T पैरामीटर: वे क्या हैं? (उदाहरण समस्याएँ और T पैरामीटर को अन्य पैरामीटर में कैसे परिवर्तित करें)

फील्ड: बुनियादी विद्युत

China

T पैरामीटर क्या हैं

T पैरामीटर को ट्रांसमिशन लाइन पैरामीटर या ABCD पैरामीटर के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक दो-पोर्ट नेटवर्क में, पोर्ट-1 को भेजने वाला सिरा और पोर्ट-2 को प्राप्त करने वाला सिरा माना जाता है। नीचे दिए गए नेटवर्क आरेख में, पोर्ट-1 टर्मिनल इनपुट (भेजने वाला) पोर्ट को दर्शाते हैं। इसी तरह, पोर्ट-2 टर्मिनल आउटपुट (प्राप्त करने वाला) पोर्ट को दर्शाते हैं।

दो-पोर्ट नेटवर्क में T पैरामीटर

उपरोक्त दो-पोर्ट नेटवर्क के लिए, T-पैरामीटर के समीकरण निम्नलिखित हैं;

(1) $\begin{equation*} V_S=AV_R + BI_R \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} I_S=CV_R + DI_R \end{equation*}$

जहाँ;

VS = भेजने वाले सिरे का वोल्टेज
IS = भेजने वाले सिरे का करंट
VR = प्राप्त करने वाले सिरे का वोल्टेज
IR = प्राप्त करने वाले सिरे का करंट

ये पैरामीटर एक प्रसारण लाइन के गणितीय मॉडलिंग के लिए उपयोग किए जाते हैं। पैरामीटर A और D यूनिटलेस हैं। पैरामीटर B और C की यूनिट क्रमशः ओहम और मोह हैं।

$\begin{bmatrix} V_S \\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R \\ I_R \end{bmatrix}$

T-पैरामीटरों के मान खोजने के लिए, हमें प्राप्त करने वाले सिरे को खुला और शॉर्ट सर्किट करना होता है। जब प्राप्त करने वाले सिरे को खुला सर्किट किया जाता है, तो प्राप्त करने वाले सिरे का करंट IR शून्य होता है। इन मानों को समीकरणों में डालने पर, हम A और C पैरामीटरों का मान प्राप्त करते हैं।

$I_R=0$

open circuit condition

समीकरण-1 से;

$V_S=AV_R + B(0)$

$V_S=AV_R$

$A = \left \frac{V_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

समीकरण-2 से;

$I_S = CV_R + D(0)$

$I_S = CV_R$

$C = \left \frac{I_S}{V_R} \right|_ {I_R=0}$

जब प्राप्त करने वाले सिरे को शॉर्ट सर्किट किया जाता है, तो प्राप्त करने वाले सिरों पर वोल्टेज VR शून्य होता है। इस मान को समीकरण में डालकर, हम B और D पैरामीटरों के मान प्राप्त कर सकते हैं।

$V_R = 0$

शॉर्ट सर्किट स्थिति

समीकरण-1 से;

$V_S=A(0) + BI_R$

$V_S = BI_R$

$B = \left \frac{V_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

समीकरण-2 से;

$I_S=C (0) + DI_R$

$I_S = DI_R$

$D = \left \frac{I_S}{I_R} \right|_ {V_R=0}$

टी पैरामीटर्स सोल्व्ड उदाहरण समस्या

नीचे दिए गए आंकड़े में दिखाए गए रूप से प्रेषण और प्राप्ति टर्मिनल के बीच एक प्रतिबाधा को जोड़ें। दिए गए नेटवर्क के T-पैरामीटर ज्ञात कीजिए।

t parameter example

T-पैरामीटर उदाहरण

यहाँ, प्रेषण अंत की धारा प्राप्ति अंत की धारा के समान है।

$I_S = I_R$

(3) $\begin{equation*} I_S = (0)V_R + (1) I_R \end{equation*}$

अब, हम नेटवर्क पर KVL लागू करते हैं,

$V_S = V_R + I_S Z_1$

$V_S = V_R + I_R Z_1$

(4) $\begin{equation*} V_S = (1)V_R + (Z_1) I_R \end{equation*}$

समीकरण-1 और 4 की तुलना कीजिए;

$A = 1, \, B = Z_1$

समीकरण-2 और 3 की तुलना करें;

$C = 0, \, D = 1$

ट्रांसमिशन लाइन के T पैरामीटर

लाइन की लंबाई के अनुसार, ट्रांसमिशन लाइनों को निम्नलिखित श्रेणियों में वर्गीकृत किया जाता है;

लघु ट्रांसमिशन लाइन
मध्यम ट्रांसमिशन लाइन
दीर्घ ट्रांसमिशन लाइन

अब, हम सभी प्रकार की ट्रांसमिशन लाइनों के लिए T-पैरामीटर ज्ञात करते हैं।

लघु ट्रांसमिशन लाइन

लंबाई की ट्रांसमिशन लाइन जो 80 किमी से कम और वोल्टेज स्तर 20 किलोवोल्ट से कम हो, उसे छोटी ट्रांसमिशन लाइन माना जाता है। छोटी लंबाई और कम वोल्टेज स्तर के कारण, लाइन की क्षमता नगण्य मानी जाती है।

इसलिए, छोटी ट्रांसमिशन लाइन को मॉडलिंग करते समय हम केवल प्रतिरोध और आभासी प्रतिरोध को ध्यान में रखते हैं। छोटी ट्रांसमिशन लाइन का ग्राफिकल चित्रण नीचे दिखाया गया है।

t parameter of short transmission line

छोटी ट्रांसमिशन लाइन का T-पैरामीटर

जहाँ,
IR = प्राप्तकर्ता सिरे की धारा
VR = प्राप्तकर्ता सिरे का वोल्टेज
Z = लोड इम्पीडेंस
IS = प्रसारक सिरे की धारा
VS = प्रसारक सिरे का वोल्टेज
R = लाइन प्रतिरोध
L = लाइन आभासी प्रतिरोध

जब धारा ट्रांसमिशन लाइन से गुजरती है, तो लाइन प्रतिरोध पर IR गिरावट और आभासी प्रतिरोध पर IXL गिरावट होती है।

उपरोक्त नेटवर्क से, प्रसारक सिरे की धारा प्राप्तकर्ता सिरे की धारा के समान होती है।

$I_S = I_R$

$V_S = V_R + I_R Z$

अब, इन समीकरणों को T-पैरामीटर्स (समीकरण 1 और 2) के समीकरणों के साथ तुलना करें। और हम एक छोटी प्रसारण लाइन के A, B, C, और D पैरामीटर्स के मान प्राप्त करते हैं।

$A = 1, B = Z, C = 0, D = 1$

मध्यम प्रसारण लाइन

80 किमी से 240 किमी तक की लंबाई और 20 किलोवोल्ट से 100 किलोवोल्ट तक के वोल्टेज स्तर वाली प्रसारण लाइन को मध्यम प्रसारण लाइन के रूप में माना जाता है।

मध्यम प्रसारण लाइन के मामले में, हम क्षमता को नहीं नज़रअंदाज कर सकते। मध्यम प्रसारण लाइन को मॉडलिंग करते समय हमें क्षमता को ध्यान में रखना चाहिए।

क्षमता की स्थिति के अनुसार, मध्यम प्रसारण लाइनों को तीन विधियों में वर्गीकृत किया जाता है;

अंतिम संधारित्र विधि
नामित T विधि
नामित π विधि

अंतिम कंडेनसर विधि

इस विधि में, लाइन की क्षमता को प्रसारण लाइन के अंत में संकलित माना जाता है। अंतिम कंडेनसर विधि का ग्राफिक प्रतिनिधित्व निम्न चित्र में दिखाया गया है।

t parameter of end condenser method

अंतिम कंडेनसर विधि के T-पैरामीटर

जहाँ;
IC = कंडेनसर धारा = YVR

उपरोक्त आकृति से,

$I_S = I_C + I_R$

(5) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R \end{equation*}$

केवीएल द्वारा, हम लिख सकते हैं;

$V_S = V_R + Z I_S$

$V_S = V_R + Z (I_C + I_R)$

$V_S = V_R + Z (Y V_R + I_R)$

$V_S = V_R + Z Y V_R + Z I_R$

(6) $\begin{equation*} V_S = V_R (1 + ZY) + Z I_R \end{equation*}$

अब, समीकरण-5 और 6 को T पैरामीटर्स के समीकरणों के साथ तुलना कीजिए;

$A = 1 + ZY, \; B = Z , \; C = Y , \; D = 1$

नाममात्र टी विधि

इस विधि में, लाइन की धारिता प्रसारण लाइन के मध्य बिंदु पर रखी जाती है। नाममात्र टी विधि का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व नीचे दिखाया गया है।

t parameter of nominal t method

नाममात्र टी विधि का T-पैरामीटर

जहाँ,
IC = कैपेसिटर धारा = YVC
VC = कैपेसिटर वोल्टेज

$V_S = V_C + I_S \frac{Z}{2}$

$V_C = V_R + I_R \frac{Z}{2}$

केकेएल से;

$I_S = I_R + I_C$

$I_S = I_R + Y V_C$

$I_S = I_R + Y (V_R + I_R \frac{Z}{2})$

$I_S = I_R + Y V_R + Y I_R \frac{Z}{2})$

(७) $\begin{equation*} I_S = Y V_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \end{equation*}$

अब,

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + I_S \frac{Z}{2}$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} \left[ YV_R + I_R (1 + \frac{YZ}{2}) \right]$

$V_S = V_R + I_R \frac{Z}{2} + \frac{Z}{2} YV_R + \frac{Z}{2} I_R (1 + \frac{YZ}{2})$

(8) $\begin{equation*} V_S = V_R \left( 1 + \frac{YZ}{2} \right) + I_R \left( Z + \frac{YZ^2}{4} \right) \end{equation*}$

अब, समीकरण-7 और 8 को T पैरामीटर के समीकरणों के साथ तुलना करें और हम प्राप्त करते हैं,

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z(1+\frac{YZ}{4})$

$C = Y$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

नामित π विधि

इस विधि में प्रसारण लाइन की क्षमता दो भागों में विभाजित की जाती है। एक आधा भाग भेजने वाले सिरे पर और दूसरा आधा भाग प्राप्त करने वाले सिरे पर रखा जाता है। नामित π विधि का ग्राफिक प्रतिनिधित्व नीचे दिखाया गया है।

t parameter of nominal pi method

नामित π विधि के T-पैरामीटर

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_1 = I_R + I_{C1}$

$I_{C1} = \frac{Y}{2} V_R \; and \; I_{C2} = \frac{Y}{2} V_S$

उपरोक्त आंकड़े से हम लिख सकते हैं;

$V_S = V_R + I_1 Z$

$V_S = V_R + (I_R + I_{C1}) Z$

$V_S = V_R + Z (I_R + \frac{Y}{2} V_R)$

$V_S = V_R + Z I_R + Z \frac{Y}{2} V_R$

(9) $\begin{equation*} V_S = V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \end{equation*}$

अब,

$I_S = I_1 + I_{C2}$

$I_S = (I_R + I_{C1}) + I_{C2}$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} V_S$

VS का मान इस समीकरण में रखें,

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} \left[ V_R \left(1 + \frac{YZ}{2} \right) + Z I_R \right]$

$I_S = I_R + \frac{Y}{2} V_R + \frac{Y}{2} (1 + \frac{YZ}{2}) V_R + \frac{Y}{2} I_R Z$

(10) $\begin{equation*} I_S = I_R \left[ 1 + \frac{YZ}{2} \right] + Y V_R \left[ 1 + \frac{YZ}{4} \right] \end{equation*}$

समीकरण-9 और 10 को T पैरामीटर्स के समीकरणों के साथ तुलना करने पर हमें मिलता है;

$A = 1 + \frac{YZ}{2}$

$B = Z$

$C = Y \left( 1 + \frac{YZ}{4} \right)$

$D = 1 + \frac{YZ}{2}$

लंबी प्रसारण लाइन

लंबी प्रसारण लाइन को एक वितरित नेटवर्क के रूप में मॉडल किया जाता है। इसे एक संकुचित नेटवर्क के रूप में माना नहीं जा सकता है। नीचे दिए गए चित्र में लंबी प्रसारण लाइन का वितरित मॉडल दिखाया गया है।

लंबी प्रसारण लाइन का T-पैरामीटर

लाइन की लंबाई X किमी है। प्रसारण लाइन का विश्लेषण करने के लिए, हम लाइन का एक छोटा हिस्सा (dx) लेते हैं। और यह नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

लंबी प्रसारण लाइन का T-पैरामीटर

Zdx = श्रृंखला इम्पीडेंस
Ydx = शंट इम्पीडेंस

वोल्टेज लंबाई के साथ बढ़ता है। इसलिए, वोल्टेज की वृद्धि है;

$dV = IZdx$

$\frac{dV}{dx} = IZ$

इसी प्रकार, तत्व द्वारा खींची गई धारा है;

$dI = VYdx$

$\frac{dI}{dx} = VY$

उपरोक्त समीकरणों का अवकलन करने पर;

$\frac{d^2V}{dx^2} = Z \frac{dI}{dx} = ZVY$

उपरोक्त समीकरण का सामान्य समाधान है;

$V = K_1 cosh(x\sqrt{YZ}) + K_2 sinh(x \sqrt{YZ})$

अब, इस समीकरण को X के सापेक्ष अवकलित करें,

$\frac{dv}{dx} = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$IZ = K_1 \sqrt{YZ} sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 \sqrt{YZ} cosh(x\sqrt{YZ})$

$I = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh(x\sqrt{YZ}) + K_2 cosh(x\sqrt{YZ})$

अब, हमें स्थिरांक K₁ और K₂ को खोजना है;

इसके लिए मान लीजिए;

$x=0, \; V=V_R, \; I=I_R$

उपरोक्त समीकरणों में इन मानों को रखने पर;

$V_R = K_1 cosh 0 + K_2 sinh 0$

$V_R = K_1 + 0$

$K_1 = V_R$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} \left[ K_1 sinh 0 + K_2 cosh 0 \right]$

$I_R = \sqrt{\frac{Y}{Z}} [0+K_2]$

$K_2 = \sqrt{\frac{Z}{Y}}$

इसलिए,

$V_S = V_R cosh (x\sqrt{YZ}) + \sqrt{\frac{Z}{Y}} I_R sinh (x\sqrt{YZ})$

$I_S = \sqrt{\frac{Y}{Z}} V_R sinh (x\sqrt{YZ}) + I_R cosh (x\sqrt{YZ})$

$Z_C = \sqrt{\frac{Z}{Y}} \, and \, \gamma = \sqrt{YZ}$

जहाँ,

ZC = विशेष इम्पीडेंस
ɣ = प्रसारण स्थिरांक

$V_S = V_R cosh \gamma x + I_R Z_C sinh \gamma x$

$I_S = \frac{V_R}{Z_C} sinh \gamma x + I_R cosh \gamma x$

इन समीकरणों को T-पैरामीटर्स के समीकरणों के साथ तुलना कीजिए;

$A=cosh \gamma x$

$B=Z_C sinh \gamma x$

$C=\frac{sinh \gamma x}{Z_C}$

$D=\cos \gamma x$

टी पैरामीटर्स को अन्य पैरामीटर्स में परिवर्तित करना

हम टी पैरामीटर्स के समीकरणों से अन्य पैरामीटर्स को खोज सकते हैं। इसके लिए, हमें टी पैरामीटर्स के संदर्भ में अन्य पैरामीटर्स के एक सेट के समीकरणों को खोजना होगा।

नीचे दिए गए आंकड़े में दिखाए गए सामान्यीकृत दो-पोर्ट नेटवर्क को ध्यान में रखें।

conversion of t parameters to other parameters

इस आंकड़े में, प्राप्त करने वाले छोर की धारा की दिशा बदल दी गई है। इसलिए, हम टी पैरामीटर्स के समीकरणों में कुछ परिवर्तनों को ध्यान में रखते हैं।

$V_S = V_1, \; V_R = V_2, \; I_S = I_1, \; I_R = -I_2,$

T पैरामीटर के समीकरण निम्नलिखित हैं;

(11) $\begin{equation*} V_1 = AV_2 - BI_2 \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} I_1 = CV_2 - DI_2 \end{equation*}$

T पैरामीटर से Z पैरामीटर

निम्नलिखित समीकरणों का सेट Z पैरामीटर को दर्शाता है।

(13) $\begin{equation*} V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2 \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} V_2 = Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2 \end{equation*}$

अब, हम टी पैरामीटरों के संदर्भ में जेड पैरामीटरों के समीकरण खोजेंगे।

$CV_2 = I_1 + DI_2$

(15) $\begin{equation*} V_2 = \frac{1}{C}I_1 + \frac{D}{C} I_2 \end{equation*}$

अब समीकरण-14 को समीकरण-15 के साथ तुलना करें

$Z_{21} = \frac{1}{C}, \quad Z_{22} = \frac{D}{C}$

अब,

$V_1 = A \left[ \frac{1}{C} I_1 + \frac{D}{C}I_2 \right] - BI_2$

$V_1 = \frac{A}{C} I_1 + \frac{AD}{C}I_2 - BI_2$

(16) $\begin{equation*} V_1 = \frac{A}{C}I_1 + \left( \frac{AD-BC}{C} \right) I_2 \end{equation*}$

समीकरण-13 को समीकरण-16 से तुलना करें;

$Z_{11} = \frac{A}{C}, \quad Z_{12} = \frac{AD-BC}{C}$

T पैरामीटर से Y पैरामीटर

Y पैरामीटर का समीकरण सेट है;

(17) $\begin{equation*} I_1 = Y_{11}V_1 + Y_{12}V_2 \end{equation*}$

(18) $\begin{equation*} I_2 = Y_{21}V_1 + Y_{22}V_2 \end{equation*}$

समीकरण-12 से;

$DI_2 = CV_2 - I_1$

$I_2 = \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1$

इस मान को समीकरण-11 में रखें;

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D}V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 -\frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

$V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] +\frac{B}{D}I_1$

$\frac{B}{D}I_1 = V_1 - V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right]$

(19) $\begin{equation*} I_1 = \frac{D}{B}V_1 - \frac{BC-AD}{B}V_2 \end{equation*}$

इस समीकरण को समीकरण-17 से तुलना कीजिए;

$Y_{11} = \frac{D}{B}, \quad Y_{12} = \frac{BC-AD}{B}$

समीकरण-11 से;

$BI_2 = AV_2 - V_1$

(20) $\begin{equation*} I_2 = \frac{A}{B} V_2 - \frac{1}{B}V_1 \end{equation*}$

समीकरण-18 के साथ इस समीकरण की तुलना कीजिए;

$Y_{21} = \frac{-1}{B}, \quad Y_{22} = \frac{A}{B}$

T पैरामीटर से H पैरामीटर

H पैरामीटर का समीकरण सेट निम्नलिखित है:

(21) $\begin{equation*} V_1 = H_{11}I_1 + H_{12}V_2 \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} I_2 = H_{21}I_1 + H_{22}V_2 \end{equation*}$

समीकरण-12 से;

$DI_2 = CV_2 - I_1$

(23) $\begin{equation*} I_2 = \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \end{equation*}$

समीकरण-22 के साथ इस समीकरण की तुलना कीजिए;

$H_{21} = \frac{-1}{D}, \quad H_{22} = \frac{C}{D}$

$V_1 = AV_2 - B \left[ \frac{C}{D} V_2 - \frac{1}{D}I_1 \right]$

$V_1 = AV_2 - \frac{BC}{D}V_2 + \frac{B}{D}I_1$

(24) $\begin{equation*} V_1 = V_2 \left[ \frac{AD-BC}{D} \right] + \frac{B}{D}I_1 \end{equation*}$

$H_{11} = \frac{B}{D}, \quad H_{12} = \frac{AD-BC}{D}$

कथन: मूल का सम्मान करें, अच्छे लेख साझा करने योग्य हैं, यदि कोई उल्लंघन है तो कृपया हटाने के लिए संपर्क करें।

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