T 매개변수: 무엇인가요? (예제 문제 및 T 매개변수를 다른 매개변수로 변환하는 방법)

필드: 기본 전기학

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t 매개변수는 무엇인가

T 매개변수는 무엇인가?

T 매개변수는 전송선로 매개변수 또는 ABCD 매개변수로 정의됩니다. 두 포트 네트워크에서 포트-1은 송신 단으로, 포트-2는 수신 단으로 간주됩니다. 아래 네트워크 다이어그램에서 포트-1 단자는 입력(송신) 포트를 나타냅니다. 마찬가지로, 포트-2 단자는 출력(수신) 포트를 나타냅니다.

두 포트 네트워크 t 매개변수

두 포트 네트워크에서의 T 매개변수

위의 두 포트 네트워크에 대한 T 매개변수 방정식은 다음과 같습니다.

(1) $\begin{equation*} V_S=AV_R + BI_R \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} I_S=CV_R + DI_R \end{equation*}$

여기서;

VS = 송신단 전압
IS = 송신단 전류
VR = 수신단 전압
IR = 수신단 전류

이러한 매개변수들은 전송선로의 수학적 모델링에 사용됩니다. 매개변수 A와 D는 무차원입니다. 매개변수 B와 C의 단위는 각각 옴과 몰호입니다.

$\begin{bmatrix} V_S \\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R \\ I_R \end{bmatrix}$

T-매개변수의 값을 찾기 위해 수신단을 개방 및 단락시켜야 합니다. 수신단이 개방될 때, 수신단 전류 IR은 0입니다. 이 값을 방정식에 대입하면 매개변수 A와 C의 값을 얻을 수 있습니다.

$I_R=0$

open circuit condition

방정식-1로부터;

$V_S=AV_R + B(0)$

$V_S=AV_R$

$A = \left \frac{V_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

식 (2)에서;

$I_S = CV_R + D(0)$

$I_S = CV_R$

$C = \left \frac{I_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

수신 단자가 단락되었을 때 수신 단자 간의 전압 VR은 0입니다. 이 값을 방정식에 대입하면 B와 D 매개변수의 값을 얻을 수 있습니다.

$V_R = 0$

단락 상태

방정식-1에서;

$V_S=A(0) + BI_R$

$V_S = BI_R$

$B = \left \frac{V_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

식-2에서;

$I_S=C (0) + DI_R$

$I_S = DI_R$

$D = \left \frac{I_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

T 매개변수 해결 예제 문제

보내는 측과 받는 측 단자 사이에 임피던스가 연결되어 있는 아래의 도면을 참조하세요. 주어진 네트워크의 T-파라미터를 찾으세요.

t parameter example

T-파라미터 예시

여기서, 보내는 측 전류는 받는 측 전류와 같습니다.

$I_S = I_R$

(3) $\begin{equation*} I_S = (0)V_R + (1) I_R \end{equation*}$

이제, 이 네트워크에 KVL을 적용해봅시다,

$V_S = V_R + I_S Z_1$

$V_S = V_R + I_R Z_1$

(4) $\begin{equation*} V_S = (1)V_R + (Z_1) I_R \end{equation*}$

방정식 1과 4를 비교합니다.

$A = 1, \, B = Z_1$

방정식 2와 3을 비교해보자.

$C = 0, \, D = 1$

전송선의 T 파라미터

전송선은 길이에 따라 다음과 같이 분류된다.

짧은 전송선
중간 길이의 전송선
긴 전송선

이제 모든 종류의 전송선에 대한 T-파라미터를 찾겠습니다.

짧은 전송선

길이가 80km 미만이고 전압 수준이 20kV 미만인 송전선은 짧은 송전선으로 간주됩니다. 길이가 짧고 전압 수준이 낮기 때문에 선로의 용량은 무시됩니다.

따라서 짧은 송전선을 모델링할 때는 저항과 인덕턴스만 고려합니다. 아래 그림은 짧은 송전선의 그래픽 표현입니다.

t parameter of short transmission line

짧은 송전선의 T-파라미터

여기서,
IR = 수신측 전류
VR = 수신측 전압
Z = 부하 임피던스
IS = 송신측 전류
VS = 송신측 전압
R = 선로 저항
L = 선로 인덕턴스

전류가 송전선을 통과할 때, 선로 저항에서 IR 드롭이 발생하고, 인덕턴스 반응에서 IXL 드롭이 발생합니다.

위 네트워크에서 송신측 전류는 수신측 전류와 같습니다.

$I_S = I_R$

$V_S = V_R + I_R Z$

이제 이 방정식을 T-파라미터의 방정식 (방정식 1 & 2)과 비교해보면 짧은 전송선에 대한 A, B, C, D 파라미터의 값을 얻을 수 있습니다.

$A = 1, B = Z, C = 0, D = 1$

중간 길이의 전송선

길이가 80km에서 240km이고 전압 수준이 20kV에서 100kV인 전송선은 중간 길이의 전송선으로 간주됩니다.

중간 길이의 전송선의 경우, 용량을 무시할 수 없습니다. 중간 길이의 전송선을 모델링할 때는 용량을 고려해야 합니다.

용량의 배치에 따라 중간 길이의 전송선은 세 가지 방법으로 분류됩니다.

끝 콘덴서 방법
명목 T 방법
명목 π 방법

엔드 컨덴서 방법

이 방법에서는 전송선의 용량이 전송선의 끝에 집중되어 있다고 가정합니다. 엔드 컨덴서 방법의 그래픽 표현은 아래 그림에 표시되어 있습니다.

t parameter of end condenser method

엔드 컨덴서 방법의 T-파라미터

여기서;
IC = 커패시터 전류 = YVR

위 그림에서,

$I_S = I_C + I_R$

(5) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R \end{equation*}$

KVL에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$V_S = V_R + Z I_S$

$V_S = V_R + Z (I_C + I_R)$

$V_S = V_R + Z (Y V_R + I_R)$

$V_S = V_R + Z Y V_R + Z I_R$

(6) $\begin{equation*} V_S = V_R (1 + ZY) + Z I_R \end{equation*}$

이제, 방정식-5와 6을 T 매개변수의 방정식과 비교해보세요.

$A = 1 + ZY, \; B = Z , \; C = Y , \; D = 1$

명목 T 방법

이 방법에서는 전송선의 중간 지점에 선의 용량을 배치합니다. 명목 T 방법의 그래픽 표현은 아래 그림과 같습니다.

t parameter of nominal t method

명목 T 방법의 T 매개변수

여기서,
IC = 커패시터 전류 = YVC
VC = 커패시터 전압

$V_S = V_C + I_S \frac{Z}{2}$

$V_C = V_R + I_R \frac{Z}{2}$

KCL에서;

$I_S = I_R + I_C$

$I_S = I_R + Y V_C$

$I_S = I_R + Y (V_R + I_R \frac{Z}{2})$

$I_S = I_R + Y V_R + Y I_R \frac{Z}{2})$

(7) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \end{equation*}$

이제,

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + I_S \frac{Z}{2}$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} \left[ YV_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \right]$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} YV_R + \frac{Z}{2} I_R (1 + \frac{YZ}{2})$

(8) $\begin{equation*} V_S = V_R \left( 1 + \frac{YZ}{2} \right) + I_R \left( Z + \frac{YZ^2}{4} \right) \end{equation*}$

이제, 방정식 7과 8을 T 매개변수의 방정식과 비교하면 다음과 같습니다.

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z(1+\frac{YZ}{4})$

$C = Y$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

명목 π 방법

이 방법에서는 전송선의 용량이 반으로 나뉩니다. 하나는 송신단에, 다른 하나는 수신단에 배치됩니다. 명목 π 방법의 그래픽 표현은 아래 그림과 같습니다.

t parameter of nominal pi method

명목 π 방법의 T-파라미터

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_1 = I_R + I_{C1}$

$I_{C1} = \frac{Y}{2} V_R \; and \; I_{C2} = \frac{Y}{2} V_S$

위의 그림에서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$V_S = V_R + I_1 Z$

$V_S = V_R + (I_R + I_{C1}) Z$

$V_S = V_R + Z (I_R + \frac{Y}{2} V_R)$

$V_S = V_R + Z I_R + Z \frac{Y}{2} V_R$

(9) $\begin{equation*} V_S = V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \end{equation*}$

이제,

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_S = (I_R + I_{C1}) + I_{C2}$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} V_S$

VS의 값을 이 식에 대입하면,

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} \left[ V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \right]$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} (1 + \frac{YZ}{2}) V_R + \frac{Y}{2} I_R Z$

(10) $\begin{equation*} I_S = I_R \left[ 1 + \frac{YZ}{2} \right] + Y V_R \left[ 1 + \frac{YZ}{4} \right] \end{equation*}$

식 9와 10를 T 매개변수의 식과 비교하면 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z$

$C = Y \left( 1 + \frac{YZ}{4} \right)$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

긴 전송선로

긴 전송선로는 분산 네트워크로 모델링됩니다. 이는 집중 네트워크로 가정할 수 없습니다. 아래 그림은 긴 전송선로의 분산 모델을 나타냅니다.

t parameter of long transmission line

긴 전송선로의 T-파라미터

선로의 길이는 X km입니다. 전송선로를 분석하기 위해 선로의 작은 부분(dx)을 고려합니다. 아래 그림과 같습니다.

long transmission line t parameter

Zdx = 직렬 임피던스
Ydx = 셔트 임피던스

전압은 길이가 증가함에 따라 증가합니다. 따라서 전압 상승은 다음과 같습니다.

$dV = IZdx$

$\frac{dV}{dx} = IZ$

마찬가지로 요소에 의해 흡수되는 전류는 다음과 같습니다.

$dI = VYdx$

$\frac{dI}{dx} = VY$

위의 방정식을 미분하면;

$\frac{d^2V}{dx^2} = Z \frac{dI}{dx} = ZVY$

위 방정식의 일반적인 해는 다음과 같습니다.

$V = K_1 cosh(x\sqrt{YZ}) + K_2 sinh(x \sqrt{YZ})$

이제 이 방정식을 X에 대해 미분해 보겠습니다,

$\frac{dv}{dx} = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$IZ = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$I = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 cosh(x\sqrt{YZ})$

이제 상수 K1와 K2를 찾아야 합니다.

그렇게 하기 위해 다음과 같이 가정합니다.

$x=0, \; V=V_R, \; I=I_R$

위의 방정식에 이러한 값을 대입하면 다음과 같습니다.

$V_R = K_1 cosh 0 + K_2 sinh 0$

$V_R = K_1 + 0$

$K_1 = V_R$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh 0 + K_2 cosh 0 \right]$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} [0+K_2]$

$K_2 = \sqrt{\frac{Z}{Y}}$

따라서,

$V_S = V_R cosh (x\sqrt{YZ}) + \sqrt{\frac{Z}{Y}} I_R sinh (x\sqrt{YZ})$

$I_S = \sqrt{\frac{Y}{Z}} V_R sinh (x\sqrt{YZ}) + I_R cosh (x\sqrt{YZ})$

$Z_C = \sqrt{\frac{Z}{Y}} \, and \, \gamma = \sqrt{YZ}$

여기서,

ZC = 특성 임피던스
ɣ = 전파 상수

$V_S = V_R cosh \gamma x + I_R Z_C sinh \gamma x$

$I_S = \frac{V_R}{Z_C} sinh \gamma x + I_R cosh \gamma x$

이 방정식을 T-파라미터의 방정식과 비교하십시오.

$A=cosh \gamma x$

$B=Z_C sinh \gamma x$

$C=\frac{sinh \gamma x}{Z_C}$

$D=\cos \gamma x$

T 매개변수를 다른 매개변수로의 변환

T 매개변수의 방정식으로부터 다른 매개변수를 찾을 수 있습니다. 이를 위해 T 매개변수에 대한 다른 매개변수의 일련의 방정식을 찾아야 합니다.

아래 도표에서 보이는 일반적인 두 포트 네트워크를 고려해보겠습니다.

conversion of t parameters to other parameters

이 도표에서 수신 단의 전류 방향이 변경되었습니다. 따라서 T 매개변수의 방정식에서 몇 가지 변경 사항을 고려해야 합니다.

$V_S = V_1, \; V_R = V_2, \; I_S = I_1, \; I_R = -I_2,$

T 매개변수의 방정식은 다음과 같습니다.

(11) $\begin{equation*} V_1 = AV_2 - BI_2 \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} I_1 = CV_2 - DI_2 \end{equation*}$

T 매개변수에서 Z 매개변수로

다음 세트의 방정식은 Z 매개변수를 나타냅니다.

(13) $\begin{equation*} V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2 \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} V_2 = Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2 \end{equation*}$

이제 T 매개변수를 사용하여 Z 매개변수의 방정식을 찾겠습니다.

$CV_2 = I_1 + DI_2$

(15) $\begin{equation*} V_2 = \frac{1}{C}I_1 + \frac{D}{C} I_2 \end{equation*}$

이제 방정식 14와 방정식 15를 비교해보세요

$Z_{21} = \frac{1}{C}, \quad Z_{22} = \frac{D}{C}$

그러면,

$V_1 = A \left[ \frac{1}{C} I_1 + \frac{D}{C}I_2 \right] - BI_2$

$V_1 = \frac{A}{C} I_1 + \frac{AD}{C}I_2 - BI_2$

(16) $\begin{equation*} V_1 = \frac{A}{C}I_1 + \left( \frac{AD-BC}{C} \right) I_2 \end{equation*}$

방정식 13과 방정식 16을 비교합니다.

$Z_{11} = \frac{A}{C}, \quad Z_{12} = \frac{AD-BC}{C}$

T 파라미터에서 Y 파라미터로

Y 파라미터의 일련의 방정식은 다음과 같습니다.

(17) $\begin{equation*} I_1 = Y_{11}V_1 + Y_{12}V_2 \end{equation*}$

(18) $\begin{equation*} I_2 = Y_{21}V_1 + Y_{22}V_2 \end{equation*}$

식 (12)에서;

$DI_2 = CV_2 - I_1$

$I_2 = \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1$

이 값을 방정식 11에 대입하세요.

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 -\frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

$V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] +\frac{B}{D}I_1$

$\frac{B}{D}I_1 = V_1 - V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right]$

(19) $\begin{equation*} I_1 = \frac{D}{B}V_1 - \frac{BC-AD}{B}V_2 \end{equation*}$

이 방정식을 방정식-17과 비교하십시오.

$Y_{11} = \frac{D}{B}, \quad Y_{12} = \frac{BC-AD}{B}$

방정식 11에서;

$BI_2 = AV_2 - V_1$

(20) $\begin{equation*} I_2 = \frac{A}{B} V_2 - \frac{1}{B}V_1 \end{equation*}$

이 방정식을 방정식 18과 비교하십시오;

$Y_{21} = \frac{-1}{B}, \quad Y_{22} = \frac{A}{B}$

T 매개변수에서 H 매개변수로

H 매개변수의 방정식 집합은 다음과 같습니다.

(21) $\begin{equation*} V_1 = H_{11}I_1 + H_{12}V_2 \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} I_2 = H_{21}I_1 + H_{22}V_2 \end{equation*}$

방정식 (12)에서;

$DI_2 = CV_2 - I_1$

(23) $\begin{equation*} I_2 = \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \end{equation*}$

이 방정식을 식-22와 비교하십시오.

$H_{21} = \frac{-1}{D}, \quad H_{22} = \frac{C}{D}$

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 - \frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

(24) $\begin{equation*} V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] + \frac{B}{D}I_1 \end{equation*}$

$H_{11} = \frac{B}{D}, \quad H_{12} = \frac{AD-BC}{D}$

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