T-Parameter: Was sind sie? (Beispiele, Probleme und wie man T-Parameter in andere Parameter umwandelt)

Feld: Grundlagen der Elektrotechnik

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Was sind T-Parameter?

T-Parameter werden als Leitungskennwerte oder ABCD-Parameter definiert. In einem Zweipolnetzwerk wird Port-1 als Sendestation und Port-2 als Empfangsstation betrachtet. Im Netzwerkschema unten repräsentieren die Port-1-Anschlüsse den Eingangs- (Senden-)Port. Ähnlich repräsentieren die Port-2-Anschlüsse den Ausgangs- (Empfangs-)Port.

zweipolnetzwerk t parameter

T-Parameter in einem Zweipolnetzwerk

Für das oben gezeigte Zweipolnetzwerk lauten die Gleichungen der T-Parameter:

(1) $\begin{equation*} V_S=AV_R + BI_R \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} I_S=CV_R + DI_R \end{equation*}$

Wobei:

VS = Spannung am Sendeeingang (Sendespannung)
IS = Strom am Sendeeingang (Sendestrom)
VR = Spannung am Empfängerende
IR = Strom am Empfängerende (Empfangsstrom)

Diese Parameter werden zur mathematischen Modellierung einer Leitung verwendet. Die Parameter A und D sind dimensionslos. Die Einheit der Parameter B und C ist Ohm und Mho, jeweils.

$\begin{bmatrix} V_S \\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R \\ I_R \end{bmatrix}$

Um die Werte der T-Parameter zu ermitteln, müssen wir den Empfängerende offen und kurzgeschlossen legen. Wenn der Empfängerende offen liegt, beträgt der Empfängerstrom IR null. Setzen Sie diesen Wert in die Gleichungen ein, und Sie erhalten die Werte der Parameter A und C.

$I_R=0$

Offenkreisbedingung

Aus Gleichung 1;

$V_S=AV_R + B(0)$

$V_S=AV_R$

$A = \left \frac{V_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

Aus Gleichung 2;

$I_S = CV_R + D(0)$

$I_S = CV_R$

$C = \left \frac{I_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

Wenn die Empfangsseite kurzgeschlossen ist, beträgt die Spannung an den Empfangsklemmen VR null. Durch Einsetzen dieses Werts in die Gleichung können wir die Werte der B- und D-Parameter erhalten.

$V_R = 0$

Kurzschlussbedingung

Aus Gleichung 1;

$V_S=A(0) + BI_R$

$V_S = BI_R$

$B = \left \frac{V_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

Aus Gleichung 2;

$I_S=C (0) + DI_R$

$I_S = DI_R$

$D = \left \frac{I_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

Beispielproblem für gelöste T-Parameter

Stellen Sie sich vor, dass eine Impedanz zwischen den Anschluss- und Empfangsenden wie in der folgenden Abbildung verbunden ist. Bestimmen Sie die T-Parameter des gegebenen Netzwerks.

t parameter example

T-Parameter Beispiel

Hier ist der Strom am Anschlussende gleich dem Strom am Empfangsende.

$I_S = I_R$

(3) $\begin{equation*} I_S = (0)V_R + (1) I_R \end{equation*}$

Nun wenden wir KVL auf das Netzwerk an,

$V_S = V_R + I_S Z_1$

$V_S = V_R + I_R Z_1$

(4) $\begin{equation*} V_S = (1)V_R + (Z_1) I_R \end{equation*}$

Vergleichen Sie Gleichung 1 und 4;

$A = 1, \, B = Z_1$

Vergleichen Sie Gleichung 2 und 3;

$C = 0, \, D = 1$

T-Parameter einer Leitung

Je nach Länge der Leitung werden Leitungen wie folgt klassifiziert:

Kurze Leitung
Mittlere Leitung
Lange Leitung

Nun finden wir die T-Parameter für alle Arten von Leitungen.

Kurze Leitung

Eine Leitung mit einer Länge von weniger als 80 km und einem Spannungsniveau von weniger als 20 kV wird als kurze Übertragungsleitung bezeichnet. Aufgrund der geringen Länge und des niedrigeren Spannungsniveaus wird die Kapazität der Leitung vernachlässigt.

Daher berücksichtigen wir bei der Modellierung einer kurzen Übertragungsleitung nur Widerstand und Induktivität. Die grafische Darstellung der kurzen Übertragungsleitung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

t parameter of short transmission line

T-Parameter der kurzen Übertragungsleitung

Wobei,
IR = Strom am Empfangsende
VR = Spannung am Empfangsende
Z = Lastimpedanz
IS = Strom am Sendeeende
VS = Spannung am Sendeeende
R = Leitungsresistenz
L = Leitungsinduktivität

Wenn Strom durch die Übertragungsleitung fließt, tritt ein IR-Tropfen an der Leitungsresistenz und ein IXL-Tropfen an der induktiven Reaktanz auf.

Aus dem obigen Netzwerk ist der Strom am Sendeeende gleich dem Strom am Empfangsende.

$I_S = I_R$

$V_S = V_R + I_R Z$

Vergleichen Sie nun diese Gleichungen mit den Gleichungen der T-Parameter (Gleichung 1 und 2). Wir erhalten die Werte der Parameter A, B, C und D für eine kurze Leitung.

$A = 1, B = Z, C = 0, D = 1$

Mittlere Leitung

Eine Leitung mit einer Länge von 80 km bis 240 km und einem Spannungsniveau von 20 kV bis 100 kV wird als mittlere Leitung betrachtet.

Im Fall einer mittleren Leitung können wir die Kapazität nicht vernachlässigen. Bei der Modellierung einer mittleren Leitung muss die Kapazität berücksichtigt werden.

Je nach Positionierung der Kapazität werden mittlere Leitungen in drei Methoden eingeteilt:

Endkondensator-Verfahren
Nominales T-Verfahren
Nominales π-Verfahren

End-Kondensator-Methode

Bei dieser Methode wird angenommen, dass die Kapazität der Leitung am Ende der Übertragungsleitung gebündelt ist. Die grafische Darstellung der End-Kondensator-Methode ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

t parameter of end condenser method

T-Parameter der End-Kondensator-Methode

Wobei;
IC = Kondensatorstrom = YVR

Aus der obigen Abbildung,

$I_S = I_C + I_R$

(5) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R \end{equation*}$

Gemäß dem KVL können wir schreiben:

$V_S = V_R + Z I_S$

$V_S = V_R + Z (I_C + I_R)$

$V_S = V_R + Z (Y V_R + I_R)$

$V_S = V_R + Z Y V_R + Z I_R$

(6) $\begin{equation*} V_S = V_R (1 + ZY) + Z I_R \end{equation*}$

Vergleichen Sie nun die Gleichungen 5 und 6 mit den Gleichungen der T-Parameter;

$A = 1 + ZY, \; B = Z , \; C = Y , \; D = 1$

Nominale T-Methode

Bei dieser Methode wird die Kapazität der Leitung in der Mitte der Übertragungsleitung platziert. Die grafische Darstellung der Nominale T-Methode ist wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

t parameter of nominal t method

T-Parameter der Nominale T-Methode

Wobei,
IC = Kondensatorstrom = YVC
VC = Kondensatorspannung

$V_S = V_C + I_S \frac{Z}{2}$

$V_C = V_R + I_R \frac{Z}{2}$

Aus KCL;

$I_S = I_R + I_C$

$I_S = I_R + Y V_C$

$I_S = I_R + Y (V_R + I_R \frac{Z}{2})$

$I_S = I_R + Y V_R + Y I_R \frac{Z}{2})$

(7) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \end{equation*}$

Nun,

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + I_S \frac{Z}{2}$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} \left[ YV_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \right]$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} YV_R + \frac{Z}{2} I_R (1 + \frac{YZ}{2})$

(8) $\begin{equation*} V_S = V_R \left( 1 + \frac{YZ}{2} \right) + I_R \left( Z + \frac{YZ^2}{4} \right) \end{equation*}$

Vergleichen Sie nun die Gleichungen 7 und 8 mit den Gleichungen der T-Parameter und wir erhalten,

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z(1+\frac{YZ}{4})$

$C = Y$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

Nominale π-Methode

Bei dieser Methode wird die Kapazität der Leitung in zwei Hälften geteilt. Eine Hälfte wird am Sendebereich und die andere Hälfte am Empfangsbereich platziert. Die grafische Darstellung der nominalen π-Methode ist wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

t parameter of nominal pi method

T-Parameter der Nominale π-Methode

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_1 = I_R + I_{C1}$

$I_{C1} = \frac{Y}{2} V_R \; and \; I_{C2} = \frac{Y}{2} V_S$

Aus der obigen Abbildung können wir schreiben:

$V_S = V_R + I_1 Z$

$V_S = V_R + (I_R + I_{C1}) Z$

$V_S = V_R + Z (I_R + \frac{Y}{2} V_R)$

$V_S = V_R + Z I_R + Z \frac{Y}{2} V_R$

(9) $\begin{equation*} V_S = V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \end{equation*}$

Nun,

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_S = (I_R + I_{C1}) + I_{C2}$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} V_S$

Setzen Sie den Wert von VS in diese Gleichung ein,

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} \left[ V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \right]$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} (1 + \frac{YZ}{2}) V_R + \frac{Y}{2} I_R Z$

(10) $\begin{equation*} I_S = I_R \left[ 1 + \frac{YZ}{2} \right] + Y V_R \left[ 1 + \frac{YZ}{4} \right] \end{equation*}$

Durch Vergleich der Gleichungen 9 und 10 mit den Gleichungen der T-Parameter erhalten wir:

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z$

$C = Y \left( 1 + \frac{YZ}{4} \right)$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

Lange Übertragungsleitung

Die lange Übertragungsleitung wird als verteiltes Netzwerk modelliert. Sie kann nicht als konzentriertes Netzwerk angenommen werden. Das verteilte Modell einer langen Übertragungsleitung ist wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

t parameter of long transmission line

T-Parameter der langen Leitung

Die Länge der Leitung beträgt X km. Um die Übertragungsleitung zu analysieren, betrachten wir einen kleinen Teil (dx) der Leitung. Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

long transmission line t parameter

Zdx = Serienimpedanz
Ydx = Querimpedanz

Die Spannung steigt über die Länge hinweg an. Die Spannungssteigerung lautet daher:

$dV = IZdx$

$\frac{dV}{dx} = IZ$

Ähnlich ist der Strom, der vom Element gezogen wird;

$dI = VYdx$

$\frac{dI}{dx} = VY$

Differenzieren der obigen Gleichungen;

$\frac{d^2V}{dx^2} = Z \frac{dI}{dx} = ZVY$

Die allgemeine Lösung der obigen Gleichung lautet;

$V = K_1 cosh(x\sqrt{YZ}) + K_2 sinh(x \sqrt{YZ})$

Differenzieren Sie nun diese Gleichung nach X,

$\frac{dv}{dx} = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$IZ = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$I = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 cosh(x\sqrt{YZ})$

Nun müssen wir die Konstanten K1 und K2 finden;

Dafür nehmen wir an;

$x=0, \; V=V_R, \; I=I_R$

Wenn wir diese Werte in die obigen Gleichungen einsetzen;

$V_R = K_1 cosh 0 + K_2 sinh 0$

$V_R = K_1 + 0$

$K_1 = V_R$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh 0 + K_2 cosh 0 \right]$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} [0+K_2]$

$K_2 = \sqrt{\frac{Z}{Y}}$

Daher,

$V_S = V_R cosh (x\sqrt{YZ}) + \sqrt{\frac{Z}{Y}} I_R sinh (x\sqrt{YZ})$

$I_S = \sqrt{\frac{Y}{Z}} V_R sinh (x\sqrt{YZ}) + I_R cosh (x\sqrt{YZ})$

$Z_C = \sqrt{\frac{Z}{Y}} \, and \, \gamma = \sqrt{YZ}$

Dabei gilt:

ZC = Wellenwiderstand
ɣ = Fortpflanzungskonstante

$V_S = V_R cosh \gamma x + I_R Z_C sinh \gamma x$

$I_S = \frac{V_R}{Z_C} sinh \gamma x + I_R cosh \gamma x$

Vergleichen Sie diese Gleichungen mit den Gleichungen der T-Parameter;

$A=cosh \gamma x$

$B=Z_C sinh \gamma x$

$C=\frac{sinh \gamma x}{Z_C}$

$D=\cos \gamma x$

Umwandlung von T-Parametern in andere Parameter

Wir können andere Parameter aus den Gleichungen der T-Parameter finden. Dafür müssen wir eine Reihe von Gleichungen anderer Parameter in Bezug auf die T-Parameter finden.

Betrachten Sie das verallgemeinerte Zweitor-Netzwerk, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

conversion of t parameters to other parameters

In dieser Abbildung wird die Richtung des Empfangsstromes geändert. Daher berücksichtigen wir einige Änderungen in den Gleichungen der T-Parameter.

$V_S = V_1, \; V_R = V_2, \; I_S = I_1, \; I_R = -I_2,$

Die Gleichungen der T-Parameter lauten:

(11) $\begin{equation*} V_1 = AV_2 - BI_2 \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} I_1 = CV_2 - DI_2 \end{equation*}$

T-Parameter zu Z-Parametern

Die folgende Satz von Gleichungen repräsentiert die Z-Parameter.

(13) $\begin{equation*} V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2 \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} V_2 = Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2 \end{equation*}$

Nun werden wir die Gleichungen der Z-Parameter in Bezug auf die T-Parameter finden.

$CV_2 = I_1 + DI_2$

(15) $\begin{equation*} V_2 = \frac{1}{C}I_1 + \frac{D}{C} I_2 \end{equation*}$

Vergleichen Sie nun Gleichung 14 mit Gleichung 15

$Z_{21} = \frac{1}{C}, \quad Z_{22} = \frac{D}{C}$

Nun,

$V_1 = A \left[ \frac{1}{C} I_1 + \frac{D}{C}I_2 \right] - BI_2$

$V_1 = \frac{A}{C} I_1 + \frac{AD}{C}I_2 - BI_2$

(16) $\begin{equation*} V_1 = \frac{A}{C}I_1 + \left( \frac{AD-BC}{C} \right) I_2 \end{equation*}$

Vergleichen Sie Gleichung (13) mit Gleichung (16);

$Z_{11} = \frac{A}{C}, \quad Z_{12} = \frac{AD-BC}{C}$

T-Parameter in Y-Parameter

Die Gleichungssystem der Y-Parameter lautet;

(17) $\begin{equation*} I_1 = Y_{11}V_1 + Y_{12}V_2 \end{equation*}$

(18) $\begin{equation*} I_2 = Y_{21}V_1 + Y_{22}V_2 \end{equation*}$

Aus Gleichung 12:

$DI_2 = CV_2 - I_1$

$I_2 = \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1$

Setzen Sie diesen Wert in Gleichung 11 ein;

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 -\frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

$V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] +\frac{B}{D}I_1$

$\frac{B}{D}I_1 = V_1 - V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right]$

(19) $\begin{equation*} I_1 = \frac{D}{B}V_1 - \frac{BC-AD}{B}V_2 \end{equation*}$

Vergleichen Sie diese Gleichung mit Gleichung-17;

$Y_{11} = \frac{D}{B}, \quad Y_{12} = \frac{BC-AD}{B}$

Aus Gleichung 11;

$BI_2 = AV_2 - V_1$

(20) $\begin{equation*} I_2 = \frac{A}{B} V_2 - \frac{1}{B}V_1 \end{equation*}$

Vergleichen Sie diese Gleichung mit Gleichung 18;

$Y_{21} = \frac{-1}{B}, \quad Y_{22} = \frac{A}{B}$

T-Parameter zu H-Parametern

Die Gleichungssatz der H-Parameter lautet;

(21) $\begin{equation*} V_1 = H_{11}I_1 + H_{12}V_2 \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} I_2 = H_{21}I_1 + H_{22}V_2 \end{equation*}$

Aus Gleichung (12);

$DI_2 = CV_2 - I_1$

(23) $\begin{equation*} I_2 = \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \end{equation*}$

Vergleichen Sie diese Gleichung mit Gleichung-22;

$H_{21} = \frac{-1}{D}, \quad H_{22} = \frac{C}{D}$

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 - \frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

(24) $\begin{equation*} V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] + \frac{B}{D}I_1 \end{equation*}$

$H_{11} = \frac{B}{D}, \quad H_{12} = \frac{AD-BC}{D}$

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