Parametri T: Cosa sono? (Esempi Problemi e Come Convertire i Parametri T in Altri Parametri)

Campo: Elettricità di base

China

cosa sono i parametri T

Cosa sono i parametri T?

I parametri T sono definiti come parametri di linea di trasmissione o parametri ABCD. In una rete a due porte, la porta 1 è considerata l'estremità di invio e la porta 2 è considerata l'estremità di ricezione. Nella diagramma di rete sottostante, i terminali della porta 1 rappresentano la porta di ingresso (invio). Analogamente, i terminali della porta 2 rappresentano la porta di uscita (ricezione).

rete a due porte con parametro T

Parametro T in una rete a due porte

Per la rete a due porte sopra, le equazioni dei parametri T sono;

(1) $\begin{equation*} V_S=AV_R + BI_R \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} I_S=CV_R + DI_R \end{equation*}$

Dove;

VS = Tensione all'estremità di invio di tensione
IS = Corrente all'estremità di invio di corrente
VR = Tensione all'estremità di ricezione
IR = Corrente all'estremità di ricezione

Questi parametri vengono utilizzati per la modellizzazione matematica di una linea di trasmissione. I parametri A e D sono adimensionali. L'unità del parametro B è l'ohm e quella del parametro C è il mho.

$\begin{bmatrix} V_S \\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R \\ I_R \end{bmatrix}$

Per trovare il valore dei parametri T, è necessario aprire e cortocircuitare l'estremità di ricezione. Quando l'estremità di ricezione è in cortocircuito, la corrente di ricezione IR è zero. Inserendo questo valore nelle equazioni, otteniamo i valori dei parametri A e C.

$I_R=0$

condizione di circuito aperto

Dall'equazione-1;

$V_S=AV_R + B(0)$

$V_S=AV_R$

$A = \left \frac{V_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

Dall'equazione-2;

$I_S = CV_R + D(0)$

$I_S = CV_R$

$C = \left \frac{I_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

Quando la parte ricevente è cortocircuitata, la tensione ai terminali di ricezione VR è zero. Inserendo questo valore nell'equazione, possiamo ottenere i valori dei parametri B e D.

$V_R = 0$

condizione di cortocircuito

Dall'equazione-1;

$V_S=A(0) + BI_R$

$V_S = BI_R$

$B = \left \frac{V_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

Dall'equazione-2;

$I_S=C (0) + DI_R$

$I_S = DI_R$

$D = \left \frac{I_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

Esempio di problema risolto con i parametri T

Si consideri che un'impedenza sia connessa tra i terminali di invio e ricezione come mostrato nella figura sottostante. Trova i parametri T della rete data.

t parameter example

Esempio di parametro T

In questo caso, la corrente in uscita è la stessa della corrente in ingresso.

$I_S = I_R$

(3) $\begin{equation*} I_S = (0)V_R + (1) I_R \end{equation*}$

Ora, applichiamo la legge dei voltaggi ai nodi alla rete,

$V_S = V_R + I_S Z_1$

$V_S = V_R + I_R Z_1$

(4) $\begin{equation*} V_S = (1)V_R + (Z_1) I_R \end{equation*}$

Confronta l'equazione-1 e 4;

$A = 1, \, B = Z_1$

Confronta l'equazione-2 e 3;

$C = 0, \, D = 1$

Parametri T di una linea di trasmissione

Secondo la lunghezza della linea, le linee di trasmissione sono classificate come:

Linea di trasmissione breve
Linea di trasmissione media
Linea di trasmissione lunga

Ora, troviamo i parametri T per tutti i tipi di linee di trasmissione.

Linea di trasmissione breve

La linea di trasmissione con una lunghezza inferiore a 80 km e un livello di tensione inferiore a 20 kV è considerata una linea di trasmissione breve. A causa della piccola lunghezza e del livello di tensione più basso, la capacità della linea viene trascurata.

Quindi, stiamo considerando solo la resistenza e l'induttanza nella modellizzazione di una linea di trasmissione breve. La rappresentazione grafica della linea di trasmissione breve è mostrata nella figura sottostante.

t parameter of short transmission line

Parametri T della linea di trasmissione breve

Dove,
IR = Corrente alla fine ricevente
VR = Tensione alla fine ricevente
Z = Impedenza del carico
IS = Corrente alla fine inviante
VS = Tensione alla fine inviante
R = Resistenza della linea
L = Induttanza della linea

Quando la corrente scorre attraverso la linea di trasmissione, si verifica una caduta IR sulla resistenza della linea e una caduta IXL sull'impedenza induttiva.

Nella rete sopra, la corrente alla fine inviante è la stessa della corrente alla fine ricevente.

$I_S = I_R$

$V_S = V_R + I_R Z$

Ora, confrontiamo queste equazioni con le equazioni dei parametri T (equazione 1 e 2). E otteniamo i valori dei parametri A, B, C e D per una linea di trasmissione corta.

$A = 1, B = Z, C = 0, D = 1$

Linea di Trasmissione Media

La linea di trasmissione con una lunghezza compresa tra 80 km e 240 km e un livello di tensione compreso tra 20 kV e 100 kV è considerata una linea di trasmissione media.

Nel caso di una linea di trasmissione media, non possiamo trascurare la capacitance. Dobbiamo considerare la capacitance durante la modellizzazione di una linea di trasmissione media.

Secondo il posizionamento della capacitance, le linee di trasmissione medie sono classificate in tre metodi:

Metodo del Condensatore Finale
Metodo Nominal T
Metodo Nominal π

Metodo del Condensatore Finale

In questo metodo, la capacità della linea viene considerata concentrata all'estremità della linea di trasmissione. La rappresentazione grafica del Metodo del Condensatore Finale è mostrata nella figura sottostante.

parametro t del metodo del condensatore finale

Parametro T del Metodo del Condensatore Finale

Dove;
IC = Corrente del condensatore = YVR

Dalla figura sopra,

$I_S = I_C + I_R$

(5) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R \end{equation*}$

Per KVL, possiamo scrivere;

$V_S = V_R + Z I_S$

$V_S = V_R + Z (I_C + I_R)$

$V_S = V_R + Z (Y V_R + I_R)$

$V_S = V_R + Z Y V_R + Z I_R$

(6) $\begin{equation*} V_S = V_R (1 + ZY) + Z I_R \end{equation*}$

Ora, confronta le equazioni-5 e 6 con le equazioni dei parametri T;

$A = 1 + ZY, \; B = Z , \; C = Y , \; D = 1$

Metodo T Nominal

In questo metodo, la capacità della linea viene posizionata al punto mediano della linea di trasmissione. La rappresentazione grafica del Metodo T Nominal è mostrata nella figura sottostante.

t parameter of nominal t method

Parametri T del Metodo T Nominal

Dove,
IC = Corrente del condensatore = YVC
VC = Tensione del condensatore

$V_S = V_C + I_S \frac{Z}{2}$

$V_C = V_R + I_R \frac{Z}{2}$

Dalla KCL;

$I_S = I_R + I_C$

$I_S = I_R + Y V_C$

$I_S = I_R + Y (V_R + I_R \frac{Z}{2})$

$I_S = I_R + Y V_R + Y I_R \frac{Z}{2})$

(7) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \end{equation*}$

Ora,

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + I_S \frac{Z}{2}$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} \left[ YV_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \right]$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} YV_R + \frac{Z}{2} I_R (1 + \frac{YZ}{2})$

(8) $\begin{equation*} V_S = V_R \left( 1 + \frac{YZ}{2} \right) + I_R \left( Z + \frac{YZ^2}{4} \right) \end{equation*}$

Ora, confrontiamo le equazioni-7 e 8 con le equazioni dei parametri T e otteniamo,

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z(1+\frac{YZ}{4})$

$C = Y$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

Metodo nominale π

In questo metodo, la capacità della linea di trasmissione viene divisa in due metà. Una metà viene posizionata all'estremità di invio e la seconda metà viene posizionata all'estremità di ricezione. La rappresentazione grafica del metodo nominale π è mostrata nella figura sottostante.

t parameter of nominal pi method

Parametri T del Metodo Nominale π

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_1 = I_R + I_{C1}$

$I_{C1} = \frac{Y}{2} V_R \; and \; I_{C2} = \frac{Y}{2} V_S$

Dalla figura sopra, possiamo scrivere;

$V_S = V_R + I_1 Z$

$V_S = V_R + (I_R + I_{C1}) Z$

$V_S = V_R + Z (I_R + \frac{Y}{2} V_R)$

$V_S = V_R + Z I_R + Z \frac{Y}{2} V_R$

(9) $\begin{equation*} V_S = V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \end{equation*}$

Ora,

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_S = (I_R + I_{C1}) + I_{C2}$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} V_S$

Inserisci il valore di VS in questa equazione,

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} \left[ V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \right]$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} (1 + \frac{YZ}{2}) V_R + \frac{Y}{2} I_R Z$

(10) $\begin{equation*} I_S = I_R \left[ 1 + \frac{YZ}{2} \right] + Y V_R \left[ 1 + \frac{YZ}{4} \right] \end{equation*}$

Confrontando le equazioni 9 e 10 con le equazioni dei parametri T, otteniamo;

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z$

$C = Y \left( 1 + \frac{YZ}{4} \right)$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

Linea di trasmissione lunga

La linea di trasmissione lunga è modellata come una rete distribuita. Non può essere considerata come una rete concentrata. Il modello distribuito di una linea di trasmissione lunga è mostrato nella figura sottostante.

parametro T della linea di trasmissione lunga

Parametro T della linea di trasmissione lunga

La lunghezza della linea è di X km. Per analizzare la linea di trasmissione, consideriamo una piccola parte (dx) della linea. E' mostrata nella figura sottostante.

parametro T della linea di trasmissione lunga

Zdx = impedenza in serie
Ydx = impedenza shunt

Il voltaggio aumenta con l'aumentare della lunghezza. Quindi, l'aumento del voltaggio è;

$dV = IZdx$

$\frac{dV}{dx} = IZ$

Analogamente, la corrente assorbita dall'elemento è;

$dI = VYdx$

$\frac{dI}{dx} = VY$

Differenziando le equazioni sopra riportate;

$\frac{d^2V}{dx^2} = Z \frac{dI}{dx} = ZVY$

La soluzione generale dell'equazione sopra riportata è;

$V = K_1 cosh(x\sqrt{YZ}) + K_2 sinh(x \sqrt{YZ})$

Ora, differenzia questa equazione rispetto a X,

$\frac{dv}{dx} = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$IZ = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$I = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 cosh(x\sqrt{YZ})$

Ora, dobbiamo trovare le costanti K1 e K2;

Per farlo, assumiamo;

$x=0, \; V=V_R, \; I=I_R$

Inserendo questi valori nelle equazioni sopra;

$V_R = K_1 cosh 0 + K_2 sinh 0$

$V_R = K_1 + 0$

$K_1 = V_R$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh 0 + K_2 cosh 0 \right]$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} [0+K_2]$

$K_2 = \sqrt{\frac{Z}{Y}}$

Pertanto,

$V_S = V_R cosh (x\sqrt{YZ}) + \sqrt{\frac{Z}{Y}} I_R sinh (x\sqrt{YZ})$

$I_S = \sqrt{\frac{Y}{Z}} V_R sinh (x\sqrt{YZ}) + I_R cosh (x\sqrt{YZ})$

$Z_C = \sqrt{\frac{Z}{Y}} \, and \, \gamma = \sqrt{YZ}$

Dove,

ZC = Impedenza caratteristica
ɣ = Costante di propagazione

$V_S = V_R cosh \gamma x + I_R Z_C sinh \gamma x$

$I_S = \frac{V_R}{Z_C} sinh \gamma x + I_R cosh \gamma x$

Confrontate queste equazioni con le equazioni dei parametri T;

$A=cosh \gamma x$

$B=Z_C sinh \gamma x$

$C=\frac{sinh \gamma x}{Z_C}$

$D=\cos \gamma x$

Conversione dei parametri T in altri parametri

Possiamo trovare altri parametri dalle equazioni dei parametri T. Per farlo, dobbiamo trovare un insieme di equazioni di altri parametri in termini di parametri T.

Consideriamo la rete a due porte generalizzata mostrata nella figura sottostante.

conversione dei parametri T in altri parametri

In questa figura, la direzione della corrente all'estremità ricevente è cambiata. Pertanto, consideriamo alcune modifiche nelle equazioni dei parametri T.

$V_S = V_1, \; V_R = V_2, \; I_S = I_1, \; I_R = -I_2,$

Le equazioni dei parametri T sono;

(11) $\begin{equation*} V_1 = AV_2 - BI_2 \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} I_1 = CV_2 - DI_2 \end{equation*}$

Parametri T ai parametri Z

Il seguente insieme di equazioni rappresenta i parametri Z.

(13) $\begin{equation*} V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2 \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} V_2 = Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2 \end{equation*}$

Ora, troveremo le equazioni dei parametri Z in termini dei parametri T.

$CV_2 = I_1 + DI_2$

(15) $\begin{equation*} V_2 = \frac{1}{C}I_1 + \frac{D}{C} I_2 \end{equation*}$

Ora confronta l'equazione-14 con l'equazione-15

$Z_{21} = \frac{1}{C}, \quad Z_{22} = \frac{D}{C}$

Ora,

$V_1 = A \left[ \frac{1}{C} I_1 + \frac{D}{C}I_2 \right] - BI_2$

$V_1 = \frac{A}{C} I_1 + \frac{AD}{C}I_2 - BI_2$

(16) $\begin{equation*} V_1 = \frac{A}{C}I_1 + \left( \frac{AD-BC}{C} \right) I_2 \end{equation*}$

Confronta l'equazione-13 con l'equazione-16;

$Z_{11} = \frac{A}{C}, \quad Z_{12} = \frac{AD-BC}{C}$

Parametri T ai parametri Y

L'insieme di equazioni dei parametri Y è;

(17) $\begin{equation*} I_1 = Y_{11}V_1 + Y_{12}V_2 \end{equation*}$

(18) $\begin{equation*} I_2 = Y_{21}V_1 + Y_{22}V_2 \end{equation*}$

Dall'equazione-12;

$DI_2 = CV_2 - I_1$

$I_2 = \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1$

Inserisci questo valore nell'equazione-11;

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 -\frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

$V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] +\frac{B}{D}I_1$

$\frac{B}{D}I_1 = V_1 - V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right]$

(19) $\begin{equation*} I_1 = \frac{D}{B}V_1 - \frac{BC-AD}{B}V_2 \end{equation*}$

Confronta questa equazione con l'equazione-17;

$Y_{11} = \frac{D}{B}, \quad Y_{12} = \frac{BC-AD}{B}$

Dall'equazione-11;

$BI_2 = AV_2 - V_1$

(20) $\begin{equation*} I_2 = \frac{A}{B} V_2 - \frac{1}{B}V_1 \end{equation*}$

Confronta questa equazione con l'equazione-18;

$Y_{21} = \frac{-1}{B}, \quad Y_{22} = \frac{A}{B}$

Parametri T ai parametri H

L'insieme di equazioni dei parametri H è;

(21) $\begin{equation*} V_1 = H_{11}I_1 + H_{12}V_2 \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} I_2 = H_{21}I_1 + H_{22}V_2 \end{equation*}$

Dall'equazione-12;

$DI_2 = CV_2 - I_1$

(23) $\begin{equation*} I_2 = \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \end{equation*}$

Confronta questa equazione con l'equazione-22;

$H_{21} = \frac{-1}{D}, \quad H_{22} = \frac{C}{D}$

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 - \frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

(24) $\begin{equation*} V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] + \frac{B}{D}I_1 \end{equation*}$

$H_{11} = \frac{B}{D}, \quad H_{12} = \frac{AD-BC}{D}$

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