Какво е теоремата на Нортън и как да намерите нортоновото еквивалентно верижко

Поле: Основни електротехника

China

Какво е теоремата на Нортън? (Нортънова еквивалентна верига)

Теоремата на Нортън (също известна като теоремата на Майер-Нортън) твърди, че е възможно да се опростят всички линейни вериги до еквивалентна верига с един източник на ток и еквивалентно паралелно съпротивление, свързани към товар. Опростената верига е известна като Нортънова еквивалентна верига.

По-формално, теоремата на Нортън може да бъде формулирана така:

„Верига, съдържаща всякакви линейни двустранни елементи и активни източници, може да бъде заменена от проста двутерминална мрежа, състояща се от импеданс и източник на ток, независимо от сложността на мрежата.“

Теоремата на Нортън е паралелна на теоремата на Тевенен. И тя широко се използва в анализите на веригите за опростяване на сложни мрежи и изучаване на началното състояние и стационарния отговор на веригата.

企业微信截图_17102256417070.png 企业微信截图_17102256537679.png

Теоремата на Нортън

Както е показано на горната фигура, всяка сложна двустранна мрежа се опростява до проста Нортънова еквивалентна верига.

Нортъновата еквивалентна верига се състои от еквивалентен импеданс, свързан паралелно с източник на ток и товар съпротивление.

Постоянният източник на ток, използван в Нортъновата еквивалентна верига, е известен като Нортънов ток IN или краткосрочен ток ISC.

Теоремата на Нортън беше изведена от Ханс Фердинанд Майер и Едвард Лори Нортън през 1926 г.

Формула за еквивалент на Нортън

Както е показано в еквивалентната схема на Нортън, нортоновата ток е разделен на две пътища. Едно пълни през еквивалентното съпротивление, а второто – през съпротивлението на товара.

Следователно, токът, минаващ през съпротивлението на товара, може да бъде изведен чрез правилото за делене на тока. И формулата за теоремата на Нортън е;

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_L + R_{EQ}} \times I_N$

Как да намерите еквивалентна схема на Нортън

Всяка сложна двустранна мрежа се заменя с проста еквивалентна схема на Нортън. И тя се състои от;

Еквивалентно съпротивление на Нортън
Еквивалентен ток на Нортън
Съпротивление на товара

Еквивалентно съпротивление на Нортън

Еквивалентното съпротивление на Нортън е подобно на еквивалентното съпротивление на Тефен. За да се изчисли еквивалентното съпротивление на Нортън, трябва да премахнем всички активни източници на мрежата.

Но условието е; всички източници трябва да са независими. Ако мрежата съдържа зависими източници, трябва да използвате други методи за намиране на еквивалентното съпротивление на Нортън.

Ако мрежата съдържа само независими източници, всички източници се премахват от мрежата, като се короткосвързва напреговия източник и се откроява токовият източник.

При изчисляването на еквивалентното съпротивление на Нортон, съпротивлението на заредеността се откроява. И се намира напреговият потенциал при открит цеп между краищата на заредеността.

Някои пъти, еквивалентното съпротивление на Нортон се нарича още еквивалентно съпротивление на Тевенен или съпротивление при открит цеп.

Да разгледаме с пример.

Първо, проверете дали мрежата има някакви зависими източници? В този случай всички източници са независими: напрегов източник от 20В и токов източник от 10А.

Сега, премахнете двата източника, като короткосвържете напреговия източник и откройте токовия източник. И отворете краищата на заредеността.

Сега, намерете напреговия потенциал при открит цеп, като направите сериен и паралелен свърз на съпротивленията.

Съпротивленията 6Ω и 4Ω са в серия. Така че, общото съпротивление е 10Ω.

企业微信截图_17102258034738.png — Еквивалентно съпротивление

企业微信截图_17102258117375.png — Еквивалентно съпротивление

Двете съпротивления от 10Ω са в паралел. Така че, еквивалентното съпротивление REQ = 5Ω.

Еквивалентен ток на Нортон

За да се изчисли еквивалентният ток на Нортон, съпротивлението на заредеността се короткосвързва. И се намира токът, минаващ през короткосвързаната клонка.

Така че, еквивалентният ток на Нортон, или еквивалентният ток на Нортон, се нарича още ток при коротко свързване.

В горния пример, премахнете съпротивлението на натоварването и замкнете във верига клонът на натоварването.

В горната мрежа, клонът, съдържащ източника на напрежение, е игнориран, тъй като е излишъчен клон. Това означава, че е паралелен клон на замкнат във верига клон.

$I_1 = 10A$

Приложете Закона за запазване на напрежението (KVL) в петля-2; $10I_2 - 6I_1 = 0$

$10I_2 - 60 = 0$

$10I_2 = 60$

$I_2 = I_{N} = 6A$

Токът, минаващ през бремето, е IL. Според правилото за делене на тока;

$I_L = \frac{R_{EQ}}{R_{EQ} + R_L} \times I_{N}$

$I_L = \frac{5}{5 + 5} \times 6$

$I_L = 3A$

Еквивалентно съпротивление на Нортон с зависим източник

За да изчислим еквивалентното съпротивление на Нортон за верига, която има зависим източник, трябва да изчислим напрежението при отворена верига (VOC) между терминалите на натоварване.

Напрежението при отворена верига е подобно на еквивалентното напрежение на Теовен.

След като намерим еквивалентното напрежение на Теовен и тока на Нортон, поставете тези стойности в следното уравнение.

$R_{EQ} = R_N = \frac{V_{TH}}{I_N} = \frac{V_{OC}}{I_{SC}}$

Примери за еквивалентна верига на Нортон

Пример-1 Намерете еквивалентната верига на Нортон между терминалите AB.

Намерете еквивалентната верига на Нортон между терминалите AB в дадената активна линейна мрежа, показана на следната фигура.

Стъпка-1 Намерете еквивалентния ток на Нортон (IN). За да изчислите IN, трябва да замкнете терминалите AB.

Приложете KVL в първия контур;

( $\begin{equation*} 60 = 10I_1 - 5I_2 \end{equation*}$

Приложете KVL в петлата-2;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20I_3$

От източника на тока;

$I_3 = 2A$

Следователно;

$0 = 40I_2 - 5I_1 - 20(2)$

$\begin{equation*} 40 = -5I_1 + 40I_2 \end{equation*}$

Решавайки уравнения 1 и 2, можем да намерим стойността на тока I2, която е същата като ток Нортон (IN).

$I_2 = I_N = 4A$

Стъпка 2 Намерете еквивалентното съпротивление (REQ). За това, източникът на ток се отваря, а източникът на напрежение се замыка.

$20 + 15 + 2.5 = 37.5 \Omega$

Стъпка 3 Въведете стойностите на тока Нортон и еквивалентното съпротивление в еквивалентната схема на Нортон.

Пример-1 Еквивалентна схема на Нортон

Пример-2 Намерете еквивалентните схеми на Нортон и Тевенен за дадената мрежа

Пример-2 Намиране на еквивалентна схема на Нортон с зависим източник

Стъпка-1 Намерете тока на Нортон (IN). За това свържете краищата AB.

Приложете KVL към петлата-1;

$20 + 4i = 14I_1 - 6I_2$

$i = I_1 - I_2$

$20 + 4(I_1 - I_2) = 14I_1 - 6I_2$

$20 + 4I_1 - 4I_2 = 14I_1 - 6I_2$

(3) $\begin{equation*} 20 = 10I_1 - 2I_2 \end{equation*}$

Сега приложете KVL във втория контур

$18I_2 - 6I_1 = 0$

$6I_1 = 18I_2$

$I_1 = 3I_2$

Поставете тази стойност в уравнение-3;

$20 = 10(3I_2) - 2I_2$

$20 = 28I_2$

$I_2 = I_N = 0.7142 A$

Стъпка-2 Мрежата съдържа зависим източник на напрежение. Следователно, еквивалентното съпротивление не може да бъде намерено директно.

За да намерим еквивалентното съпротивление, трябва да намерим напрежението при отворена цеп (Тевениново напрежение). За това отворете терминалите AB. И поради отворената цеп, токът, който протича през 12Ω резистор, е нула.

Следователно, можем да пренебрегнем 12Ω резистора.

$20 + 4i = 14i$

$i = 2A$

Напрежението върху 6Ω съпротивление е същото като напрежението между терминалите AB.

$V_{OC} = V_{TH} = 6 \times 2$

$V_{TH} = 12V$

Стъпка-3 Намерете еквивалентното съпротивление;

$R_{EQ} = \frac{V_{TH}}{I_N}$

$R_{EQ} = \frac{12}{0.714}$

$R_{EQ} = 16.8 \Omega$

Стъпка-4 Поставете стойността на тока на Нортон и еквивалентното съпротивление в еквивалентната схема на Нортон.

Стъпка-5 Поставете стойността на напрежението на Теунен и еквивалентното съпротивление в еквивалентната схема на Теунен.

thevenin equivalent circuit — Thevenin Equivalent Circuit

Norton и Thevenin еквивалентни вериги

Norton еквивалентната верига е дуална мрежа на Thevenin еквивалентната верига. Теоремите на Norton и Thevenin се използват широко за решаване на сложни вериги в анализ на мрежи.

Както видяхме, Norton еквивалентната верига съдържа Norton токов източник, а Thevenin еквивалентната верига съдържа Thevenin напрегнателен източник.

Еквивалентното съпротивление е едно и също в двата случая. За да се преобразува Norton в Thevenin еквивалентна верига, се използва преобразуване на източниците.

В горния пример, Norton токовият източник и паралелното еквивалентно съпротивление могат да бъдат преобразувани в напрегнателен източник и съпротивление свързани поред.

Стойността на напрегнателния източник ще бъде;

$V_{TH} = \frac{I_N}{R_{EQ}}$

И ще получите точната Thevenin еквивалентна верига.

Скриншот на WeChat за бизнес_17102276319087.png

Скриншот на WeChat за бизнес_17102276369673.png

Еквивалентни вериги на Нортън и Теонен

Източник: Electrical4u.

Заявление: Почитайте оригинала, добри статии заслужават споделяне, ако има нарушение на авторските права, моля свържете се за изтриване.