwerkanalyses op te lossen.

Zoals we hebben gezien, bestaat de Norton equivalent circuit uit een Norton stroombron en de Thevenin equivalent circuit bestaat uit een Thevenin spanningbron.

De equivalente weerstand is in beide gevallen hetzelfde. Om de Norton naar de Thevenin equivalent circuit om te zetten, wordt brontransformatie gebruikt.

In het bovenstaande voorbeeld kunnen de Norton stroombron en de parallelle equivalente weerstand worden omgezet in een spanningbron en een weerstand die in serie zijn verbonden.

De waarde van de spanningbron zal zijn;

$V_{TH} = \frac{I_N}{R_{EQ}}$

En je krijgt dan de exacte Thevenin equivalent circuit.

Norton en Thevenin equivalent circuits

Bron: Electrical4u.

Verklaring: Respecteer de oorspronkelijke tekst, goede artikelen zijn deelbaar, indien er een inbreuk is wordt verzocht om te verwijderen.